第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 讲授的主要内容 1. 非正弦周期信号及其分解—复习傅里叶级数； 2. 非正弦周期信号的频谱、平均值、有效值、平均功率的概念和计算； 3. 非正弦周期信号稳态电路的分析法—谐波分析法 ； 4. *对称三相电路的高次谐波。 5. …… 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

      基本要求 重点 了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信号频谱的概念。 非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；  理解周期量的有效值、平均值的概念，掌握周期量有效值的计算方法。  非正弦周期电流电路的平均功率；  非正弦周期电流电路的计算方法(叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理)。  掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平均功率的计算，了解滤波器的概念。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用； 非正弦周期电流电路功率的计算。  难点 叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用； 非正弦周期电流电路功率的计算。 本章与其它章节的联系 本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。 非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容的综合。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

§13-1 非正弦周期信号 实践中会碰到许多非正弦信号，原因有 1. 激励本身是非正弦信号； §13-1 非正弦周期信号 实践中会碰到许多非正弦信号，原因有 1. 激励本身是非正弦信号； 交流发电机的电压严格地说是非正弦量，在电子信息、通信工程、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号。 2. 电路中含有非线性元件 (如整流电路等)。 非正弦信号有周期性和非周期性之分。 周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

实践中常见的非正弦周期信号 o t u o t i o t u i o t 方波 锯齿波 T T 2T 通过显像管偏转线圈的扫描电流 数字电路、计算机的CP等 o t u i o t 全波整流 T 尖顶脉冲 T 桥式或全波整流电路的输出波形 晶闸管的触发脉冲等 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

实践中常见的非正弦周期信号（续） i o t u o t o t u u o t 尖顶波 三角波 PWM调制器的时间基准信号波形 正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形 o t u u o t 阶梯波 半波 T T 由数字电路或计算机产生的正弦信号 半波整流 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∑ ∫ ∫ ∫ §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 1. 非正弦周期函数的分解 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。 ∞ ∑ f(t) = a0+ [akcos(kw1t) + bksin(kw1t)] k=1 1 ∫ T 系数a0、 ak、 bk 分别为： a0= f(t) dt T 2 ∫ T 2 ∫ T ak= f(t) cos(kw1t) dt bk= f(t) sin(kw1t) dt T T 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

根据给定 f(t) 的形式，积分区间也可以改为： a0= T 1 ∫ f(t) dt 根据给定 f(t) 的形式，积分区间也可以改为： ak= T 2 ∫ f(t) cos(kw1t) dt T T - ～ bk= T 2 ∫ f(t) sin(kw1t) dt 2 2 积分区间也可以是 [0～2p] 或 [-p～p ]，例如： 2p ak= p 1 ∫ f(t) cos(kw1t) d(w1t) ak= p 1 ∫ f(t)cos(kw1t) d(w1t) -p 对 a0、bk也作同样的处理。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∑ ∑ f(t) = a0+ [akcos(kw1t) + bksin(kw1t)] ∞ 展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数ak、bk的意义也不明确。 将展开式合并成另一种形式—余弦级数： 令 ak= Akmcosfk bk=-Akmsinfk ∞ ∑ 则 f(t) = A0+ Akmcos (kw1t +fk) k=1 -bk 式中： Akm= fk = arctg ak + bk 2 2 ak 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∑ f(t) = A0+ Akmcos (kw1t +fk) Akm= ak 2 + bk fk = arctg -bk ∞ Akmcos (kw1t +fk) Akm= ak 2 + bk fk = arctg -bk ① A0 是 f(t) 的恒定分量， 或称为直流分量。 ② k=1的项 Amcos(w1t +f1) 具有与 f(t) 相同的频率，称基波分量。 基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。 ③ k≥2的各项，分别称为二次，三次谐波等。 或统称高次谐波。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∑ f(t) = A0+ Akmcos (kw1t +fk) 2. 非正弦周期信号的频谱 ∞ Akmcos (kw1t +fk) 2. 非正弦周期信号的频谱 f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的f(t)，正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。 振幅频谱： f(t)展开式中Akm与w (=kw1)的关系。反映了各频率成份的振幅所占的“比重”。 因k 是正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。 相位频谱：指f k与w 的关系。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

