生物统计学 第二章 概率和概率分布 2012.3

2.1 概率的基本概念 概率（probability） 确定性现象 非确定性现象 －－ 随机现象 随机现象也并非不可认识，当我们对某一随机现象做了大量的研究之后，就能从其偶然性中揭示出内在的规律。研究偶然现象本身规律性的科学称为概率论。基于实际观测结果，利用概率论得出的规律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科学就是统计学。概率论与统计学都是研究随机现象规律性的科学，概率论是统计学的基础，而统计学则是概率论所得出的规律在各领域中的实际应用。 通过样本推断总体

试验（trial）：同一组综合条件的实现。 随机试验（random trial） 试验的每一最基本的结果称为基本事件（elementary event）。基本事件用小写拉丁字母a，b，x等表示。 基本事件的集合称为事件（event），通常用大写的拉丁字母A，B，…表示。

事件的几种基本运算 1. 事件的和（并，union）

2. 事件的交（intersection）

3. 互不相容事件（mutually exclusive event）

概率的统计定义

频率与概率 frequency and probability 参数：总体的统计指标，如总体均数、标准差，采用希腊字母分别记为μ、σ。固定的常数 样本的实际发生率称为频率。设在相同条件下，独立重复进行k次试验，事件A出现l次，则事件A出现的频率为l/k。 概率：随机事件发生的可能性大小，用大写的P 表示；取值[0，1]。 样本统计量：样本的统计指标，如样本均数、标准差，采用英文字母分别记为 x 、s。 参数附近波动的随机变量 。

事件的频率与该事件的概率有关。事件发生的概率愈大，它的频率就愈高。同样，当它的频率较高时，说明它的概率较大。因此，在试验次数较多时，可以用频率作为概率的近似值。 概率是事件在试验结果中出现可能性大小的定量计量，是事件固有的属性。

小概率事件 1 0.5 必然事件 P = 1 随机事件 0 < P < 1 不可能事件 P = 0 Certain 小概率事件 0.5 必然事件 P = 1 随机事件 0 < P < 1 不可能事件 P = 0 P ≤ 0.05（5％）或P ≤ 0.01（1％）称为小概率事件(习惯)，统计学上认为不大可能发生。 Impossible

概率的古典定义 了解

概率的一般运算 1. 概率加法法则

2. 条件概率 前面所讲的都是在某一组规定的条件下，事件A出现的概率。有时需研究在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。这时的概率称为已知事件B发生条条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability），记为 P（A | B）。 相对于条件概率，把没有附加条件时的概率称为无条件概率（unconditional probability）。

条件

3. 概率乘法法则 将（2.11）式稍加改动，可以得到概率乘法公式： 概率乘法法则（multiplicative law of probability）可以叙述为：两事件交的概率，等于其中一事件（其概率必须不为0）的概率乘以另一事件在已知前一事件发生条件下的条件概率。

学习小组任务 1、请以几种彩票为例，结合概率论知识，论述为什么要中一个彩票大奖很难？ 2、生活中什么时候用到概率乘法法则，什么时候用到概率加法法则，请举例说明。 3、请讲解习题2.10和2.11的答题思路。

4. 独立事件

§2.2 概率分布 1、变量——可以测量的任何特征或属性Any characteristic or attribute that can be measured。 （不同个体结果可能不同） 2、随机变量——在概率论中称变量为随机变量 3、观测值（observed value）、变量值（value of variable）、资料（data） ——变量的测得值。 变量可是定量的，也可以是定性的。 定量变量（quantitative variable）：亦称为数值变量，变量值是定量的，表现为数值大小，一般有度量衡单位。e.g. 身高、体重。 定性变量（qualitative variable）：亦称为分类变量，其变量值是定性的，表现某个体属于几种互不相容的类型中的一种。e.g. 血型，豌豆花的颜色。 常数（constant）：是不能给予不同数值的变量，代表事物特征和性质的数值。e.g.样本平均数，标准差。 随机变量 随机变量（random variable） 观测值（observation），即数据或资料（data） 离散型随机变量（discrete random variable） 连续型随机变量（continuous random variable）

以大写拉丁字母，如X、Y、U等表示随机变量。 以小写拉丁字母如xi、yi、等表示第i次观测值。

离散型概率分布 离散型随机变量X，可能取得的数值为有限个或可数无穷个孤立的值。因此，对于X的每一个值都能得出一个概率值。可以将随机变量X所取得值x的概率P（X＝x）写成x的函数p（x），这样的函数称为随机变量X的概率函数（probability function）。

概率函数 概率

小概率事件 1 0.5 必然事件 P = 1 随机事件 0 < P < 1 不可能事件 P = 0 Certain Impossible 0.5 1 小概率事件 必然事件 P = 1 随机事件 0 < P < 1 不可能事件 P = 0 P ≤ 0.05（5％）或P ≤ 0.01（1％）称为小概率事件(习惯)，统计学上认为不大可能发生。

是指随机变量小于等于某一可能值（x0）的概率。它是累计的吗？

特点1：任一确定的x概率都是0，但并非该事件不发生。不能给随机变量X的每一个值得出一个概率，只能给X中的任意区间给出概率。 连续型概率分布 不同于离散型随机变量任何值都可以求出它的概率。 连续型随机变量在试验中可以取某一区间内的任何值，这些数值构成不可数的无穷集合。 特点1：任一确定的x概率都是0，但并非该事件不发生。不能给随机变量X的每一个值得出一个概率，只能给X中的任意区间给出概率。

概率函数 概率

X的任何一个精确值的概率都等于0，如P（X＝a）＝0， P（X＝b）＝0，所以 连续型概率的特点2： X的任何一个精确值的概率都等于0，如P（X＝a）＝0， P（X＝b）＝0，所以 P（a<X<b）＝ P（a≤X≤b） (2.21) 对于离散型随机变量是否成立？

累计只能从负无限一侧累计。 如何通过分布函数求某一区间概率：

概率分布与频率分布的关系 统计分布（经验分布）－－频率分布 理论分布（总体分布）－－概率分布 统计量（statistic）：样本各种特征均使用拉丁字母表示 参数（parameter）：总体各种特征均使用希腊字母表示

§2.3 总体特征数 随机变量的数学期望和方差

P11 1.10 1.12

＝1

密度函数

有什么意义？

数学期望的统计意义，就是对随机变量进行长期观测所得数据的平均数。因而数学期望只对长期或大量观测才有意义，对于个别观测或试验无意义。 总体参数，总体特征数

数学期望与方差的运算

总体原点矩和总体中心矩 对照p16 了解

了解

本章作业 P38 2.10，2.11，2.14 ，2.15

学习小组任务 1、请以几种彩票为例，结合概率论知识，论述为什么要中一个彩票大奖很难？ 2、生活中什么时候用到概率乘法法则，什么时候用到概率加法法则，请举例说明。 3、请讲解习题2.10和2.11的答题思路。