第五章 機率觀念概述

學習目標 1.定義機率、實驗、事件及結果等專有名詞。 2.使用古典、經驗或主觀方法指定機率。 3.使用加法規則計算機率。 4.使用乘法規則計算機率。 5.使用列聯表計算機率。 6.使用貝氏定理計算機率。 7.使用計數原理計算結果的數量。

工作與生活上的滿滿問題 問題 以上須用到 統計推論概念 新遊戲的名稱與其接受度? 測試產品須符合規格! 新開發薄荷口味的早餐穀片，會有人買?利潤存在??? 誰能當選里長? 以上須用到 統計推論概念 樣本  母體 機率理論 (probability theory) =不確定科學

機率 描述某事件會發生的機會之數值。 以小數、百分比或分數表示。 “機率 = 0 % ” 與 ”機率= 1 =100%” 是什麼意思? 學習目標 1: 定義機率、實驗、事件及結果等專有名詞。 機率 描述某事件會發生的機會之數值。 以小數、百分比或分數表示。 0.5 、50% 、1/2 “機率 = 0 % ” 與 ”機率= 1 =100%” 是什麼意思? 0% = 這事件 絕對不可能發生 100% = 這事件 一定發生

學習目標 1: 定義機率、實驗、事件及結果等專有名詞。

機率，有時會聽到用 『勝算』 一事件中會發生勝算為 5:2 在全部七次試驗中 (5+2) 上述如何算其機率? 事件會發生的次數為 5次 學習目標 1: 定義機率、實驗、事件及結果等專有名詞。 機率，有時會聽到用 『勝算』 一事件中會發生勝算為 5:2 在全部七次試驗中 (5+2) 事件會發生的次數為 5次 事件不會發生的次數為 2次 上述如何算其機率? 事件會發生的機率 = 5/7 = 71.43 % 事件不會發生的機率 = 2/7 = 1-71.43 % = 28.57%

實驗、結果和事件 實驗(experiment)是在幾種可能的結果中，引導出僅有一種結果會發生的過程。 學習目標 1 實驗、結果和事件 實驗(experiment)是在幾種可能的結果中，引導出僅有一種結果會發生的過程。 Ex. 針對 500位大學畢業生詢問是否自費参加五天四夜的東京畢業旅行? 結果(outcome)是一個實驗中的某特定結果。 400位願意自費參加，100位不願意。 事件(event)是一個或一個以上實驗結果的集合。 結果2: 370位願意自費參加，130位不願意。 以上發生一個或一個以上的實驗結果則稱為 “集合”

學習目標 1

指定機率的方法 指定機率有三種方法：即古典(classical)機率、經驗(empirical)機率與主觀(subjective)機率方法。 學習目標 2：使用古典、經驗或主觀方法指定機率 指定機率的方法 指定機率有三種方法：即古典(classical)機率、經驗(empirical)機率與主觀(subjective)機率方法。 古典與經驗方法是基於資訊與資料而得出客觀的機率。 主觀方法是基於個人信念或對某事件發生可 能性的推估而得出主觀的機率。

學習目標 2 目標 5-2 古典機率 古典機率（classical probability）是假設實驗中所有結果的發生可能性皆相同，即某事件發生的機率是由符合條件的結果數量，除以所有可能出現的結果數量而得。

學習目標 2 進行一項投擲骰子的試驗，骰子一共有六個面。「偶數點朝上」之事件的機率是多少？ 在六個同樣可能出現的結果中，有三種（即2、4、6點）符合條件的結果。因此：

互斥事件和周延事件 互斥 一個事件的發生，意謂其他事件沒有一個會同時發生。 周延 當實驗進行時，一組事件中至少有一個事件必然發生。 學習目標 2 互斥事件和周延事件 互斥　一個事件的發生，意謂其他事件沒有一個會同時發生。 一燈泡不可能同時出現是良品也是瑕疵品 周延　當實驗進行時，一組事件中至少有一個事件必然發生。 擲骰子實驗中偶數點與奇數點的事件 ｛奇數，偶數｝這各組合就稱為”周延”

