Xin-Nian wang and M. Gyulassy Physics Review D vol.44 3501 Hijing: a monte carlo model for multiple jet product in pp pA and AA collision Xin-Nian wang and M. Gyulassy Physics Review D vol.44 3501

Introduction HIJING是目前唯一一个将PYTHIA中PQCD近似、多重产生过程于核效应相结合的MONTE CARLO产生器。 它将PP碰撞的结果进行新的模型参数化，从而使结果外推到核核碰撞的过程。

HIJING 作为新的核核产生器，具有以下特征 依照Lund FRITIOF和DPM模型(Dual Parton model)来模拟软过程。并且，还在反应初态加入了组分末点的多重低交换作用。 依照PYTHIA的模型，在多重minijets产生中加上了初态和末态的辐射效应。在HIJING中，在计算minijets的每个非弹的pp碰撞是运用eikonal公式。为了触发大横动量的过程，计算semihard背景和软背景是相一致的。 用了核散射几何来计算碰撞参数对于非弹过程数的依赖关系。 引入一个依赖于碰撞参数的部分子结构函数来研究对于核shadowing效应的敏感性，特别是胶子结构函数 引入了jet quenching模型，计算在中等及较大横动量的部分子穿过产生的高密度物质而产生的能量丢失dE/dx

SECTION 2 nucleon-nucleon collision 详细地介绍了HIJING中用到的PP碰撞的模型，并且将结果于以有的实验数据做了对比。 A: cross section for multiple jet production B: trigger on jet production C: soft interaction D: low transfer E: structure of multiple production

A: Cross Section for multiple jet production pp碰撞的硬过程如图所示 用PQCD计算其截面，形式为 在上式中, 是部分子在质子中的分布函数,对所有的味道的部分求和， 和 是初态部分子的光锥动量坐标系的动量分数， 和 是末态部分子的快度。 它们的运动学关系如下所示：

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图2绘出了不同能量下的多重jet过程的几率分布

一旦给定了jet的事例数，HIJING就会调用PYTHIA程序来确定碰撞粒子的运动学量。

B: Triggering on jet production 随着 由小到大变化，jet的微分截面有好几个数量级的变化。为了提高模拟的效果，在trigger一个jet事例时，就需要一个特别的 cut。这个trigger可以改变多重产生的几率，从而改变整个的事例的结构。

可以看出，trigger越 大 的事例，产生的jet的事例数就会成比例增大。 图4就模拟了不同trigger值下 随jet的分布。

C、Soft interactions 在HIJING中，我们把 的minijet产生过程叫做软过程。而且，在100Gev量级的质心能量中起主导作用的就是软过程。 对软过程的处理，我们采用多重弦模型。认为软过程是小PT胶子的辐射引起强子的纵向激化。 然后再用Lund jetset7.2中的碎裂子程序来描写强子化过程。

C、Soft interactions 假设碰撞前两强子的光锥动量为： 并且满足： 则他们交换动量 后， 末态动量变为：

C、Soft interactions 软过程的一个显著特点是，低横动量的胶子交换却可以导致光锥动量的较大变化。 这时，这两个强子都看作是一条激发的弦。我们作如下定义： 则其不变质量分别为：

C、Soft interactions 在HIJING中，我们需要对激发后的弦的质量作一个 限制，其最小值是 =1.5Gev。这样，我们可 以得到对 的限制，即: 上式同时也说明了只有质心能量满足下式的碰撞才能产生激发的弦。 本式也同时限定了由软过程所能获得的横动量的最大值。 在既有软过程又由硬过程的反应中，也可以产生弦。但是由于硬散射过程的存在，导致对X的限制的缩小。

C、Soft interactions 关于光锥动量交换P发生的几率，在FRITIOF模型中认为弦的产生是由于的部分子之间发生了弹性碰撞，所以几率被假定为： 而且，这一公式还可以很好的拟合单衍射事例中的dM/M实验分布。 在HIJING中，采用如下的经验公式： 其中c=0.1Gev。

