导数及其应用 高三数学组 葛乃兵
一、导数的定义 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有增量Dx时，函数值有相应的增量Dy=f(x0+ Dx)- f(x0) 如果当Dx0 时， 的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x)在 x=x0处的导数（或变化率） 记作 即 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，则构成了一个新的函数f’(x).称这个函数为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，记作 二、多项式函数的导数
二．曲线的切线斜率 导数的几何意义： 过曲线ｙ＝ｆ（ｘ）上（ｘo，ｙo）的切线的斜率等于 函数ｙ＝f（ｘ）在x=ｘ0处的导数 ．
三、导数的应用 1.函数的导数与单调性的关系: y x x0 2.函数的极值与其导数的关系: x0 2.函数的极值与其导数的关系: 极大值 若ｘ＜ｘ０时， ＜０且, ｘ＞ｘ０时， ＞０ 则ｆ（ｘ）在ｘ０处有极小值． 若ｘ＜ｘ０时， ＞０且, ｘ＞ｘ０时， ＜０ 则ｆ（ｘ）在ｘ０处有极大值． 极小值 显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】: １．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____,单调递增区间为______________。 (0,2) (-∞,0) , (2,+∞) - 13 6 ４.函数y= 在区间[-1，1]上的最小值是_______。 ５.设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1与x= -1处有极值，且f(1)= -1,求a,b,c的值。
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2.试讨论方程x3-3ax+2=0（ａ＞０）解的个数。 分析：令f(x)＝ x3-3ax+2，讨论方程的解的个数，也就是看函数f(x)的图象与x轴的交点的个数， 通过讨论函数f(x)的单调性及极大值与极小值，结合图形可得方程解的个数. 解：设f(x)＝ x3-3ax+2， f(x) x 极小值 极大值 由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２ 在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图 － ０ x y ∵ａ＞０，显然极大值必为正， 故只要看极小值的正负即可。
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根（其中有一个为二重根）； － ０ x y 方程x3-3ax+2=0有惟一的实根； － ０ x y 方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根（其中有一个为二重根）； － ０ x y 方程x3-3ax+2=0有三个不同的实根。
解: 令x=1有y=2a(1-a)+a2=2a-a2, 即 C (1 , 2a-a2) x y A B C D ３.如图，抛物线y=x2上有一点A（a，a2），a∈（0，1），过点A引抛物线的切线L分别交x轴及直线x=1于B、C两点，直线x=1交x轴于点D。（I）求直线L的方程；（II）求图中△ACD的面积S（a），并求出a为何值时，S（a）有最大值？ 解: 所以直线L的方程是 y=2a(x-a)+a2 令x=1有y=2a(1-a)+a2=2a-a2, 即 C (1 , 2a-a2) 时,S’(a)>0, 时,S’(a)<0, 时S(a)有最大值
解：(1) 4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明： 解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小 结 求函数单调区间的步骤： 比较极值与区间端点处函数值的大小。 求函数极值的步骤： 小 结 求函数单调区间的步骤： 求函数极值的步骤： (1)求导函数f’(x); (2)求方程f’(x)=0的根；(3)检查f’(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最小值。 求闭区间上函数的最值的方法： 比较极值与区间端点处函数值的大小。
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