學習目標 2 經驗機率 第二種客觀機率為經驗機率（empirical probability），或稱相對次數機率（relative frequency probability）。這是根據事件發生的次數占已知試驗次數的比例計算。

學習目標 2 大數法則 經驗機率方法是根據大數法則（law of large numbers）而來。建立經驗機率的關鍵在於觀測次數愈多，機率的估計就愈準確。

大數法則-範例 根據經驗或是相對次數的機率方法，出現正面的機率會趨近傳統定義的機率。這個推論讓我們運用經驗或相對次數的機率方法來求得機率。 學習目標 2 大數法則-範例 根據經驗或是相對次數的機率方法，出現正面的機率會趨近傳統定義的機率。這個推論讓我們運用經驗或相對次數的機率方法來求得機率。

學習目標 2 經驗機率－範例 2003年 2月 1日，美國太空梭哥倫比亞號爆炸，這是 NASA在 113次太空任務中所發生的第二起災難。根據此資訊，請問未來任務成功的機率是多少？ P(A) = the probability of A (A=下一次任務會成功)

學習目標 2 主觀機率 如果某件事在過去沒有太多或是根本沒有經驗可以參考時，我們就用主觀方式估算機率。基本上，這表示我們必須衡量所有可能的選項以及其他相關資訊後，再估計或是指定機率。這種機率即稱為主觀機率（subjective probability）。

主觀機率－範例 主觀機率的例子有： 1.估計新英格蘭愛國者隊（ New England Patriots）明年晉級超級盃的可能性。 學習目標 2 主觀機率－範例 主觀機率的例子有： 1.估計新英格蘭愛國者隊（ New England Patriots）明年晉級超級盃的可能性。 2.估計你未來 12個月內會出車禍的可能性。 3.估計美國未來十年的預算赤字會減半的可能 性。

學習目標 2 機率理論的類型

自我複習 5-2 (p.124) 1.我們從標準的 52張撲克牌中隨機抽取一張牌。這張牌是 Q的機率有多少？你以哪一種機率方法回答這個問題？ 2.兒童看護中心指出，在 539個兒童中，有 333個兒童的父母仍維持婚姻關係， 182個兒童的父母已離婚， 24個兒童喪父或喪母。隨機抽取一個兒童，請問該兒童父母已離婚的機率是多少？你以哪一種機率方法回答這個問題？ 3.你在退休前會存到 100萬美元的機率是多少？你以哪一種機率方法回答這個問題？

計算機率的加法規則 加法規則 特殊加法規則（special rule of addition） 1. 特殊加法規則 (互斥時使用) 學習目標 3：使用加法規則計算機率。 計算機率的加法規則 加法規則 1. 特殊加法規則 (互斥時使用) 2. 一般加法規則。 特殊加法規則（special rule of addition） 當我們應用特殊加法規則時，事件必須互斥。 互斥: 指當某一個事件發生時，其他事件不可能同時發生。

計算機率的特殊加法規則 如果事件 A與 B互斥，特殊加法規則認為事件 A或事件 B發生的機率，等於其個別機率的總和。 學習目標 3：使用加法規則計算機率。 計算機率的特殊加法規則 如果事件 A與 B互斥，特殊加法規則認為事件 A或事件 B發生的機率，等於其個別機率的總和。 如果 A、B、C是三個彼此互斥的事件，則公式： P(A或 B或 C) = P(A) + P(B) + P(C)

特殊加法規則－範例 一種機器會自動將豆子、花椰菜與一些蔬菜的混合物裝進塑膠 袋中。大部分袋子的重量會符合標準，但是由於豆子與蔬菜大 學習目標 3 特殊加法規則－範例 一種機器會自動將豆子、花椰菜與一些蔬菜的混合物裝進塑膠 袋中。大部分袋子的重量會符合標準，但是由於豆子與蔬菜大 小會有一些差異，因此包裝可能過輕或過重。根據上個月裝填 的4,000個包裝樣本資料其重量如下所示： 隨機抽取一包，其重量會過重或是過輕的機率是多少？ P(A or C) = P(A) + P(C) = 0.025 + 0.075 = 0.10

