第6课时 空间向量在立体几何中的应用 要点·疑点·考点 课 前 热 身   能力·思维·方法   延伸·拓展 误 解 分 析

要点·疑点·考点 若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}则 1．向量a与b夹角θ满足： 2.向量a与b平行的充要条件为：|a·b|=|a|·|b|. 3.向量a与b垂直的充要条件为： a·b=0即x1x2+y1y2+z1z2=0 返回

课 前 热 身 1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( ) C (A)互不相交 (B)至多有两条直线相交 (C)三线相交于一点 1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( ) (A)互不相交 (B)至多有两条直线相交 (C)三线相交于一点 (D)两两相交得三个交点 C

2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为a，M，N分别 为A1B和AC上的点，A1M=AN= a，则MN与平面 BB1C1C的位置关系是( )

3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平面_________． PAC

4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为( ) (A)arccos (B)arccos (C)arccos (D)arccos D 【解题回顾】空间两条直线 之间的夹角是不超过90°的 角．因此，如果按公式计算 分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.

5．P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°, ∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小为( ) (A)60° (B)70° (C)80° (D)90° D 【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.

6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为 平面α的距离为_________. AB·n 【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线. 返回

能力·思维·方法 1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值. 【解题回顾】用向量求异面 直线所成的角，可能会因为 我们选择向量方向的缘故， 而求得该角的补角．所以最 后作答时要加以确认(取小于或等于90°的角作为异面直线所成角).

2.三条射线OA，OB，OC，若∠BOC=α, ∠COA=β, ∠AOB=γ，又α二面角B-OA-C的大小为θ，试证这些角之间有如下关系： 【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取OB=b=1， OC=c=1，这样使过程更加清晰.

3.已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°. (1)求证BD⊥平面ADC； (2)若H是△ABC的垂心， 求证H是D在平面ABC内的射影. 【解题回顾】将“两线垂直”问题 向“两线所在的向量的数量积为 0”转化.

4.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4, AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD= . (1)求证：顶点A1在底面ABCD 的射影在∠BAD的角平分线上； (2)若M、N分别在D1C1、B1C1上 且D1M=2，B1N=2，求BN与CM 所成的角. 【解题回顾】根据向量和的平行四边形法则，在平行六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心体会. 返回

延伸·拓展 5.四面体ABCD中，∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，AC=AD=2，AB=3. (1)求直线AC和BD所成角的余弦值； (2)求点C到平面ABD的距离. 【解题回顾】求两点间距离可以转化为向量的模.

6.设l1，l2是两条异面直线，其公垂线段AB上的单位向量为n，又C，D分别是l1，l2意一点，求证 |AB|=|CD·n|； 【解题回顾】在以上推导中， 我们已暗中假定了n的方向是 由l1上的点A指向l2上的点B， 而CD的方向也是由l1上的点C 指向l2上的点D．这样求得的 CD·n是正值.如果n指向与CD 指向不同则CD·n是负值，所以一般地就写成|AB|=|CD·n|. 又如果n不是单位向量，则

7.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，求体对角线BD1与面对角线B1C的距离. 【解题回顾】DA，DC，DD1有 着基底的作用，我们将BD1与 B1C的公垂线段向量n用这组基 底来表示.因为相差一个常数因 子不影响其公垂性， 所以设定 了n=DA+λDC+μDD1，使其只含有两个待定常数，这样就方便多了. 返回

误解分析 关于向量的命题： 1.若|a|=0，则a=0；(×) 2.若|a|=|b|，则a=b或a=-b；(×) 3.a0为单位向量，a∥a0，则a=|a|a0；(×) 4.0·a=0；(×) 5.|a·b|=|a|·|b|；(×) 6.若a·b=0，则a=0或b=0；(×) 7.a∥b a·b=|a|·|b|(×) 8.a、b都是单位向量，则a·b=1；(×) 9.若|a·b|=0，则|a|=0或|b|=0；(×) 10.(a·b)·c=a·(b·c).(×) 尝试说明上述命题为假的理由. 返回