Computations for Dynamical Systems 張 書 銘 交通大學應用數學系 2010 年 7 月 20 日 smchang@math.nctu.edu.tw 2010 年 7 月 20 日

Outline Dynamical System Computational Dynamical System Chaos Examine Chaos

What's a Dynamical System? 動態系統，也稱 動力系統。 廣義來說，是關心所描述的對象之變化情形。 具體來說，所描述的對象自成一個系統， 系統變化情形是我們關心的課題。

What's a Dynamical System? 在數學上的概念是動態系統中存在一個固定規則，描述了幾何空間中的一個點隨著時間變化情況。 例如：描述鐘擺晃動、管道中水的流動，或者湖中每年春季魚類的數量，凡此等等的數學模型都是動態系統。

What's a Dynamical System? 確切來說, 動態系統就是要研究運動方程的解，對象包括自然界各種物理系統（行星軌道）、生態系統、工程系統（電路問題）及經濟股市等等。 當前混沌系統是動態系統研究熱點之一。

Dynamical System 形式上來說，動態系統可分為： （1）離散動態系統 (discrete D.S.) 遞迴關係式 （2）連續動態系統 (continuous D.S.) 常微分方程, 偏微分方程 延遲微分方程 (delay D.E.) （3）隨機動態系統 (stochastic D.S.)

解的存在性和唯一性 離散動態系統：遞迴關係式

解的存在性和唯一性 連續動態系統：常微分方程

解的存在性和唯一性 連續動態系統：偏微分方程 Cauchy-Lipschitz Theorem 的擴展形式： Cauchy-Kowalevski Theorem，保證偏微分方程的解的存在性和唯一性。

解的存在性和唯一性 連續動態系統：延遲微分方程 隨機動態系統：隨機微分方程 隨機延遲微分方程

Computational Dynamical System （1）離散動態系統: （2）連續動態系統: 常微分方程 偏微分方程 延遲微分方程 （3）隨機動態系統

Computational Dynamical System 求解常微分方程的數值計算方法中，最簡單的是Euler method。由於廿世紀中期之後，電子計算機的發達且蓬勃發展，使得運用數值方法來求微分方程的解已經是一門相當專門的學科。

Computational Dynamical System MatLab高階常微分方程數值計算方法: one-step solver: Runge-Kutta method (ode23, ode45) multistep solver: Adams-Bashforth-Moulton method (ode113)

離散動態系統: 3n +1

離散動態系統: tent map

離散動態系統: logistic map

離散動態系統: Hénon map

離散動態系統: predator-prey map

離散動態系統: complex quadratic map

連續動態系統: Duffing equation

連續動態系統: Van der Pol oscillator

連續動態系統: Rössler system

連續動態系統: Lorenz system

動態系統模型: modified logistic map

動態系統模型: 3 2D charged particles

動態系統模型: 3 vortices system

Q1. Observe the behavior of the map 3n +1.

Q2. Observe the behavior of tent map with μ = 2.

Q3. Observe the behavior of logistic map.

Q4. Observe the behavior of Hénon map.

Q5. Observe the behavior of predator-prey map.

Q6. Observe the behavior of complex quadratic map.

Q7. Observe the behavior of Duffing equation.

Q8. Observe the behavior of Van der Pol oscillator.

Q9. Observe the behavior of Rössler system.

Q10. Observe the behavior of Lorenz system.

混沌動態系統（Chaos） 在數學和物理學中，研究非線性系統在一定條件下表現出的「混沌」現象。

Chaos 混沌理論認為在混沌系統中，初始條件十分敏感，其微小的變化，在經過不斷放大，對未來狀態會造成極其巨大的差別。

Chaos smoke of cigarette mike in coffee

Chaos 1963年美國氣象學家 Edward N. Lorenz提出混沌理論（Chaos），非線性系統具有的多樣性和多尺度性。混沌理論解釋了決定系統可能產生隨機結果。此理論最大貢獻是用簡單的模型獲得明確之非周期結果。在氣象、航空及太空等領域的研究裡有重大的作用。

Chaos: Lorenz strange attractor

Devanvey's chaos 敏感性(sensitivity)： 傳遞性(transitivity)： 週期解稠密性(density)： 對初始條件非常敏感，差之毫釐失之千里。 傳遞性(transitivity)： 可到處遍歷。 週期解稠密性(density)： 存在任意週期。

Examine Chaos bifurcation diagram Feigenbaum constant (period doubling bifurcation, intermittence) Feigenbaum constant spectrum analysis (FFT) Poincaré map

Examine Chaos quasiperiodicity Lyapunov exponent (Lyapunov characteristic exponent) Poincaré recurrence homoclinic bifurcation

Poincaré map

Feigenbaum constant

MLM: modified logistic map

Logistic map

Modified Logistic map

Properties of MLM Chaotic map No windows Uniform distribution Equivalent Pseudorandom

MLM: chaotic map

MLM: no windows

MLM: no windows

MLM: uniform distribution (FFT)

MLM: equivalent (bits error rate analysis)

MLM: equivalent (Poincaré recurrence)

MLM: pseudorandom (SP 800-22)

3 2D charged particles

3 2D charged particles

3 2D charged particles

References S. M. Chang, M. C. Li and W. W. Lin, Asymptotic synchronization of modified logistic hyper-chaotic systems and its applications. Nonlinear Analysis: Real World Applications, Vol. 10, Issue 2 (2009), pp. 869–880. S. M. Chang, T. C. Lin and W. W. Lin, Chaotic and Quasiperiodic Motions of Three Planar Charged Particles. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 11, No. 7 (2001), pp. 1937–1951. S. M. Chang, T. C. Lin and W. W. Lin, Dynamics of Vortices in Two-Dimensional Bose-Einstein Condensates. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 12, No. 4 (2002), pp. 739–764.

References S. L. Chen, S. M. Chang, T. T. Hwang and W. W. Lin, Digital secure-communication using robust hyper-chaotic systems. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 18, No. 11 (2008), pp. 1–14. T. S. Parker & L. O. Chua, Practical Numerical Algorithm for Chaotic Systems, Ch.3, Springer-Verlag, 1989. List of chaotic maps. http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_chaotic_maps 動態系統, 動力系統, 混沌理論. http://zh.wikipedia.org/zh-tw/

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Devanvey's chaos 傳遞性(transitivity)： 可到處遍歷。

Random vs. Chaos Identity： Random numbers: Chaotic signals: 1. Continuous Spectrum 2. Correlation Function：

Random vs. Chaos Observable: Temporal Average for (1): Perturbation: 3. Stability： Observable: Temporal Average for (1): Perturbation: Temporal Average for (2):

Random vs. Chaos Distinction：

MLM: pseudorandom