以文氏圖 (Venn diagram) 解釋互斥的概念 學習目標 3 以文氏圖 (Venn diagram) 解釋互斥的概念 1.事件 A、B、C 都不互相重疊，表示三者彼此為互斥事件。 2.長方形 = 所有可能結果的空間 3.假設三種事件發生的機率大致相同，故圓形大小一致。

互補規則(complement rule) 學習目標 3 互補規則(complement rule) 事件 A發生的機率為 1減去事件 A不發生的機率。 文氏圖如下所示：事件A與~A互斥且周延

學習目標 3 互補規則－範例 沿用前例，混合蔬菜包裝過輕的機率是 0.025，過重的機率是 0.075，請使用互補規則證明重量合格的機率是 0.900，並使用文氏圖來解答。 重量不合格的機率 = 過重的機率加上過輕的機率 P(A或C) =P(A) +P(C) =0.025 +0.075 =0.100 重量如果沒有過重或是沒有過輕，就表示重量合乎規格 P(B) =1 – [P(A) +P(C)] =1 – [0.025 +0.075] =0.900。

學習目標 3 一般加法規則 佛羅里達州的觀光協會選出 200位今年造訪佛羅里達州的遊客為樣本。根據調查顯示，有 120位遊客去過迪士尼樂園， 100位去過布希花園（Busch Gardens），請計算去過迪士尼樂園或布希花園遊客的機率。 1.根據調查，兩者都去過的人數 = 60人 2.計算去過迪士尼樂園或布希花園遊客的機率 = 去過迪士尼樂園+去過布希花園 兩個事件皆發生的機率稱為聯合機率（joint probability）。同時到過這兩個地方的機率（0.30）就是聯合機率的範例。

學習目標 3 一般加法規則 佛羅里達州的觀光協會選出 200位今年造訪佛羅里達州的遊客為樣本。根據調查顯示，有 120位遊客去過迪士尼樂園， 100位去過布希花園（Busch Gardens），請計算去過迪士尼樂園或布希花園遊客的機率。 P(迪士尼或布希) = P(迪士尼) + P(布希)– P(迪士尼和布希兩者都去) = 120/200 + 100/200 – 60/200 = 0.60 + 0.50 – 0.30 = 0.80 兩個事件皆發生的機率稱為聯合機率（joint probability）。同時到過這兩個地方的機率（0.30）就是聯合機率的範例。

以下的文氏圖顯示這些不互斥的事件。兩事件重疊的部分，表示去過這兩個地方的遊客的事件。 學習目標 3 以下的文氏圖顯示這些不互斥的事件。兩事件重疊的部分，表示去過這兩個地方的遊客的事件。

學習目標 3 一般加法規則- 範例 從一副撲克牌中隨機抽取一張牌，這張牌是K或紅心的機率是多少？

自我複習 5-4 (p.130) General 水泥公司每年都幫員工做例行身體健康檢查。根據資料顯示，8%的員工需要矯正鞋，15%需要牙齒治療，而 3% 的員工兩者都需要。 (a) 隨機選取一位員工需要矯正鞋或牙齒治療的機率是多少？ (b) 繪製文氏圖說明此情況。

計算機率的乘法規則 使用時機: 當計算兩事件皆發生的機率 乘法規則可區分為 特殊乘法規則(獨立事件) 一般乘法規則(相依事件) 學習目標 4：使用乘法規則計算機率。 計算機率的乘法規則 使用時機: 當計算兩事件皆發生的機率 乘法規則可區分為 特殊乘法規則(獨立事件) Independent event 一般乘法規則(相依事件) Dependent event

學習目標 4 特殊乘法規則 特殊乘法規則(special rule of multiplication)的條件要求事件 A、B兩者彼此獨立。如果一個事件的發生不會影響另一個事件發生的機率，就表示這兩個事件為獨立。 對於三個獨立事件 A、B、C，同樣可以使用特殊乘法規則，計算三個事件皆發生的機率： P(A且 B且 C) = P(A)P(B)P(C)

互斥 v.s. 獨立 互斥事件(mutually event) 獨立事件(independence event) A與B事件互斥 Ex. 樂透彩連續5期皆出現 30號 下一期樂透彩開獎會再出現30號的機會應該會變小吧!!?? 犯了 『賭徒謬誤』