锯齿波的振幅频谱图 i t 锯齿波的傅里叶级数展开式为 2I 2 1 i(t) = cos(w1t-90o) + Ikm/2 w1 2w1 3w1 4w1 5w1 i o t I -I T/2 -T/2 T I/p I/2p I/3p I/4p 锯齿波的傅里叶级数展开式为 2I 2 1 i(t) = cos(w1t-90o) + cos(2w1t+90o) + p 3 1 4 1 cos(3w1t-90o) + cos(4w1t+90o) +   今后若无说明，均指振幅频谱。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∫ 3. 波形特征及其与级数分解的关系 (1)若f(t)为“镜”对称 满足 f(t) = - f(t±T/2) 则a2k = b2k = 0 移动半个周期，得另半个周期的镜像 (1)若f(t)为“镜”对称 满足 f(t) = - f(t±T/2) o t f(t) T/2 T A t1 则a2k = b2k = 0 即展开式中 ①无直流分量； ②不含偶次谐波。 所以即使f(t)不是“镜”对称， 只要它的正、负半周与横轴围成的面积相等， A0 = T 1 ∫ f(t) dt 由 就有A0=0。 知A0是f(t)在一个周期内与横轴围成的面积。 另外，对某些 f(t)，求A0时也可以不用积分。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∫ ∫ ∫ (2) 若f(t)是偶函数 o u t 即满足 f(t)= f(-t) 则 bk= 0 。 A0 = T 2 f(t) dt i f(t) dt i o t T 2 - ak = T 4 ∫ f(t) cos(kw1t)dt 2 (3) 若f(t)是奇函数 即满足 f(-t) = - f(t) bk = T 4 ∫ f(t) sin(kw1t)dt 2 则 ak= 0，只求bk即可： 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

对某些f(t)，适当移动纵坐标(另选一个计时起点)，就变为偶函数或奇函数。 o t u T/2 -T/2 T 即满足f(t) = f(t±T/2) 则a2k+1 = b2k+1 = 0 展开式中不含奇次谐波。 对某些f(t)，适当移动纵坐标(另选一个计时起点)，就变为偶函数或奇函数。 Akm与计时起点无关，由于ak、bk与计时起点有关，所以fk与计时起点有关。 但各次谐波的相对位置不变。 也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到原函数的系数。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∫ 例1 o t p 求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。 解：f(t)是奇函数， ak= 0 所以只需求bk即可。 若将坐标右移T/4 2 Em -Em T w1t 2p p -p 求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。 解：f(t)是奇函数， ak= 0 所以只需求bk即可。 若将坐标右移T/4 2 ∫ p bk = Em sin(kw1t)d(w1t) p o t1 f1(t1) Em -Em w1t T 4 - p -p 2Em = [1-cos(kp)] kp k 为偶数 = 4Em 则新旧函数的关系为： k 为奇数 kp T f(t) = f1 t- = f1(t1) 结果见教材P320。 4 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∫ ∫ ∫ S 由对称性可知： A0= 0， bk= 0。 o t1 2 ak = Emcos(kw1t1)d(w1t1) p = p 2 f1(t1) Em -Em w1t T 4 - p -p p 2 ∫ ak = Emcos(kw1t1)d(w1t1) p p 2 = p 2 ∫ Emcos(kw1t1)d(w1t1) 4Em ∫ kp p + (-Em)cos(kw1t1)d(w1t1) = sin kp 2 p 2 2 k-1 4Em ak = (-1) k 为偶数，ak= 0 。 k 为奇数， kp 4Em 1 1 f1(t1) = cos(w1t1)- cos(3w1t1)+ cos(5w1t1) + … p 3 5 ∞ 4Em S 1 或者： f1(t1) = (-1) k-1 cos[(2k-1)w1t1] p 2k -1 k=1 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

