基本函數與極限 基本函數及其圖形介紹 極限

(i) 基本函數及其圖形介紹 函數: 所謂函數是兩個集合元素間的一種對應關係,但此種對應關係具有方向性,意即集合A中的甲元素對應到集合B中的乙元素和集合B中的乙元素對應到集合A中的甲元素意義是完全不同的。一般的表示方法為 ,其中A,B為集合,而f 表示函數的對應關係 ,

即若 ,則 。我們稱A為函數f 的定義域(Domain), 而B則稱之為函數f 的值域(Range), 其中值域中每一個元素皆能被定義域中的某一元素對應到, 亦即 。以下我們只討論有關數字的函數。習慣上若不特別表示,則任一函數的定義域為實數集合 或此函數在 中為有意義定義(well defined)的子集合,此定義域稱為自然定義域(Natural Domain)。

例如 的定義域 為 , 而值域為 。 所有直角座標上滿足y=f(x)的點所成的集合稱之為函數f 的圖形,其中變數x屬於f 的定義域。一個函數f 定義為 y=f(x)=mx+b 則稱此為線性函數 (Linear Function)。

斜率和直線方程式 (Slopes and Equations of Lines) 線性函數所對應的直線方程式 , 其圖形如下圖所示

直線的斜率(Slope of Line) 圖1中直線的斜率定義為

例1: 求通過以下給定兩點的直線斜率。 (a) (-7,6)和(4,5) 解:直線斜率為 (b) (5,-3)和(-2,-3) (c) (2,-4)和(2,3) 解: 直線斜率為 為無定義,此為當直線平行y軸時的情況。

若a,b,c為常數,且a,b不全為0,x和y為變數,則方程式ax+by=c稱為直線方程式,其圖形為一條直線。當b≠0時 ,

例2: 求斜率為 通過(0,-3)的直線方程式。 解:

斜截式(The Slope-Intercept Form) 若已知直線的斜率為m,y軸的截距為b,即通過點(0,b),則根據斜率的定義得此直線的方程式 y-b=m(x-0) 經過移項後得一稱之為斜截式的直線方程式 y=mx+b

下圖為斜截式的圖形

例3: 利用斜截式求y-截距為 ,而 斜率為 的直線方程式。 解:

點斜式 (The Point-Slope Form) 根據相似三角形定理,圖1中直線上任一點P(x,y)和點A所形成的直線斜率和點A及點B所形成的直線斜率相等,

亦即 故此條直線的方程式為

例4: 利用點斜式求斜率為 通過(3,-7) 的直線方程式。 解:

例5: 利用點斜式求通過(5,4)和(-10,-2)的直線方程式。 解: 斜率 。 令 ,則

例6: 求過(8,-4)和(-2,-4)的直線方程式。 解: 斜率

令 ,則

垂直線的方程式(Equation of a Vertical Line) 垂直於x軸的直線並不適於點斜式,其方程式為 x=k k為垂直線和x軸交點的x分量。 例7: 求過(4,3)和(4,-6)的直線方程式。 解: 此為垂直線x=4。

平行線(Parallel Lines) 若兩條直線的斜率相同,則稱這兩條直線為平行線。 例8: 求過點(3,5),且平行於直線2x+5y=4的直線方程式。 解: 直線2x+5y=4的斜率為 直線 為過點(3,5),且 平行於直線2x+5y=4的直線。

垂線(Perpendicular Lines)

如圖3所示直線 和 為通過原點的垂線,則根據畢氏定理

由於 和 分別為直線 和 的 斜率,且由於此種幾何性質和座標的 選取無關,故可知任兩條不平行於x軸 或y軸的直線,垂直的充要條件為斜率 的乘積為 。

例9: 求過直線3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直於直線3x+4y=8的直線方程式。 故直線 為過直線 3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直於直線3x+4y=8的直線。