學習目標 4 特殊乘法規則－範例 一份對美國汽車協會（AAA）的調查顯示，去年有 60% 的會員預約過機位，隨機抽取兩名會員，請問這兩名會員去年預約過機位的機率是多少？ 解答: 第一個會員去年預約過機位的機率是0.60，記做 P(R1) = 0.60， 第二個會員預約過機位的機率也是 0.60，記做 P(R2) = 0.60。 由於AAA會員的數量非常多，你可以假設 R1 與 R2 互相獨立。根據公式 [5-5]，兩位會員皆預約過機位的機率是 0.36： P(R1 且 R2) = P(R1)P(R2) = (0.60)(0.60) = 0.36

一般乘法規則 如果兩事件彼此不獨立，就可以說兩者彼此是相依的（dependent）。 學習目標 4 一般乘法規則 如果兩事件彼此不獨立，就可以說兩者彼此是相依的（dependent）。 計算兩個不獨立事件皆發生的聯合機率時，便需要條件機率(conditional probability) 對兩個不獨立事件 A、B來說，條件機率以 P(B | A)代表，表示為在事件A已經發生的情況下，事件B發生的機率。

一般乘法規則 條件機率以 P(B | A)表之 一般乘法原則 學習目標 4 一般乘法規則 條件機率以 P(B | A)表之 定義: 設A與B為樣本空間S中的兩各事件，P(A ) > 0，則在A事件發生的條件下，事件B 發生的機率條件為 (兩不獨立) 一般乘法原則

一般乘法規則－範例 W1和 W2相依 一位高爾夫球員有12件高爾 夫球衣。假設這些球衣中， 有9件白色與3件藍色。他在 學習目標 4 一般乘法規則－範例 一位高爾夫球員有12件高爾 夫球衣。假設這些球衣中， 有9件白色與3件藍色。他在 黑暗中穿衣服，所以隨手挑 件球衣穿上。他連續兩天打 高爾夫球，穿過的球衣不放 回衣櫥裡。兩件選取的球衣 皆為白色的可能性有多高? 問題的機率表達： P(W1和 W2) = ? W1和 W2相依

一般乘法規則_範例 第一天: P(W1) = 9/12 第二天: P(W2 | W1) = 8/11. 學習目標 4 一般乘法規則_範例 第一天: P(W1) = 9/12 第二天: P(W2 | W1) = 8/11. 我們使用公式 [5-6] 計算兩次皆挑出白色球衣的機率。 P(W1 且 W2) = P(W1)P(W2 |W1) = (9/12)(8/11) = 0.55 延伸至兩個以上的事件 針對 A、B、C 三個事件，公式為： P(A且B且C) = P(A)P(B|A)P(C|A且B)

自我複習5-6 (p.134) Tarbell 公司的董事會由 8 名男性與 4 名女性所組成。該公司會從董事會中隨機選出 4 名成員擔任新總裁遴選委員。 (a) 4 名遴選委員都是女性的機率是多少？ (b) 4 名遴選委員都是男性的機率是多少？ (c) (a) 小題和 (b) 小題中所描述事件的機率總和等於 1 嗎？請解釋

列聯表 例子： 調查 150 位成人的性別與使用臉書帳戶的數目。以下表格整理出這些結果。。 學習目標 5：使用列聯表計算機率。 列聯表 根據兩個或兩個以上可辨識的類別，用來將樣本資料進行 歸類的表格． 例子： 調查 150 位成人的性別與使用臉書帳戶的數目。以下表格整理出這些結果。。

學習目標 5 列聯表－範例 上個月，國家電影院經理協會針對 500 位隨機選取的成人進行調查。 調查問及受訪者的年齡與到電影院看電影的次數。結果整理在表 5-1 中。該協會想知道成人，尤其是 60 歲或以上的成人會到電影院看電 影的機率。此資訊有利於決定電影票折扣與老人優惠。計算以下機率： 1. 選取每個月看 6 部或以上電影的成人。 2. 選取每個月看 2 部或以下電影的成人。 3. 選取每個月看 6 部或以上電影或年齡為 60 歲或以上的成人。 4. 選取每個月看 6 部或以上電影前提是年齡為 60 歲或以上的成人。 5. 選取每個月看 6 部或以上電影且至少年齡為 60 歲或以上的成人。 接著，請判斷 6. 每個月看電影的次數與受訪者的年齡是否獨立。