4 T 若需要写 f(t) 的展开式， f(t) = f1 t- 4Em w1T 3w1T 1 f(t) = cos(w1t - ) - ) + … p 4 3 4 因 w1T= 2p 所以 w1T/4 = p/2 4Em 1 1 f(t) = sin(w1t) + sin(3w1t) + sin(5w1t) + … p 3 5 o w Akm w1 3w1 5w1 7w1 9w1 频谱图 4Em p 4Em 3p 4Em 5p 4Em 7p 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

理论上，一个收敛的傅里叶级数要取无穷多项，才能准确代表原函数。 f(t) = p 4Em sin(w1t) + 3 1 sin(3w1t) + 5 sin(5w1t) + · · · o w1t f(t) 取前3项的情况 理论上，一个收敛的傅里叶级数要取无穷多项，才能准确代表原函数。 实用中，根据展开式的收敛速度和误差要求取前几项，高次谐波可以忽略。 13次， ≈1.05Em ； 35次， ≈0.98Em 。 方波的展开式收敛速度比较慢： 分析时还应考虑频率响应。如：在某个(些)频率下可能发生谐振等。 在w1t =p /2时，取到11次谐波，f(p /2) ≈0.95Em ； 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∫ ∫ ∫ ∫ §13-3 有效值、平均值和平均功率 1. 有效值  回忆三角函数的性质： ① sin、cos、sin2、cos2 在 1 §13-3 有效值、平均值和平均功率 1. 有效值  回忆三角函数的性质： 1 ∫ ① sin、cos、sin2、cos2 在 T I = i2(t)dt T 一个周期内的积分为0； 当給出的电流(或电压)是波形或不是展开式时，用定义式直接计算。 为了找出有效值与各次谐波的关系，将展开式代入定义式积分。 ② 正交性质 (k≠q) 2p 1 ∫ coskwt sinqwt d(wt)=0 T 2p 1 ∫ coskwt cosqwt d(wt)=0 T 1 ∫ 2p sinkwt sinqwt d(wt)=0 T 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∫ S S S S S S 设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数： i = I0 + Ikm cos(kw1t +fk) i2 = I0 ∞ Ikm cos(kw1t +fk) ∞ ∞ S S i2 = I0 +2I0 Ikm cos(kw1t+fk) + [ 2 Ikm cos(kw1t +fk)]2 k=1 k=1 积分结果为零 该项可化为(k≠q) S k=1 ∞ Ikmcos2(kw1t+fk) + 2 S k=1 ∞ 2Ikmcos(kw1t+fk) Iqmcos(qw1t+fq) 积分结果为零 2cos2a =1+cos2a 该项的积分结果为： S k=1 ∞ 第一项的积分结果为： T 1 ∫ I0 dt=I0 2 Ik 2 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

S S 非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为 I0 + 2 Ik I = I0 2 + I1 + I2 + I3 + … = ∞ Ik I = I0 2 + I1 + I2 + I3 + … = 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。 此结论可以推广用于其他非正弦周期量。 U0 + 2 S k=1 ∞ Uk U = 对非正弦周期电压 当給出的电流或电压是展开的级数形式时，可分别用以上两式计算。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∫ ∫ ∫ ∫ 2. 平均值 1 Uav | i | dt T  对同一非正弦量进行测量时，不同类型的仪表有不同的结果： o t | i | T/2 T ∫ def T 1 Uav | i | dt Uav T  对同一非正弦量进行测量时，不同类型的仪表有不同的结果： 直流仪表(磁电系仪表)表针的偏转角 交流仪表(电磁系仪表)表针的偏转角 全波整流(磁电系)仪表表针的偏转角 T 1 ∫ T T 1 ∫ T T 1 ∫ T a ∝ i dt a ∝ i2 dt a ∝ | i | dt 所以测量结果 所以测量结果 所以测量结果 是恒定分量A0。 是有效值。 是平均值。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