例10: 近幾十年來, 美國16歲及超過16歲以上的人口中投入勞力工作的比例以近似固定比例的方式從1960的59.4%增加到1998年的67.1%。找出描述此線性關係的方程式。 解: 令x=0代表1960,則x=1998-960=38代表1998年。斜率

再令 ,利用點斜式可得方程式 y-5.94=0.203(x-0) y=0.203x+5.94 為描述此線性關係的方程式。

例11: 線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估計從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比,其中x代表年份。 (a) 決定1998年淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比。 解: y=1.5457x-3067.7 y=1.5457(1988)-3067.7≈5.2 1998年中淋病患者大約有百分之5.2%對抗生素產生抗藥性。

例11: 線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估計從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比,其中x代表年份。 (b) 指出並解釋此直線的斜率。 解: 斜率為1.5457, 此意味著從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的比例以每年百分之1.5457的比例增加。

線性函數和應用 (Linear Functions and Applications) 例12: 假設經濟學家 Greg Tobin 研究數塑膠牆板的供需並得到塑膠牆板每平方碼的價格p和每月需求量q(單位為一千平方碼)之間的關係為 , (需求函數)

塑膠牆板每平方碼的價格p和每月供應量 q(單位為一千平方碼)之間的關係為 , (供應函數) (a)求價格分別為$45和$18時的需求量。 解: 將p=45帶入 得q=20, 因此當價格為$45時塑膠牆板的需求量為20,000平方碼。

將p=18帶入 得q=56, 因此當價格為$18時塑膠牆板的 需求量為56,000平方碼。 (b)求價格分別為$60和$12時的供應量。 解: 將$p=60帶入 得q=80, 因此當價格為$60時塑膠牆板的供應量為80,000平方碼。

將p=12帶入 得q=16, 因此當價格為$12時塑膠牆板的供應量為16,000平方碼。 (c) 將上述的需求和供應函數畫在同一座標軸上。 解: 如下圖所示(圖4)

圖4中兩條曲線相交的點(40,30), 價格30稱為 平衡價格 (equilibrium price), 在此點的供應量和需求量相等, 皆為40,000平方碼, 此為平衡數量 ( equilibrium quantity)。 例12: 假設製造x個錄影帶的費用為 C(x)=12x+100 (單位為美金) 製造0個錄影帶的費用為 C(0)=12(0)+100 此稱為 固定成本 (fixed cost)。

一但公司投資固定成本製造錄影帶後, 每多製造一個錄影帶的成本為何? 例如製造5個和6個錄影帶的成本分別為 C(5)=12(5)+100=$160 和 C(6)=12(6)+100=$172 因此第6個錄影帶的製造成本為 $172-$160=\$12$。製造第n+1個錄影帶的成本為 C(n+1)-C(n)=[12(n+1)+100]-(12n+100) =$12

數字12恰為成本函數C(x)=12x+100的斜率, 亦即線性的成本函數中的斜率為多製造一個商品的成本, 在某些經濟學上的書將之定義為 邊際成本 (marginal cost)。

例13: 每多製造一批藥品的邊際成本為$10, 而製造100批的成本為$1500。在成本函數為線性函數的條件下, 求出成本函數C(x)。 解: C(x)=mx+b, 由於邊際成本等於斜率, 所以C(x)=10x+b。製造100批的成本為$1500,故得 1500=10∙100+b 1500=1000+b 500=b 亦即成本函數為C(x)=10x+500, 而其固定成本為$500

損益平衡分析 (Break-Even Analysis) 銷售x個價格為p的商品之 收入函數 ( Revenue)為 R(x)=xp 而利潤函數 (Profit)則為 P(x)=R(x)-C(x) 其中C(x)為收入函數。當成本等於收入時的利潤為0, 此時的銷售量稱為 損益平衡量 (break-even quantity),其由商品數量和價格所形成的對應點則稱之為損益平衡點 ( break-even point)。