學習目標 5 列聯表－範例

學習目標 5 1. 選取每個月看 6 部或以上電影的成人。 2. 選取每個月看 2 部或以下電影的成人。

3. 選取每個月看 6 部或以上電影或年齡為 60 歲或以上的成人。 學習目標 5 3. 選取每個月看 6 部或以上電影或年齡為 60 歲或以上的成人。 4. 選取每個月看 6 部或以上電影前提是年齡為 60 歲或以上的成人。

5. 選取每個月看 6 部或以上電影且至少年齡為 60 歲或以上的成人。 學習目標 5 5. 選取每個月看 6 部或以上電影且至少年齡為 60 歲或以上的成人。 6. 每個月看電影的次數與受訪者的年齡是否獨立。

樹狀圖 樹狀圖（tree diagram）是協助我們對類似前面範例／解答的問題整理並計算機率的圖形。這類問題包含幾個階段，且每個階段以樹的分枝來代表。樹狀圖的分支以機率來標記。 我們將使用表 5-1 的資訊來說明樹狀圖的建構。

1. 我們首先在左邊畫出內有年齡此變數的盒子來代表樹根（見圖 5-2）。 2 1. 我們首先在左邊畫出內有年齡此變數的盒子來代表樹根（見圖 5-2）。 2. 從樹根發展出三個主要分支。上面的分枝代表年齡小於 30 歲的結果。 3. 從三個主要的大分枝上，分別延伸出四個小分枝。這些小分枝代表每個月看電影的次數類別 0 部；1 或 2 部；3、4 或 5 部；6 部或以上。 4. 最後，我們計算各種聯合機率。

P(A1|B1) A1 A2 B1 A3 A4 B2 B3

自我複習5-8 (139) Sears 商店對消費者做了一份關於逛該商店的相對次數之調查（經常、偶爾與從未逛該商店）以及該商店是否位於購物中心內（是與否）。當變數以名目尺度測量時，就像這些資料，結果通常被整理於列聯表中。 選取以下購物者的機率為何？ (a) 經常逛 Sears 之購物者。 (b) 逛位於購物中心內的 Sears 之購物者。 (c) 逛位於購物中心內的 Sears 或經常逛 Sears 之購物者。 (d) 在購物者逛的是位於購物中心內的 Sears 之前提下，經常逛 Sears 之購物者。 B1 B2 A1 A2 A3

自我複習5-8 (139) 選取以下購物者的機率為何？ (a) 經常逛 Sears 之購物者。 B1 B2 A1 A2 A3 選取以下購物者的機率為何？ (a) 經常逛 Sears 之購物者。 (b) 逛位於購物中心內的 Sears 之購物者。 (c) 逛位於購物中心內的 Sears 或經常逛 Sears 之購物者。 非互斥事件，使用一般加法規則

自我複習5-8 (139) 選取以下購物者的機率為何？ B1 B2 A1 A2 A3 選取以下購物者的機率為何？ (d) 在購物者逛的是位於購物中心內的 Sears 之前提下，經常逛 Sears 之購物者。 (e) 逛的次數與位於購物中心內此兩變數獨立嗎？ (f) 選取經常逛 Sears 的購物者且該 Sears 是位於購物中心內的機率為何？ 非獨立事件，使用一般乘法規則

自我複習5-8 (139) B1 B2 A1 A2 A3 選取以下購物者的機率為何？ (g) 繪製樹狀圖，並計算各種聯合機率。

貝氏定理 學習目標 6：使用貝氏定理計算機率 18 世紀英國長老教會牧師 Thomas Bayes 思考了「上帝真的存在嗎？」這個問題。因為對數學有興趣，他根據世上能獲得的證據，嘗試發展出估算上帝的確存在的機率公式。之後，Pierre-Simon Laplace 對 Bayes 的研究成果加以改良並稱為貝氏定理（Bayes’ theorem）。 B A1與A2代表兩路線公車 A2 A1 B: 遲到 已知遲到，請求是坐到A1巴士的機率?