∫ S S ∑ 3. 平均功率 设 i = I0 + Ikm cos(kw1t+fik) u = U0+ Ukm cos(kw1t+fuk) 任意 一端口 + - u i 设 i = I0 + S k=1 ∞ Ikm cos(kw1t+fik) u = U0+ S k=1 ∞ Ukm cos(kw1t+fuk) ∞ 因电流与电压的参考方向关联，故一端口吸收的瞬时功率为 p=ui。 ∑ P = U0 I0 + Uk Ikcosjk k=1 Uk 、Ik是第k次谐波的有效值。 jk是第k次谐波电流与电压的相位差。 所以平均功率为 1 ∫ T P = ui dt T 积分结果为 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

§13-4 非正弦电流电路的计算 ①分解； 注意 把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解。 §13-4 非正弦电流电路的计算 ①分解； 注意 把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解。 交流各次谐波电路计算可应用相量法，迭加时必须用瞬时值； ②计算； L、C 对直流分量、各次谐波分量的“态度”是不同的： 利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应。 XkL= kwL 1 ③叠加。 XkC= kwC 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

uS = [10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t) R C + - uS i 3W -j9.45W 例2 uS = [10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t) +28.28 cos(5w1t)+20.20 cos(7w1t) +15.71 cos(9w1t) + ] V, 试求 i 和P。 解：分析步骤 k = 1，基波作用 ①分解；已是级数形式。 . Im(1)= 141.4 0o ②分别求各分量单独作 3 - j9.45 用的结果； =14.26 72.39o A 注意感抗、容抗与频 率的关系！ 2 1 P(1)= I(1) R = 2 Im(1) R 2 k = 0，因C有隔直作用所以I0 = 0，P0 = 0 = 305.02W 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

72.39o A, . Im(1) = 14.26 1 9.45 k = 3， XC(3)= XC(1) = =3.15W 3 3 . P(1)= 305.02W R C + - uS i 3W -j9.45W 1 9.45 k = 3， XC(3)= XC(1) = =3.15W 3 3 . Im(3) = 47.13 0o = 10.83 46.4o A 3 - j3.15 1 2 P(3)= I(3) R = Im(3) 2 R = 175.93 W 2 . Im(5) 、 . Im(7) 、 . Im(9) 同理可求得： 和 P(5)、P(7)、P(9)。 ③用叠加原理，按时域形式叠加 i = 14.26cos(w1t+72.39o) +10.83cos(3w1t+46.4o)+  P = P0 + P(1) + P(3) +  +P(9) = 669.8W  注意：同频率的电压电流构成有功功率。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

例3：已知 L=0.1H，C3=1mF，电容C1中只有基波电流，电容C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。 给定 iS i1 i2 i3 200W 100W iS=5+20cos1000t+10cos3000t A 解：C1中只有基波电流，说明 L和 C2对三次谐波 发生并联谐振。所以： 对基波发生串联谐振。 所以： L/C2 1 + = 0 1 10 jwC1 j(wL-1/wC2) C2 = = mF w2L 9 80 C1 = mF C3中只有三次谐波电流，说明 L、C1、C2 9 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

例3：求C1、C2和各支路电流。已知 L=0.1H，C3=1mF iS i1 i2 i3 200W 100W 例3：求C1、C2和各支路电流。已知 L=0.1H，C3=1mF iS=5+20cos1000t+10cos3000t A 直流作用时 I1(0)=5A，I2(0)= I3(0)=0 C1 C3 i1(3) i2(3) i3(3) 200W 100W 并联谐振 iS(3)=10cos3000t 基波作用时串联谐振 i2(1)=20cos1000t A i1(1)= i3(1)= 0 30 三次谐波作用时 = = 2.23 48o A 9-j10 . I3m(3) = 100×10 . I1m(3)= . IS(3)- . I3m(3)=8.67 -11o A 100+200-j103/3 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

