偏導數的幾何意義 考慮一個由方程式 所決定的曲面。就如下面的圖3所顯示的,平面 與曲面相交於平面曲線 上,且這個值 就是這條曲線在點 考慮一個由方程式 所決定的曲面。就如下面的圖3所顯示的,平面 與曲面相交於平面曲線 上,且這個值 就是這條曲線在點 的切線的斜率。
因此,通過點 而位於平面 上之切線方程式為
同樣的,平面 與曲面交於平面 上,且 就是這條曲線在 點 的切線斜率。
因此,通過點 而位於平面 上之切線方程式為
例5. 試求球面 與平面 相交之曲線於點 之切線方程式。 解:因 在平面 上,切線過 點的斜率為 例5. 試求球面 與平面 相交之曲線於點 之切線方程式。 解:因 在平面 上,切線過 點的斜率為 故所求之切線方程式為 , 亦即
習題: 求下列各函數之偏導數: (1) (2) (3) (4) (5) 求曲面 與平面 之交線於點 之切線斜率與斜線方程式。
高階偏導數 (Higher-order Partial Derivatives) 關於多元函數求偏導數,我們可以瞭解到,當對某一變數做偏微時,只要將其他變數視為常數來處理即可。因此,多元函數求偏導數之方法與一元函數求導數是相似的。一元函數我們有討論高階導數的計算與應用,同樣的,對於多元函數我們也可推至高階偏導數。現在我們就來討論高階偏導數。
定義 二階偏導數(Second-order Partial Derivatives) 由於一個函數的 與 的偏導數實際上也是這兩個變數的函數,它或許可以再對 或 來做偏微分,於是得到四個 的二階偏導數(second partial derivatives)
例6. 若 ,試求二階 偏導數。 解: , 將 分別對 與 再做偏微分, 則得
例7. 若 ,試求二階偏導 數。 解: 則 分別對 與 做偏微分,得
將 分別對 與 做偏微分,得
例8. 若 ,求 及 。 解: 對 再做偏微分,得
對 再做偏微分,得 將 代入,得
一元函數的高階導數,可應用於許多問題上,特別是求極大值與極小值時。同樣的,二元函數的二階偏導數,在後續的討論中,也有許多可應用的問題。目前我們所討論的多元函數,都以二元為例,而高階偏導數也討論至二階偏導數,事實上,多元函數可以推廣至多於兩個變數,而高階偏導數也可推至高於二階,只要大家瞭解了偏微分的基本定義以及計算方法,應該可以往更多元的函數去發展。
習題: 試求下列各二元函數所有之二階偏導數:
習題: 試求下列各二元函數所有之二階偏導數: (4) (5) (6)