24.1.2 垂直于弦的直径
结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条． 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD； 2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E． O B
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理 C O 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 B A E D C O E B A D
垂径定理的几个基本图形
判断 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( ) × （2）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） √
应用： 求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题. 已知如图，在 ⊙O 中，弦AB的长为8cm，若圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O 的半径为 cm. B A O C 5 求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
应用： 在圆中研究有关弦的问题时，常过圆心作垂直于弦的垂线段，利用垂径定理来证明线段相等、弧相等,利用勾股定理列方程进行计算. B A O C D 1、同心圆O中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，请问AC=BD吗？ 2、如果把AB向下平移，弦AB仍然交小圆于点C、D，此时图中还有哪些相等的线段？为什么？ B A O C D 若两圆半径分别为5cm和 ，弦AB=8cm, 则AC= cm. E 1
例3 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． M D
练2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。 A B D O E C
例2 若水面又上升1厘米,求此时水面的宽度 如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。求水的最大深度. E D ┌ 若水面又上升1厘米,求此时水面的宽度
⊙O的半径是2， P是⊙O内的一点， OP=1,过P的最长的 弦=___,过P的最短 的弦=___ P B A O
五、目标训练 A A ． 1．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） A．3 B．6cm C． cm D．9cm A 2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<5 A ． A B O M
4．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长． 五、目标训练 3． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ． 2或14 4．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长． ． A C O M N B
归纳小结 你学习了哪些内容？ 你有哪些收获？ 你掌握了哪些思想方法？ 你还有什么问题 ？
提高练习 1.⊙O弦AB⊥CD 于E,AE=2,BE=6 ED=3,EC=4 求 ⊙O的半径 B N O D C E M A
练习:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。 A B C D E O
练习:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ， 求圆O的半径。