C、Soft interactions 我们假定上述公式对于非单衍射事例以及PP和PA碰撞中的弦弦相互作用也同样适用，在质心能量小于100Gev时，与实验数据相符 但对于更高能量，预言的末态粒子的快度分布过宽，所以结合DPM模型，采用如下的参数化方式来拟合试验： 核子为： 介子为：

C、Soft interactions 有了上述假设后，试验中又发现在多重产生中的波动太小了。FRITIOF中引入胶子辐射的模型来解决。即认为在弦上产生一个kink。HIJING中也采用这一方案。 在用前面的式子得到质量后，HIJING中调用FRITIOF1.7中的AR3JET和ARORIE两段子程序来计算快度和kink的PT。 然后再用Lund jetset7.2中的碎裂子程序来描写强子化过程。 下面来看看HIJING与实验数据的比较。

C、Soft interactions 右图为在三个不同能量下的pp碰撞中，带电粒子的快度分布。在这中低能量区域中，主要发生的是软过程。 图中给出了在中等能量下的低 的多重粒子产生对能量的依赖关系。

C、Soft interactions 左图为两个不同能量下pp碰撞中，带电粒子多重数的分布。 图中（在这一ISR能量下，minijet产生也主要是由软过程产生的）可以看到由HIJING计算的结果与实验符合得很好。特别是计算结果也再现了KNO能量标度无关性。

C、Soft interactions 右图为在能量24Gev的pp碰撞中质子的快度分布 这里与实验数据吻合得不够好。这是由于用了JETSET7.2的双夸克碎裂模型。如果采用DPM模型能得到更好的结果，但这一版本还没有采用。

D、Low PT transfer 除了PT<P0的胶子kinks之外，软过程还包括弦的两端的夸克或者diquark的低横动量的交换(kick)。所以对软过程应该做一些修正。 右图为带电粒子的横动量分布。从中可以看到修正对于P和π分布中出现的大PT的尾巴是非常重要的。

D、Low PT transfer 从上图可以看到，对于修正，我们期望结果在大横动量（当然PT<P0）下应该能平滑的推至硬过程，而对于PT<<P0的情况下改变不多。 所以我们将低横动量转移kick发生的几率参数化为： 这样，考虑到这些kick后，提高了末态强子的横动量，就可和试验数据符合得很好。

D、Low PT transfer 左图为在Elab=102和200Gev下的平均横动量<PT>随快度的分布。 HIJING和试验数据都显示了在碎裂区的标度无关性。

D、Low PT transfer 右图为上页图的另一种处理方式。其横坐标为： 从图中可以看到一种海鸥效应，而且可以比上图更清楚地看到它随能量的增加。

E、Structure of multiple production 在HIJING采用的模型中，非弹pp碰撞至少会产生两段激发的弦，色流沿着弦从一头流向另一头。 但如果考虑多重粒子产生事例中的色排序的话，计算将变得非常复杂。PQCD也不能解决这一问题，因为取决于色紧闭对于末态的长程关联性。 幸运的是，很多实验数据发现最后结果并不依赖于这种效应。在多重产生中末态胶子可以通过多种方式与弦的末点相连而对结果影响不大。

E、Structure of multiple production 所以在HIJING中，将所有的胶子按快度排序，这样就最小化了弦质量的变化。 HIJING还利用这种不敏感性来简化硬过程的计算。对于这种包含有硬过程的事例 ，HIJING将其子过程限制为胶子胶子碰撞。 为了简化计算，末态出射粒子的味道由带有固定色流的价夸克所代替，这样可以正确修正PQCD过程的速度和运动学量。 作上述简化之后，由给定的参数就可以用A部分的方法写出反应的截面和jet的数目。然后再用PYTHIA程序来检验他们的运动学变量，包括和强过程有关的胶子辐射。最终由JETSET7.2来处理强子化过程