例14: 一個製造家禽飼料的公司發現製造和銷售x個單位飼料的成本為 C(x)=20x+100 管理階層決定每單位飼料收費$24。 (a) 該公司需銷售多少飼料方能損益平衡? 解: R(x)=24x, 當R(x)=C(x)時方能損益平衡,所以 24x=20x+100 可得x=25, 亦即該公司至少須賣出25單位的飼料方不會虧本。

(b) 100單位的飼料被賣出時的利潤為何? 解: P(x)=R(x)-C(x) =24x-(20x+100) =4x-100 P(100)=4(100)-100=300 因此當該公司賣出100單位的飼料之利潤為$300。

(c) 為求得$900的利潤, 該公司應賣出多少單位的飼料? 解: 900=P(x)=4x-100 1000=4x x=250 亦即該公司賣出250單位的飼料時,可得$900的利潤。

非線性函數 (Nonlinear Functions) 函數的代數(The Algebra of Functions) 實數函數的代數運算法: 我們可利用實數的基本運算定義函數f,g的代數運算。 若f: A→B, g: C→D

(1) 其中 為新函數f+g的值域。 (2) 其中 為新函數f-g的值域。

(3) 其中 為新函數f×g的值域。 (4) 其中 為新函數 的值域。

一函數 f:A→B, 若 (1) 滿足 ,則我們稱之為非遞減函數( Nondecreasing Function) (2) 滿足 ,則我們稱之為遞增函數(Increasing Function) (3) 滿足 ,則我們稱之為非遞增函數(Nonincreasing Function) (4) 滿足 ,則我們稱之為遞減函數(Decreasing Function)

一函數 f:A→B, , 且實數集合A滿足 (1) 若 ,滿足f(-x)=f(x),則稱函數 f 為偶函數(Even Function)。 (2) 若 ,滿足f(-x)=-f(x),則稱函數 f 為奇函數(Odd Function}), 特別地, 由於f(-0)=-f(0), 所以f(0)=0。

例15:求以下各函數的定義域和值域。 解: (a) 的定義域為 {x≥1}, 值域為{x≥0}。 解: (b) 的定義域為

f(x)的值域為

解: (c) 的定義域為R,值域為{x≥3}。 解: (d) 的定義域為R,值域為{x≥1}。 解: (e) 的定義域為

解:

二次函數;平移和反射(Quadratic Functions;Translation and Reflection) 一個可表為 的函數,我們稱之為二次函數(Quadratic Functions)。

由上述方程式知,其圖形是由拋物線 經由水平移動(若b≠0),垂直放大(若|a|>1), 垂直縮小(若0<|a|<1),以x軸為對稱軸映射將圖形由上往下翻轉(若a<0)和垂直移動(若 )所得。故一個二次函數在直角座標所對應的圖形為拋物線, 如下圖所示(圖5)。 再由上述方程式知,當 時, ,此點 恰為拋物線的頂點。

例16: 求由 所代表之拋物線的頂點。 解: 利用上述公式, 故得(4,8)為拋物線 的頂點。

例17: 當 Power and Money, Inc., 所辦的管理技巧研討會收費$600時, 吸引1000人報名。若參加研討會的費用每減少$20, 則會有額外的100人參加。管理階層欲知費用為多少方能使其收入為最大? 解: 令x表示價格降$20的次數, 則每人的入場費為600-20x美金, 而參加研討會的人數為1000+100x。總收入為

此為開口向下的拋物線, 頂點的x座標為 而頂點的y座標則為 =800,000 因此當門票定為 600-20x=600-20(10)=$400時的收入$80,000為最大收入。

多項式和有理式函數 (Polynomial and Rational Functions) 多項式函數(Polynomial Function) 設n為非負整數 ,且 ,我們稱 為n次多項式,其定義域為R 。特別地,當n=1,2和3時,我們分別稱之為 線性函數(Linear Functions),二次函數(Quadratic Functions)和三次函數(Cubic functions)。

