能量

運動方程式不容易解，守恆量可以提供有用的有限資訊。 守恆量的適用範圍超越運動方程式。

彈簧

守恆量 守恆量 運動 位置

自由拋體 守恆量 運動 K 位置 U 物體在某位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動 Ui Ki Uf Kf

Energy Diagram 由起始條件可以得到守恆的總能量 E 運動過程中任意位置 y 的動能可以求出， 速度與位置的關係可以立刻得到。

Turning point: 位能線與總能線交會處，動能為零，粒子轉向。

簡諧運動兩端都有turning point，因此運動就被拘限在一個範圍內。

其它的力是不是也有這樣的 U ?

兩個粒子間的力是否能束縛它們形成束縛態 bound state，以位能來思考是最簡單的方法！

研究 的變化 考慮一個無限小的過程：

W 功造成動能的變化

x 有外力： 功等於動能變化，功與動能原理 將無限多無限小的過程組合起來，即成為一個有限的過程：

W 功造成動能的變化

x 考慮一維運動 如果外力只與位置有關 定積分是曲線下的面積

x 功即是力對位置的積分 功是力函數曲線下的面積

a c b

不定積分 函數運算

微積分基本定理 微分與積分是反運算 x x+Δx

微積分基本定理的應用 函數 H 稱為函數 F 的反微分 反微分有無限多個！ 任兩個反微分的差是一個常數！ 也是一反微分 所以如果你能猜到一個 F 的反微分，你離 F 的積分只差一個常數。 常數 c 可以由函數 H 求出： 此式對任一個反微分 H 都對！

一維運動的位能 x H 只與位置有關

x xi xf 是守恆量 運動 位置 位能 Potential Energy 位能差是力所作功乘 -1

將粒子與施力者視為一個系統，所施的力變為系統的內力 在運動過程，再施一反向外加力 抵消該內力 使運動前後動能不變 所作的功 並未變成動能， 因此一定有一新的能量形式 運動前後粒子位置改變，故定義一與位置有關的能量： 位能 Potential Energy Wapp Uf Kf Ui Ki

mgy 有如動能一樣，定為位能 W Ui Uf

推廣後的功與動位能原理 W 系統的外力所作功等於動能變化加位能變化。 Ui Ki Uf Kf

如無外力： Ui Ki Uf Kf 機械能守恆

如無外力： 位能轉化為動能 Ui Ki Uf Kf

W 物體在較高位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動 所以具有Potential Ui Uf

位能 Potential Energy

此定義只定了位能差，事實上在位能函數上加入一個常數並不影響物理結果！ 方便起見，我們可以自由選擇位能為零的位置 c 位能是位置的函數

彈力位能 Elastic Potential Energy 取

守恆量

由位能求力 力是位能函數的微分

動能就是兩線的間隔 自由態：機械能大於無限遠處的位能

束縛態：機械能小於無限遠處的位能 兩端都有 turning point，所以只能拘限在這兩點之間運動。 Turning points的位置由能量大小決定。

平衡點 Equilibrium Point

在平衡點附近不遠處震盪的束縛態，他所感覺的位能近似於一拋物線，因此近似於一個以平衡點為中心的簡諧運動！

在平衡點附近不遠處，力的曲線近似於平衡點處的切線

束縛態 r 束縛能 兩個粒子會不會形成束縛態？ 關鍵在形成吸引位能的機制

原子力束縛態 電偶極 + - + - 感應形成電荷分布不均

原子力 束縛能只有約0.001eV，而室溫時熱擾動能量kT~0.02eV，束縛態會被破壞。

- + - 離子束縛態 形成離子雖然耗能，但兩個相反電荷的離子，靠近時會降低能量 需能5.1eV 釋能3.8eV Na Cl r

離子束縛態 束縛能3.6eV已大於室溫的熱擾動能量，故為穩定的束縛態。

- - 共價鍵束縛態 H+ H+ - H+ H+ - R 電子共享使能量降低，因此形成束縛態。

共價鍵束縛態 - - H+ H+ 解兩個原子核外的電子能量本徵態的波函數 分子能態的能階與距離R的關係？

氫原子能階

S能態 r S能態波函數 S能態機率分布

P能態機率分布 P

s pz py px

H+ H+ r 分子軌道能態 H+ 分子軌道與個別原子軌道或其組合近似， 當距離 r 很遠時

? 互換 H+ H+ 分子軌道能態 r 電子能態波函數的機率分布在兩原子核互換下不變: 因此波函數在互換下必須不變（對稱）， 或是乘上(-1) 反對稱： 在互換下： 因此能態波函數不能近似單純的 而是近似於兩者的組合：