例3：求C1、C2和各支路电流。已知 L=0.1H，C3=1mF iS i1 i2 i3 200W 100W iS=5+20cos1000t+10cos3000t A 直流作用时 I1(0)=5A，I2(0)= I3(0)=0 三次谐波作用时的瞬时值 i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A 基波作用时 i2(1)=20cos1000t A i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A i1(1)= i3(1)= 0 按时域形式叠加： 三次谐波作用时 i1=5+8.67cos(3000t-11o)A . I3m(3) i2=20cos1000t A = 2.23 48o A . I1m(3)=8.67 i3=2.23cos(3000t+48o)A -11o A 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

三相发电机、变压器、电动机等都带有铁心，所以由它们组成的对称三相电路，其电压、电流都可能含有高次谐波分量。 * §13-5 对称三相电路的高次谐波 三相发电机、变压器、电动机等都带有铁心，所以由它们组成的对称三相电路，其电压、电流都可能含有高次谐波分量。 i o wt u o wt 根据对称三相电源的概念，若A相电压 uA=u(wt) 则 uB=u(wt-120o)， uC=u(wt+120o) 由于三相发电机每相电压或电流总是奇函数， 所以傅里叶级数展开式中不含偶次谐波。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

uA =Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5) 则 uB、uC分别为： uB =Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3) +Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7 )+  uC =Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3) +Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7 )+  注意到三角函数的周期性， 上述三相电压的展开式可以整理为 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

uA =Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3) uB =Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3) +Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7 ) +  uC =Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3) +Um5cos(5w1t-120o+f5)+Um7cos(7w1t+120o+f7 ) +   基波、7次、、(6n+1)次谐波 [n为自然数] 分别是正序对称的三相电压，构成正序组；  3次、9次、、(6n+3)次谐波 分别构成零序组； 即三相对称非正弦周期量可分解为三类对称组。  5次、11次、、(6n+5)次谐波分别构成负序组； 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

线电压中不含零序组 (uAB = uA- uB) 在对称非正弦情况下 1. 对Y连接的电源，相电压含全部谐波分量 Uph= Uph1+ Uph3+ Uph5 +  2 线电压中不含零序组 (uAB = uA- uB) Ul = Ul1+ Ul5+ Ul7 +  2 3 或 Ul = Uph1+ Uph5+ Uph7 +  2 2. 由正序组和负序组电源、对称负载组成的对称三相电路，仍可分别归结为一相计算，方法同§11-3 。 对零序组，由于中点电压不为零，所以不能归结为一相计算。分两种情况： 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

由于负载电流没有零序分量，所以负载相电压中也没有零序分量。 中线中有零序组电流分量。 + - A B C RC N N' uA RA iA RB uB uC iB iC 无中线时 负载(相)电流、线电流不含零序组分量。 中点之间的电压只含零序组分量： iN UN'N = Uph3+Uph9 +  2 当有中线时 由于负载电流没有零序分量，所以负载相电压中也没有零序分量。 中线中有零序组电流分量。 注意到零序分量的特点，不难分别算出零序组谐波电流。 负载端线电压仍是相电压的 3 倍。 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

电源的△接法能消除零序电压对系统的影响。 由于电压都降落在内阻抗上。所以△电源端线电压只含正序组和负序组分量。即 3. 电源接成△时 + - uA uB uC A B C 正序组和负序组的回路电压为零。 但零序组的回路电压不为零，将产生环流： 3Uph3 Uph3 I(3) = = 3Z3 Z3 Ul = Ul1+Ul5+Ul7 +  2 Uph9 这一点与Y连接一样。 I(9) =  Z9 电源的△接法能消除零序电压对系统的影响。 由于电压都降落在内阻抗上。所以△电源端线电压只含正序组和负序组分量。即 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

本章结束 思考： 打开缺口时，电压表的读数为 A.正序电压分量。 B.负序电压分量。 C.零序电压分量。 A + uA - B uC uB V B.负序电压分量。 C.零序电压分量。 本章结束 2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五

2019年1月18日星期五2019年1月18日星期五