正、余弦定理的应用 主讲人：贾国富
即三角形分类的标准,按边或按角判断. 回顾: a =b +c-2bccosA b =c +a-2accosB c =a +b-2abcosC 1.正弦定理 2.余弦定理 a =b +c-2bccosA b =c +a-2accosB c =a +b-2abcosC 2 3.在初中判断三角形的形状的依据的什么? 即三角形分类的标准,按边或按角判断.
问题1： 在ABC中，已知2b=a+c，证明： 2sinB=sinA+sinC 证明：由 得 引：你能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？ 导：如何利用正弦定理证明以上关系？ 证明：由 得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 将此式 代入 2b=a+c 得 2•2RsinB=2RsinA+2RsinC 即 2sinB=sinA+sinC
（2RsinB）=（2RsinA）（2RsinC） 变式1： 在ABC中，已知b =a • c，证明： sinB=sinA • sinC 2 证明：由 得 C A B a c b a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 将此式 代入 b =a • c 得 2 （2RsinB）=（2RsinA）（2RsinC） 2 即 sin B=sinA • sinC 2
（2RsinB）cosA=（2RsinA）cosB 变式2： 在ABC中，已知bcosA=acosB， 判断三角形的形状。 解：由 得 a=2RsinA，b=2RsinB， 将此式 代入bcosA=acosB 得 （2RsinB）cosA=（2RsinA）cosB sinAcosB - cosAsinB=0 , Sin(A – B) =0 由-<A- B< 知 A –B=0 ,即 A=B 所以, 此三角形为等腰三角形
动手实践： 1.在ABC中，已知acosA=bcosB，判断三角形的形状。 2.在ABC中，已知， ,判断三角形的形状。 1.解：由 得 1.解：由 得 又 0<2A、2B< 2A=2B或2A= -2B a=2RsinA，b=2RsinB， A=B或A+B= 将此式 代入acosA=bcosB 得 （2RsinA）cosA=（2RsinB）cosB 所以, 此三角形为等腰三角形或直角三角形。 sinAcosA = cosBsinB , sin2A = sin2B , 2.解(略)等腰三角形或直角三角形
在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A. 问题2： 在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A. 引导：条件整理变形后有什么特点? C A B a c b b +c - a = - bc与余弦定理有什么联系? 2 解：条件整理变形得 b +c - a = - bc 2 cosA= A=120 动手实践： 在ABC中，已知 ,求角C.
变式3： 在ABC中，已知 求角C. 开拓创新： 1.在ABC中，证明: 2.求 的值.
总结提高: 1.正弦定理的变式 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC 2. 应用正弦定理、余弦定理不仅可以解斜三角形，还可以将条件统一为边的关系或角的关系.
谢 谢 大 家！ 再 见！ 课后巩固作业: 1.在ABC中，已知sin(A+B)sinB=sin C，判断三角形的形状。 2 2.在ABC中，证明下列各式: (a –b – c )tanA+ (a – b + c )tanB=0 2 3.在ABC中，已知 求角C. 4.求 的值. 谢 谢 大 家！ 再 见！