統計學: 應用與進階 第5 章: 常用的離散隨機變數

Bernoulli 隨機變數 二項分配(binomial distribution) Poisson 分配

Bernoulli 隨機變數 如果X 的機率分配為 其中X = 1 代表出象為成功(success); X = 0 代表出象為失敗(failure), 則我們稱X 為具有成功機率p的Bernoulli 隨機變數, supp(X) = {x|x = {1, 0}},並以X Bernoulli(p) 表示之

Bernoulli 隨機變數 若X~Bernoulli(p), 則 E(X) = p, 且Var (X) = p(1 − p).

Bernoulli 隨機變數 凡是研究的主題可以用二元的結果來表示, 我們就可以利用Bernoulli 隨機變數予以刻畫或描述。舉例來說, 擲一枚銅板, 出現正面或反面 新藥物副作用之有無 任選問一位台大學生對於某項新政策之意見(贊成或反對) 品管過程中, 所製造出之產品好壞(良品或不良品) 明天的股價之漲跌

阿國選里長 假定有n 個人參加, 準備編號分別為1~ n 的球, 放入桶子中 每位來賓入場時抽選一個號碼球, 抽出放回 最後, 摸彩時由阿國在桶中抽出一個號碼球, 凡是在入場時抽選到與阿國相同號碼的來賓, 都可以獲得禮物 得獎的機率提高, 願意參加餐會的人自然會變多

阿國選里長 刺激參與人數變多固然是件好事 但是送獎品出去畢竟也是個支出, 得獎的人數變多造成額外的支出 阿國想要瞭解, 使用新的摸彩方式後, 得獎人數分別為0, 1, 2, . . . 的機率分別是多高?

阿國選里長: 小馬的電腦模擬(n = 1000) 小馬繼續模擬在n = 10000 以及n = 100000 的情況。出乎意料地, 數字都非常接近

Bernoulli 隨機試驗過程 例子中, 新的摸彩方式, 可以用所謂的Bernoulli隨機試驗過程(Bernoulli Trial Process, BTP)來探討 給定隨機序列 滿足 X1, X2,. . . , Xn 相互獨立, Xi ~ Bernoulli (p), 則稱隨機序列 為一Bernoulli 隨機試驗過程, 且以 ~ BTP(n, p) 表示之

Bernoulli 隨機試驗過程 簡單地說, Bernoulli 隨機試驗過程就是獨立地重複多次的Bernoulli 隨機試驗 eg. 擲銅板多次 由於Bernoulli 隨機試驗過程的每次試驗均為獨立, 因此, 我們可以計算出每次試驗的聯合機率分配

例子 若 ~ BTP(2, 0.3), 則X1 ~ Bernoulli(0.3), 且X2 ~ Bernoulli(0.3), 根據BTP 的定義, X1 與X2 為獨立, 則X1 與 X2 的聯合機率分配為

i.i.d. 隨機變數 若有一序列的隨機變數{X1, X2, . . . , Xn} 相互獨立且來自相同分配(independent and identically distributed), 則稱之為i.i.d. 隨機變數(i.i.d. random variables) 值得注意的是, 兩個隨機變數具有相同的分配,並不代表他們為相同的隨機變數

例子: 擲一非公正銅板兩次 銅板出現正面(H) 的機率為0.3, 出現反面(T)的機率則為0.7 樣本空間為: Ω = {HH,HT, TH, TT}, 且 P({HH}) = 0.09 P({HT}) = 0.21 P({TH}) = 0.21 P({TT}) = 0.49

例子: 擲一非公正銅板兩次 定義兩隨機變數X1 與X2 如下: X1 與X2 均為Bernoulli(0.3) 之隨機變數, (具有相同的分配) X1 與X2 並不是相同的隨機變數

i.i.d. 隨機變數的重要性質 為i.i.d. 隨機變數, 且E(Xi ) = μ, Var (Xi ) = 。若給定 則

二項分配 如果隨機序列 為BTP(n, p), 若定義一 個新的隨機變數Y 則稱隨機變數Y 服從二項分配, 或稱二項隨機變數, 並以Y b(n, p) 表示 二項隨機變數刻劃n 次獨立的Bernoulli 隨機試驗中, 成功的次數

