空间向量的数量积运算.

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1 空间向量的数量积运算

2 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数λ使
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数λ使

3 推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量.
B P a 若P为A,B中点, 则

4 2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使

5 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使
或对空间任一点O,有 注意： 空间四点P、M、A、B共面 实数对

6 复习： 平面向量数量积的相关知识 平面向量的夹角： 叫做向量 a与 b的夹角。 已知两个非零向量 a 和 b， 在平面上取一点O，
作OA= a,OB= b,则 A O B A B

7 已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
平面向量的数量积 平面向量的数量积的定义： 已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos 叫做向量a, b的数量积，记作 即 并规定

8 教学过程 一、几个概念 1） 两个向量的夹角的定义 O A B

9 2）两个向量的数量积 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于零。

10 注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。
3）射影 B B1 A1 A 注意：　是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量　　与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。

11 4)空间向量的数量积性质 对于非零向量　　 ，有： 注意： 　①性质2）是证明两向量垂直的依据； 　②性质3）是求向量的长度（模）的依据；

12 5)空间向量的数量积满足的运算律 数量积不满足结合律 注意：

13 二、 课堂练习

14 三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。 要证l与g垂直，只需证l·g＝0 m n  l 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn l m g g n 而l·m＝0 ，l·n＝0 要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0 故 l·g＝0

15 三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 n m g  l g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n= ∴ l·g=0 ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥

16 例2：已知：在空间四边形OABC中,OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB

17 巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理 a A O P

18 例3 如图，已知线段　　在平面　 内，线段　　　　 ，线段　　　　 ，线段　　　　，　　　　　 ，如 果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。 解：由　　　，可知　　　　. 由　　　　 知　　　　　　 .

19 例4　已知在平行六面体　　　　　　　中，　　　, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　, 求对角线　　的长。 解：

20 1.已知线段　 、　在平面　 内，　　　，线段　　　 ，如果　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离. 解：∵

21 2.已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于
　 ，点　　　分别是边　　　　的中点。 求证：　　　　　　　　。 证明：因为 所以 同理，

22 3.已知空间四边形　　　　　　　　　　　　　　　 ，求证：　　　。 证明：∵

23 4.如图，已知正方体　　　　　　　，　 和　 相交于 点　，连结　 ，求证：　　　。

24 已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于　,
点　　　　分别是　　　　　　的中点，求下列向量的 数量积： 作业讲评

25 A D F C B E