貝氏定理 B A1與A2代表兩路線公車 A2 A1 B: 遲到 條件機率= P(B|A1) 事後機率= P(A1|B) 學習目標 6：使用貝氏定理計算機率 B A1與A2代表兩路線公車 A2 A1 B: 遲到 條件機率= P(B|A1) 已知遲到，請求是坐到A1巴士的機率? 事後機率= P(A1|B)

貝氏定理 B A1與A2代表兩路線公車 A2 A1 B: 遲到 已知遲到，請求是坐到A1巴士的機率? 事後機率= P(A1|B) 學習目標 6：使用貝氏定理計算機率 B A1與A2代表兩路線公車 A2 A1 B: 遲到 已知遲到，請求是坐到A1巴士的機率? 事後機率= P(A1|B)

貝氏定理 假設公式[5-7]中A1與A2兩事件互斥且周延，Ai代表A1或A2。因此，在此例中 A1與A2 為互補事件。 學習目標 6：使用貝氏定理計算機率 假設公式[5-7]中A1與A2兩事件互斥且周延，Ai代表A1或A2。因此，在此例中 A1與A2 為互補事件。

B A2 學習目標 6 A1 假設在虛擬的第三世界國家 Umen 中有 5% 的人口患有該國獨有的疾病。我們讓 A1 代表「有疾病」的事件，A2 代表「沒有疾病」的事件。從 Umen 這個國家隨機選取一人，被選取者有疾病的機率為 0.05，或 P(A1) = 0.05。此機率，P(A1) = P (有疾病) = 0.05，由於在數據取得前即賦予機率，被稱為事前機率（prior probability）。 一個人未患有疾病的事前機率為多少? P(A2) = 0.95=1 − 0.05=1- P(A1) 在此例中 A1與A2 為互補事件 事前機率　根據現有資訊而來的初始機率。

令 B 代表「檢測結果顯示疾病存在」，有以下的條件機率發生 A2 A1 令 B 代表「檢測結果顯示疾病存在」，有以下的條件機率發生 已知: 如果一個人的確患有疾病，檢測結果會顯示該病存在的機率為 P(B|A1)=0.90 已知: 假設一個人實際並沒有疾病但檢測結果顯示該病存在的機率為 P(B|A2)=0.15 若檢測結果顯示該病存在，此人的確有疾病的機率為何? 以符號來說，想知道 P(A1｜B)，其解釋為：P(有疾病|檢測結果呈陽性反應) P(A1｜B) 被稱為事後機率（posterior probability） 事後機率　根據額外的資訊而來之修正後的機率。

求 P(有疾病(A1)|檢測結果呈陽性反應(B)) 學習目標 6 A1 求 P(有疾病(A1)|檢測結果呈陽性反應(B)) 結果: 1.考慮到檢測結果為陽性反應，某人有疾病的機率為 0.24。 2. P(A1) = 0.05 但P(A1｜B) =0.24 ，意味什麼?

貝氏定理範例 B1 A2 A1 A3 3個手機供應商 Hall, Schuller, Crawford，從其手上購買LS-24晶片資訊如下，B1= 晶片是有瑕疵 B2=晶片沒有瑕疵 H S C 供貨比例 45% (A1) 30% (A2) 25% (A3) 100% 瑕疵品比例 (B1) 3% 6% 4% 想知道有瑕疵的晶片是從S所購買的機率? 求 P(A2| B1)= ?