E、Structure of multiple production 右图为在质心能量为53Gev的pp碰撞和200Gev的 碰撞中的多重产生带电粒子的赝快度分布。 HIJING重现了随着能量的增加平台宽度会增加以及中心密度会提高。 图中可以看出，在CERN能区，minijet的产生在中间快度区是一个很重要的粒子来源。

E、Structure of multiple production 左图是在与上图同样的能量下的不变单举截面的PT分布。 这里HIJING成功地重现了大PT时的截面以及尾部对能量的依赖。这是检验将软过程和硬过程相统一的很好的证据。

E、Structure of multiple production 右图为在质心能量为200Gev的 碰撞中带电粒子多重产生的分布。 从图中可以看到，低多重数事例主要由零jet过程产生，高多重数事例主要是多jet过程。

SECTION3 Parton Production in pA and AA Collisions 这一部分中，我们要把前面的结果应用到核核碰撞中，这就不得不考虑核效应了。 A、Binary collision approximation B、Nuclear shadowing effect C、Jet quenching D、Examples

A、Binary collision approximation 参加两两碰撞的核子一般来说也包括那些“受伤”的核子。即参加过碰撞的核子。 这些受伤的核子看成为q-qq的弦系统。HIJING中综合了FRITIOF和DPM模型，把受伤的核子看作正常的核子以剩下的能量继续参加碰撞，并且只参加软碰撞。而且，还假设这些核子的质量在软过程中可以退激发。

A、Binary collision approximation 这种近似当然也可用在硬过程中的部分子上，但因为部分子连续发生大PT碰撞的几率很小，所以目前不予考虑。 随着能量的增加，参加硬过程的部分子的数量将快速增加，使得初态相互作用导致shadowing现象。 但这里采用的binary近似是与A部分的6式符合的：

A、Binary collision approximation 给定碰撞参数下的两两碰撞数量由Glauber几何决定，采用三个Wood-Saxon核密度参数来计算。 对于每一个这种独立的两两碰撞，我们就可以用第二部分的Eikonal公式来计算碰撞的几率和jet的数目。碰撞后的核子减去损失的能量再由几何几率决定是否参加下次碰撞。 当所有这种两两碰撞完成后，散射出来的部分子将按快度排列然后再与核子中的价夸克或者di-quark连接成弦系统。如果产生的两个部分子带有相反的味，则形成独立的弦系统 。

A、Binary collision approximation 对于多重产生。因为在几乎每个核子核子碰撞中都会伴随着软过程，而且每个软过程都会产生一个小PT，所以在多重非弹散射中发生硬过程前，部分子将带有一部分横动量。这种初态的相互作用会给硬过程的结果产生一些影响。 HIJING中用 来描写初态的横动量。

B、Nuclear shadowing effect 在Au-Au碰撞中，若非弹中心碰撞截面为 则平均最多有50个两两碰撞发生。 由图一知道在200Gev和2000Gev时，PP碰撞的jet截面为10和70mb.如果 那么可以类比知道对应能量的Au-Au碰撞平均有12个和84个minijet产生。 我们又知道每个minijet产生的截面约为0.3mb，所以Au-Au碰撞中minijet总截面为3.6mb和25.2mb,约占非弹截面的0.1或0.6。所以独立近似是成立的。

B、Nuclear shadowing effect 然而，shadowing效应的存在将减少minijet的截面 在相对论重离子碰撞中，最重要的核效应之一就是shadowing效应，即在小x区域对部分子结构函数进行修正。 在这一部分，我们主要做以下近似： 1.虽然还没有对胶子的shadowing效应的实验数据，我们假定它与夸克的相同。 2. 目前还没有实验数据可以表明夸克的结构函数有明显的 依赖，所以我们还忽略shadowing效应的QCD演化。