對稱 S 共價鍵：分享電子所形成的吸引鍵 反對稱 A H2 = H-H, H:H 氫分子由兩個氫原子組成，分子的電子軌道近似地可以由個別原子的電子軌道合成。 此兩本徵態的本徴值不同：

分子軌道 Molecule Orbits σbond 反對稱 A 對稱 S S態電子有較大機率存在於兩原子核之間，距兩代正電原子核較近，能量因此較小！

反對稱 Anti-Bonding 對稱 S Bonding

分子軌道 Molecule Orbits σbond and πbond A Anti-Bonding S Bonding σbond A Anti-Bonding S Bonding πbond

Hybridization SP3 CH4

SP2

3D空間的功 沿某一路徑

研究 的變化 有外力： 功是力向量與位移向量的內積！

3D空間的功與動能 W 功造成動能的變化

正向力不作功

3D空間的位能 沿某一路徑 位能存在的條件

對任意兩路徑 若是位能定義要唯一 保守力條件 保守力才能定義位能！

x xi xf 一維的，由位置決定的力是保守力！

電位能 Electric Potential Energy 靜電力是不是保守力？

先考慮一固定電荷Q旁一可運動的小電荷q A’ 垂直於 r 的運動不作功 與A、B的方向無關

靜電力為保守力，可以定義電位能 萬有引力也是保守力

電位能

摩擦力是否是保守力？ 動摩擦力大小是常數，但方向與速度有關 回到原位 摩擦力不是保守力

摩擦力不是保守力

W Ui Ki Uf Kf 推廣後的功與動能原理

將摩擦力視為外力Fapp

自然界有一個傾向趨向最低位能處！ 位能可以自然轉為動能，摩擦會慢慢消耗機械能。

有摩擦，似乎機械能就不守恒！ 但！實驗發現

如果將溫度考慮進來，摩擦作的功，也能如位能，寫成一個物理量在前後狀態的改變！ 內能

機械能如果被擴展到包括內能，能量還是會守恆！ Uf Kf Eint f Ui Ki Eint i

電磁能 電磁波帶走的能量

質能守恆

? 神秘的微中子 Neutrino ν

COSMIC GALL- John Updike Neutrinos, they are very small. They have no charge and have no mass And do not interact at all. The earth is just a silly ball To them, through which they simply pass, Like dustmaids through a drafty hall Or photons through a sheet of glass. They snub the most exquisite gas, Ignore the most substantial wall, Cold-shoulder steel and sounding brass, Insult the stallion in his stall, And scorning barriers of class, Infiltrate you and me! Like tall And painless guillotines, they fall Down through our heads into the grass. At night, they enter at Nepal And pierce the lover and his lass From underneath the bed - you call It wonderful; I call it crass.

β衰變

N. Bohr W. Pauli

Pauli's letter of the 4th of December 1930 Dear Radioactive Ladies and Gentlemen, …….. because of …….. the continuous beta spectrum, I have hit upon a desperate remedy to save …… the law of conservation of energy. Namely, the possibility that there could exist in the nuclei electrically neutral particles, that I wish to call neutrons, which have spin 1/2 and obey the exclusion principle ………….. The continuous beta spectrum would then become understandable by the assumption that in beta decay a neutron is emitted in addition to the electron such that the sum of the energies of the neutron and the electron is constant... I agree that my remedy could seem incredible because one should have seen those neutrons very earlier if they really exist. But only the one who dare can win and the difficult situation, due to the continuous structure of the beta spectrum, is lighted by a remark of my honoured predecessor, Mr Debye, who told me recently in Bruxelles: "Oh, It's well better not to think to this at all, like new taxes". From now on, every solution to the issue must be discussed. Thus, dear radioactive people, look and judge. Unfortunately, I cannot appear in Tubingen personally since I am indispensable here in Zurich because of a ball on the night of 6/7 December. With my best regards to you, and also to Mr Back. Your humble servant W. Pauli

Cowan and Reines 1955

Cowan and Reines 1955

Homestake

Kamilkande 日本神岡