多項式函數在直角坐標所顯示出來的圖形為連續(continuous)。連續的定義將再下一單元講解。 一個連續的函數f(x),其圖形若在某一點(a,f(a))之前為上升(下降),而在點(a,f(a))之後為下降(上升),則我們稱之為轉折點(Turning Point),如下圖(圖6)所示:

n次多項式函數至多只有n-1個轉折點, 故其最多亦只有n個實數解。 有理式函數(Rational Functions) 設n(x)和d(x)為多項式,我們稱 為有理式函數。 上述式子表示f(x)的定義域為R\A,其中A表示所有實數x,滿足d(x)=0,所成的集合,意即 , 而 。

例18: 求有理式函數 的截距(Intercepts),定義域和值域。 解: 截距可分為x截距和y截距。設x截距所對應的點為 ,則 滿足 所以 。

同樣地,設y截距所對應的點為 ,則 由於f(x)的分母函數x+1不得等於0,所以x不得等於-1,意即f(x)的定義域為 令 ,則 所以t不能等於1,意即f(x)的值域為

指數函數(Exponential Functions) 設b為一正數,且b≠1,則我們稱函數 為指數函數,其定義域為R,而值域為 。 圖7為指數函數典型的圖形。

圖7

為了對指數函數能有更好的了解起見,我們須先對實數有所了解。 實數包含有理數及無理數。 有理數為可用 所表示的數。

考慮一條數線 圖8 此條數線在想像中應沒有任何空洞存在 ,所以有理數並無法填滿此條數線, 此種在數線上的點不能用有理數來表示所對應的數,我們稱之為無理數。例如 皆是。

這條想像中的數線必須具有無限可分割性,即任兩點之間必存在一個點.若一個無理數想用十進位法來表示,我們只能用無窮不循環小數來表示.例如 即 介於 1跟2之間,把1跟2之間的線段十等分,得知 介於1.4跟1.5之間,再把1.4跟1.5之間的線段十等分,可知 介於1.41跟1.42之間,

我們只能利用無窮分割的方式來逼近一個無理數, 但永遠不能利用十等分的方式將之切割到.為此我們需要 完備公設(Axiom of Completeness): 對於任一個具有上限(Upper Bound)的實數集合,存在一個實數的最小上限(Least Upper Bound)。 例如A={1,1.4,1.41,1.414,1.4142,….}為前述無限逼近 的一個實數集合,其最小上限即為 。所以對於實數線上的一個點我們往往只能用逼近的方式來描述.事實上此即為極限的概念。

例如A中的1.414我們知其和 的距離小於0.001,1.4142則和 的距離小於0.0001。利用以上的概念,我們可知 由完備公設知 為 的最小上限,意即 對應到實數線上一點。

同理,不管b或x為有理數或無理數我們皆可在數線上找到對應於 的一點。 設 ,其中 ,已知 指數法則(Exponent Laws): 1.

2. 3. 若x≠0, 則 。 利用有理數可任意逼近無理數的方式, 則當 時, 以上公式亦適用。

例19: (a) 解方程式 。 解:

以下我們來看看函數 x趨近於無窮大時,f(x)是否會跟著趨近 於某一數? 首先我們令 ,然後看看 在n→∞時,f(n)會有 怎樣的變化?

利用二項式展開法將 展開如下:

由上式可知f(n+1)>f(n),意即 為遞增數列,且

由於3為集合 的上限,根據完備公設集合C的最小上限存在, 我們用e表示此最小上限,且由於 為遞增,故n→∞時, 已知e為無理數,且e=2.71828…..。

事實上當x→∞時,函數 亦趨近於e。以e為底的指數函數 特別重要,因為自然界許多現象都和此函數有關。

對數函數(Logarithmic Functions) 由於指數函數 為遞增函數,所以其反函數存在,我們稱之為對數函數(Logrithmic Functions),並用 來表示,其定義域為 ,而值域為R。 下圖為對數函數的典型圖形:

圖9

證明: 根據定義, 1-4和8為顯而易見。