Ch2 空間中的平面與直線 2-1 空間中的平面 製作老師：趙益男/基隆女中教師 發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

甲、平面方程式 在空間中﹐當非零向量 所在的直線與平面E垂直時﹐ 我們稱 為平面E的一個法向量﹐如圖所示﹒ 法向量具有以下兩個重要的性質： 但是這些法向量都互相平行﹒ (2)平面E的法向量與E上的所有向量皆垂直﹒ E 課本頁次：70

甲、平面方程式 ∴ 求通過點A(x0,y0,z0) 且以非零向量 為法向量之平面E的方程式﹒ 解： 設P(x,y,z)是E上異於A的任意一點  E A(x0,y0,z0) . ∵ ∴ 課本頁次：70

平面方程式(點法式) 通過點 A(x0,y0,z0)且以非零向量 為法向量 之平面 E 的方程式為 . 註： 課本頁次：71

例1 求過點 A(1,2,3)且以 為法向量 之平面E的方程式﹒ 解： 設P(x,y,z)是E上異於A的任意一點  課本頁次：71

練1 (1) 設A(1, 2, 3)﹐B(2, 1, 1)是空間中二點﹒ 已知直線AB 和平面 E 垂直於 B點﹐ 求平面E 的方程式﹒ 解： 設P(x,y,z)是E上異於B的任意一點 是平面E的一個法向量  課本頁次：71

練1 (2) z = 0 解： 三平面皆通過(0,0,0)  xy平面的法向量可為(0,0,1) ∴ xy平面的方程式為 平 面 xy 平面 yz 平面 xz 平面 平面方程式 z = 0 解： 三平面皆通過(0,0,0)  xy平面的法向量可為(0,0,1) ∴ xy平面的方程式為 0 × (x – 0) + 0 × (y – 0) + 1 × (z – 0) = 0  z = 0 課本頁次：71

練1 (2) z = 0 x = 0 解： 三平面皆通過(0,0,0)  yz平面的法向量可為(1,0,0) ∴ yz平面的方程式為 平 面 xy 平面 yz 平面 xz 平面 平面方程式 z = 0 x = 0 解： 三平面皆通過(0,0,0)  yz平面的法向量可為(1,0,0) ∴ yz平面的方程式為 1 × (x – 0) + 0 × (y – 0) + 0 × (z – 0) = 0  x = 0 課本頁次：71

練1 (2) z = 0 x = 0 y = 0 解： 三平面皆通過(0,0,0)  xz平面的法向量可為(0,1,0) 平 面 xy 平面 yz 平面 xz 平面 平面方程式 z = 0 x = 0 y = 0 解： 三平面皆通過(0,0,0)  xz平面的法向量可為(0,1,0) ∴ xz平面的方程式為 0 × (x – 0) + 1 × (y – 0) + 0 × (z – 0) = 0  y = 0 課本頁次：71

甲、平面方程式  其中 是平面 E 的一個法向量 且過點(x0,y0,z0)﹒ 課本頁次：71

甲、平面方程式 在例1中 ∵法向量 所以可設平面方程式為 並將點A(1,2,3)代入﹐得 d = 2 ∴平面方程式為 課本頁次：71

例2 ∴E2的方程式為 求通過點A(3,2,1) 且和平面E1：x – 2y + 3z = – 4 平行之平面 E2的方程式﹒ 解： ∵E1 // E2 E1 的法向量 也是E2的一個法向量 故可設E2的方程式為 將A(3,2,1)代入﹐得 E1 E2 A ∴E2的方程式為 課本頁次：72

練2 右圖是一個平行六面體﹐A(–2,1,1)是一個頂點﹐ 且六面體的上下兩個面分別位在 與 兩平面上﹐求 c與 d的值﹒ 解： 課本頁次：72

練2 ∴ c = 1﹐d = – 4 右圖是一個平行六面體﹐A(–2,1,1)是一個頂點﹐ 且六面體的上下兩個面分別位在 與 解： ∵A(–2,1,1) 在 上 將A(–2,1,1)代入 得 ∴ c = 1﹐d = – 4 課本頁次：72

例3 ∴平面E的方程式為 求通過A(1, –1,2),B(3,2,5),C(2,0,4)三點之平面E 的方程式﹒ 解：  令 E： 課本頁次：73

練3 ∴平面E的方程式為 求通過A(1, –1,3),B(2,1,1),C(1,1,2)三點之平面E 的方程式﹒ 解：  令 E： 課本頁次：73

例4 ∴平面E的方程式為 求通過A(2, 0,0),B(0,3,0),C(0,0,4)三點之平面E 的方程式﹒ 解：  令 E： 課本頁次：73

甲、平面方程式 ∴當平面E與三坐標軸的交點為 平面E的方程式為 (同除以12) A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c) ﹐ z ∴當平面E與三坐標軸的交點為 C A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c) ﹐ O y x B A 時﹐ 其中 平面E的方程式可表示為 課本頁次：74

練4 ∵D(1,1,k)是E上的一點﹐ 已知平面E通過 A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,–4) 三點, 而且D(1,1,k) 也是E上的點,求k的值﹒ 解： 平面 E 的方程式為 ∵D(1,1,k)是E上的一點﹐  課本頁次：74

乙、兩平面的夾角 設 E1與E2為空間中相交的兩相異平面﹐其交線為L﹐ 在L上任取一點P﹐並分別在E1與E2上作 如圖所示﹒ 直線L1與L2垂直 L於 P點﹐則L1與L2的交角 與 即為平面E1與E2的夾角﹒ E1 E2 L1 L L2 P 課本頁次：74