B、Nuclear shadowing effect 3.现在也没有实验数据能充分检验shadowing效应对A的依赖。所以我们采用下面的公式来参数化： ，X0=0.1，Xl=0.7。 上式最后一项描述了当X<X0时，RA对于A的主要依赖；其余部分则描述了当X>X0时对于A的轻微依赖。这样就可以全面描述在小X和中间X区域的夸克结构函数。

B、Nuclear shadowing effect 左图就是在小x和中等x区域对于不同核A的RA(x)的测量。图中实线是根据RA做出的曲线。

B、Nuclear shadowing effect 4.计算两两碰撞的有效截面时还应考虑到对碰撞参数的依赖，我们假设αA与碰撞点的核的纵向尺度成比例。所以将αA参数化为： 其中r是参加反应的核子到核中心的距离，RA是核的半径。 对于重叠函数为 的扁球形核，其核子的平均αA就应该为：

B、Nuclear shadowing effect 在程序中为了简化计算，我们将RA分成了两部分: 这样这两部分现在都不依赖于r。 于是A+B碰撞中的核子核子两两碰撞的有效截面为： 其中各项都可以用前面的公式算出来，这样我们就知道了两两碰撞的有效截面。

C、Jet quenching 重离子碰撞中另一个重要的核效应是末态相互反应。 在高能核核碰撞中，在中央区域会由强子或者部分子形成高密度物质（QGP?）。硬过程中所产生的大横动量jet将要穿越这一区域而损失能量，这就是jet quenching。 为了弄清楚这种高密度物质的性质，有必要研究jet与这种物质的相互反应，以及jet穿过这一物质时的能量损失。

C、Jet quenching 左图是实验上观察到的jet quenching现象。 右图是解释这一现象的模型。

C、Jet quenching 在HIJING中简单的认为部分子能量损失全是由于穿越过程中的胶子辐射引起的。在部分子的平均自由程为 极限下，单位长度上的能量损失参数化为： 其中 ，E是部分子的能量，s为软过程的质心能量，μ是高密度物质的红外截断标度(infraredcutoff scale)。 例如 时，一个具有30Gev能量的部分子，其能量损失dE/dx约为1-2Gev/fm。

C、Jet quenching Hijing中应该先确定能量损失发生在哪一点。我们认为只有jet所经过路径的以rs为半径的圆柱形中的弦才会与jet发生反应，其中的rs是一个参数。发生反应的点由下面的几率决定： 其中l是jet最后一次反应后所穿过的距离。 所以能量损失为： 直到jet穿出了这一物质区域，或者它的能量损失殆尽。 因为原jet的能量被分到好几条弦上，所以就表现出jet quenching现象，而且也不违反能动量守恒。

D、Numerical examples 右图是在200Gev下，pp、p氩、p氙碰撞中负离子的快度分布与HIJING计算结果的比较。 在这一能量下，粒子产生主要是由软过程激发引起的。 图中快度顶点朝靶区移动，而且同靶核的原子数成比例。 粒子的产生也与A成比例

D、Numerical examples 上面左图是在Elab=60Gev/核子和200Gev/核子时O+Au碰撞中的负离子快度分布。 右图是在Elab=200Gev的pp和O+Au碰撞中的负离子横动量分布。在O+Au碰撞中大PT有一个上扬，这是由于末态相互作用引起的。 这个实验可以用来检验HIJING中的多重软过程的算法。

D、Numerical examples 左图为在b=0，Elab=200Gev/核子时Au+Au碰撞中带电粒子的赝快度分布的计算结果。 实线为默认处理方法，即考虑了多重minijet产生、小x的shadowing效应和jet quenching. 点线为只考虑软过程的结果，在中央快度区是实线的一半。 点横线为不考虑shadowing效应，结果是实现的两倍。

D、Numerical examples 左图是在能量为200Gev/核子的Au+Au碰撞中的带电粒子的PT分布的计算结果。 实线为考虑了jet quenching效应。且其参数为：dE/dx=2Gev/fm,λs=1fm. 虚线为不考虑jet quenching。所以导致了图中PT>2Gev时的上扬。