例子: 擲銅板10 次, Xi = 1: 第i 次為正面(H) 一個可能的出象為: {H,H,H, T,H, T,H,H, T, T}, 亦即出現正面6 次(成功6 次) {X1, X2, . . . , X10} 的實現值則為 {1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0}. = 1+1+1+0+1+0+1+1+0+0 = 6 即為出現正面(成功) 的次數

二項分配 若Y 服從二項分配Y b(n, p), 則 其中

二項分配 根據定義, 二項隨機變數Y 的E(Y ) 與Var(Y) 但是其計算太過繁雜

透過i.i.d. 性質, 我們可以輕易地求出E(Y )與Var (Y ) 由於Y 為二項隨機變數, 則Y 可寫成

Poisson 分配 Poisson 分配係由Simeon D. Poisson(1781–1840) 從二項分配的極限推導而來 Bortkiewicz (1868–1931) 利用Poisson 分配計算普魯士軍隊士兵被馬踢傷因而致死的人數, 雖然這是一個有趣的例子, 但是百年來在日常生活中, Poisson 分配依然沒有一個適切的應用

Poisson 分配 直到Willaim Sealy Gosset (1876–1937) 在Biometrika 以學生(Student) 的名義發表一篇有關酵母活菌的論文, 發現單位體積內酵母細胞的數目可由Poisson 分配來描述

Poisson 分配 Poisson 分配可用來刻畫單位時間內, 或是單位空間內的發生次數或個數 以下為幾個Poisson 隨機變數之例子: 在一小時內, 到麥當勞櫃檯點餐的顧客人數 單位體積內酵母細胞的數目 每天總機的電話通數 一本書中每頁的錯字數 某條道路上每三公里發生車禍的次數

Poisson 分配 Poisson 試驗有兩個重要的性質 對於相同單位的時間或空間內, 事件發生的機率相等 在不重疊的時間段落或空間單位裡, 事件各自發生的次數是獨立的

Poisson 分配的離散機率密度函數 若X 具Poisson 分配, 則 其中e ≈ 2.71829,supp(X) = {x|x = 0, 1, 2, . . .}。我們以X ~ Poisson(λ) 表示之

Poisson 分配的動差性質 給定X ~ Poisson(λ), E(X) = Var (X) = λ

Poisson 極限定理(Poisson Limit Theorem) 亦即, Poisson 分配是二項分配b(n, p) 的一個極限分配 Poisson 分配是二項分配的極限, 則Poisson 分配自然可以做為二項分配的近似值

給定p = 0.03, n = 80, = np = 80 × 0.03 = 2.4

Poisson 分配 一般來說, 當n 很大, p 很小, 而 為一個定值時, 則Poisson 分配就可以替代二項分配

關於參數 的詮釋 參數 為Poisson 隨機變數X 的期望值 一般來說, 是無法觀察到的參數, 在應用上,我們通常以過去的樣本平均值作為 λ 代入

例子: 根據過去經驗, 某3C 量販店平均一星期賣出兩台數位相機, 則 λ = 2 每星期賣出5 台數位相機的機率為 如果我們要計算的是每個月賣出5 台數位相機的機率, 此時 λ = 2 × 4 = 8,

Thinking Challenge You work in Quality Assurance for an investment firm. A clerk enters 75 words per minute with 6 errors per hour. What is the probability of 0 errors in a 255-word bond transaction? © 1984-1994 T/Maker Co.

Poisson Distribution Solution: Finding * 75 words/min = (75 words/min)(60 min/hr) = 4500 words/hr 6 errors/hr = 6 errors/4500 words = .00133 errors/word In a 255-word transaction (interval):  = (.00133 errors/word )(255 words) = .34 errors/255-word transaction

Poisson Distribution Solution: Finding p(0)*

再訪「阿國選里長」 每一個來賓所抽到的號碼要嘛是得獎號碼, 要嘛不是, 即為兩種出象的Bernoulli 隨機試驗 若總共有n 個來賓參加募款餐會, 則任一號碼為得獎號碼的機率為1/n 令Xi = 1 代表第i位來賓所抽到的號碼為得獎號碼, 而 則代表n 個來賓中的得獎人數

再訪「阿國選里長」 因此, Y b(n, 1/n) 得獎人數為y 的機率為 λ = np = n × 1/n = 1, 根據Poisson 極限定理,

再訪「阿國選里長」