自我複習 5-9 (p.145) 參考以上範例與解答。 (a) 若選取的晶片沒有瑕疵，寫出式子計算該晶片是購自 Crawford 的機率。 (b) 使用貝氏定理計算該機率。 H S C 供貨比例 45% (A1) 30% (A2) 25% (A3) 100% 瑕疵品比例 (B1) 3% 6% 4%

計數原理－乘法 如果有 m 種方法可以完成一件事情，且有 n 種方法可以完成另一件事情，那麼總共有 m × n 種方法去完成這兩件事。 學習目標 7：使用計數原理計算結果的數量。 計數原理－乘法 如果有 m 種方法可以完成一件事情，且有 n 種方法可以完成另一件事情，那麼總共有 m × n 種方法去完成這兩件事。 總共3*2=6種狀況

學習目標 7 乘法範例 範例：某家汽車代理商想要為「只需 $29,999 就能買到一輛敞篷車、雙門轎車或四門轎車，同時還可以選擇鋼輪圈蓋或實心輪罩」做廣告。根據汽車及輪圈蓋樣式的數量，代理商能提供多少種不同的汽車？ 其中 m 是車款的數量，n 為輪圈蓋樣式的數量 可能結果的總數量 = (m)(n) = (3)(2) = 6

自我複習5-10(p.147) 1. 電視購物的服飾零售商提供毛衣及長褲供女士搭配。若毛衣有五種顏色可供選擇，長褲有四種顏色可供選擇，則該零售商能提供多少種不同款式的服飾組合？ 2. Pioneer 公司製造了三種立體收音機、二種 MP3 音響底座、四種揚聲器、三種 CD 點唱機。該公司將這四種元件組裝成產品出售，可以提供多少種不同的產品組合？

計數原理－排列 排列 是從一組含有 n 個可能的物件中，選出 r 個物件的順序安排。 n 為物件總數。 r 為選取物件的數量。 學習目標 7 計數原理－排列 請問abc三個字母任排，有幾種排列方式? abc, bca, cab,…… 排列 是從一組含有 n 個可能的物件中，選出 r 個物件的順序安排。 n 為物件總數。 r 為選取物件的數量。 n! 稱為 n 階乘， 3! = 3*2*1=6，0! = 1

排列範例 有三個電子零件，組裝順序可以任意安排，則有多少不同的組裝方式？ abc, bca, cab, acb, cba, bac 學習目標 7 目標 5-8 排列範例 有三個電子零件，組裝順序可以任意安排，則有多少不同的組裝方式？ abc, bca, cab, acb, cba, bac

學習目標 7 目標 5-8 排列－另一種範例 Fast Media公司正製作1分鐘影音廣告。雖然在製作過程中產生出八段影像，不過一分鐘廣告頂多只能採用其中三段。請問此八段影像共有多少種不同排列方式？

學習目標 7 目標 5-8 計數原理－組合 如果選取的物件順序並不重要，這樣挑選的結果稱為組合(combination)。邏輯上，組合數永遠小於排列數。從n個不同的物件中挑出r個物件，其組合數的計算公式如下：

組合範例 Grand 16 電影院每晚安排三位員工零食部工作。電影院有七位員工，可以排定幾種不同的零食部員工組合？ 學習目標 7 目標 5-8 組合範例 Grand 16 電影院每晚安排三位員工零食部工作。電影院有七位員工，可以排定幾種不同的零食部員工組合？

自我複習5-11 (150) 1. 某位音樂家想要只根據五種和絃：降 B、C、D、E 與 G 大調，寫出一個樂譜。不過，五種和絃中只能連續使用三種，例如 C、降 B、E；而不允許如降 B、降 B、E 這種重複方式。 (a) 就這五種和絃，如果一次只使用三種（不可重複使用） ，有多少種可能的排列方式？ (b) 使用 [5-9]，有多少種排列的方式？

自我複習5-11 (150) 2. 從 0 到 9 的十個數字中，選擇四個數字來為服裝編號，例如編號 1083 代表尺寸 M 的藍色上衣，編號 2031 代表尺寸 18 的褲子等等。不過，不能使用重複的數字，亦即相同的數字不能出現兩次（以上），例如不可以使用 2256、2562 或是 5559。可以有多少種不同的編號？

自我複習5-11 (150) 3. 在 Grand 16 電影院的範例中，我們認為從七位員工中選出三位的組合有 35 種。 (b) 電影院的管理者想要在假日安排五位員工在零食部服務更多的人，那麼從七位員工中選出五位組成一個團隊，會有幾種不同的組合？

自我複習5-11 (150) 4. 樂透彩的獎券從編號 1 至 50 的球中，挑出三個號碼。 (a) 有多少種不同的排列？ (b) 有多少種不同的組合？