乙、兩平面的夾角 設平面E1的法向量為 平面E2的法向量為 且兩法向量 與 的夾角為 由圖可知 即 也就是說﹐ 法向量 與 L1 L2 L P 課本頁次：75

乙、兩平面的夾角 設平面E1, E2的法向量分別為 若兩法向量 與 的夾角為 則平面E1與E2的夾角為 與 而且 課本頁次：75

例5 求兩平面E1：x+2y – z = 3和E2：x – y+2z = 3的夾角 解： 設 為平面E1的法向量 與 平面E2的法向量 的夾角 ∵  = 120o ∴兩平面的夾角為 120o與180o－120o=60o 課本頁次：75

練5 ∵ 求兩平面 E1 : x+y –2z = 5 和 E2 : x+3y+2z = 4 的夾角 設為平面E1法向量 與 解：  = 90o (即兩平面互相垂直) 課本頁次：75

例6 ∴E的方程式為 為了提高接收的效率﹐太陽能板在接收太陽光時﹐ 板面一直保持和太陽光垂直﹒ 現在設定空間坐標﹐將地面設為 xy平面﹐發現經過點A(3,2,4)的太陽光 射到太陽能板E上的點 B(2,2,3)﹐ 求(1)平面E的方程式 (1) ∵板面E和太陽光垂直 解：  是E的一個法向量 令E的方程式為 A B E 將點B(2,2,3)代入﹐得d = 5 ∴E的方程式為 課本頁次：76

例6  ∴平面E與地面夾角為45o 與180o – 45o = 135o (2)平面E與地面的夾角 解： (2) 設 xy平面(地面)與平面E之法向量夾角為 ∵ xy平面的方程式為z = 0, 其法向量為(0,0,1) 又(1,0,1)是平面E：x + z = 5的一個法向量   ∴平面E與地面夾角為45o 與180o – 45o = 135o 課本頁次：76

練6 例6中﹐經過一段時間﹐太陽能板的板面與地面 的夾角是30°﹐而且太陽光通過點C(4,2,t) (t是一 個正數)射到板面上的點B(2,2,3) ﹐求 t 的值﹒ 解： 為板面的一個法向量 ∵ xy平面(地面)的方程式為z = 0﹐其法向量為(0,0,1)    課本頁次：76

練6 例6中﹐經過一段時間﹐太陽能板的板面與地面 的夾角是30°﹐而且太陽光通過點C(4,2,t) (t是一 個正數)射到板面上的點B(2,2,3) ﹐求 t 的值﹒ 解：    ∵ t > 0﹐ ∴ 課本頁次：76

丙、點到平面的距離公式 ∵ ∴ 空間中﹐設E：ax＋by＋cz＝d為一個平面﹐ P(x0,y0,z0)為平面E外一點﹒ 若過P點作直線PA與E垂直於點A(x1,y1,z1) ﹐ P 的長度就是點P到平面E距離﹐ 則 E A ∵ 是平面E的一個法向量﹐ 又 也是E：ax＋by＋cz＝d的一個法向量﹐ ∴ 與 平行 課本頁次：77

丙、點到平面的距離公式 ∴ ﹐t為實數  將點A(x1,y1,z1)代入E﹐ 即 得 課本頁次：77

丙、點到平面的距離公式 因此點P(x0,y0,z0)到E：ax + by + cz = d的距離 為 當點P(x0,y0,z0)在平面E上時﹐P到E的距離為0﹐ 因為ax0 + by0 + cz0= d﹐即ax0 + by0 + cz0 – d=0﹐ 所以公式依然成立﹐因此我們有以下的結論： 課本頁次：77

丙、點到平面的距離公式 點 P(x0,y0,z0)到平面E： ax + by + cz = d的距離為 . 課本頁次：78

例7 求點(1,2,3)到平面2x + 3y – 6z=4的距離 解： 設距離為 d . 課本頁次：78

練7 ∴ d = 9 下圖是一個正立方體﹐ A(1,2,2), B(3,0,3), 是兩個頂點﹐底面在平面 上﹐ ﹐求 d 的值﹒ 且 解：  點 A到平面 E 的距離為 3  (不合) ∴ d = 9 課本頁次：78

丙、點到平面的距離公式 兩平行平面E1：ax + by + cz = d1和 E2：ax + by + cz = d2的距離為 證： 設兩平行平面為 E1 P E1：ax + by + cz = d1 . E2 E2：ax + by + cz = d2 在E1上取一點P(x0,y0,z0)  ax0 + by0 + cz0 = d1 課本頁次：79

丙、點到平面的距離公式 證： 設兩平行平面為 E1：ax + by + cz = d1 E2：ax + by + cz = d2 P E1：ax + by + cz = d1 . E2 E2：ax + by + cz = d2 在E1上取一點P(x0,y0,z0)  ax0 + by0 + cz0 = d1 . ∴ 課本頁次：79

例8 求兩平行平面E1：3x – 4z =1和E2：3x – 4z= – 9 的距離 解： 設平面E1與E2的距離為 d . 課本頁次：79

練8 ∵ 已知兩平行平面E1：2x – 2y – z =1和 E2：2x – 2y – z = k的距離為1﹐求k的值﹒(有兩解) 解： 課本頁次：79

離開確認 你確定要離開嗎？