最大值或最小值的應用 自我評量

在前面兩節的例子中，我們知道頂點對於描繪二次函數圖形的重要性，且由於頂點可以顯示出函數的最大值或最小值，因此在一些牽涉到最大值或最小值的應用問題中，它也扮演相當重要的角色。現在我們就從簡單的問題探討起。

已知兩數的差為20，試求此兩數乘積的最小值。 搭配習作P14基礎題1 1 和差定值問題 已知兩數的差為20，試求此兩數乘積的最小值。 設兩數分別為x、x＋20，兩數的乘積為y， 則可得二次函數為y＝x（x＋20）， ∴ y＝x2＋20x＝x2＋20x＋102－102 ＝（x＋10）2－100 又（x＋10）2≧0 ∴ y＝（x＋10）2－100≧－100 故x＝－10 時，有最小值y＝－100， 即此兩數乘積的最小值為－100。 解

已知兩數的和為9，試求兩數乘積的最大值。 設兩數分別為x、9－x，兩數的乘積為y， ∴y＝x（9－x）＝－（x－ ）2＋ ≦ ， 故當x＝ 時，有最大值y＝ ， 即兩數乘積的最大值為 。

如右圖，某人想用60公尺的籬笆，在河邊圍成一個長方形的區域，且把河邊當成長方形的一邊不圍籬笆，則所能圍出最大的長方形面積是多少平方公尺？ 搭配習作P14基礎題2/ P15基礎題3 2 定長圍方問題 如右圖，某人想用60公尺的籬笆，在河邊圍成一個長方形的區域，且把河邊當成長方形的一邊不圍籬笆，則所能圍出最大的長方形面積是多少平方公尺？

解 設此長方形垂直於河邊的邊長為x公尺，面積為y平方公尺，∵籬笆長60公尺， ∴平行河邊的邊長為(60－2x)公尺。 則可列得二次函數為y＝x ( 60－2x）， ∴ y＝60x－2x2＝－2（x2－30x） ＝－2(x2－30x＋152－152) ＝－2(x－15) 2＋450 又－2(x－15)2≦0 ∴y＝－2(x－15)2＋450≦450 故x＝15 時，有最大值y＝450， 即所能圍出最大的長方形面積為450平方公尺。

菜農想用長36公尺的籬笆圍成一長方形的菜圃，請問應如何圍才能圍成最大的面積？此最大面積是多少？ 設菜圃的長為x公尺，寬為(18－x)公尺，面積為y 平方公尺， ∴y＝x（18－x）＝－（x－9）2＋81≦81 故當x＝9時，有最大值y＝81，此時寬亦為9， 即菜圃圍成邊長為9公尺的正方形時，面積最大為81平方公尺。

如圖，某人在長方形的養殖場一角，隔出兩個相連的正方形放養池，若已知養殖場岸邊的長度（ ＋ ）共10公尺，則兩個放養池的面積和最小是多少？ 搭配習作P15基礎題4/ P16基礎題5、6 3 平方和問題 如圖，某人在長方形的養殖場一角，隔出兩個相連的正方形放養池，若已知養殖場岸邊的長度（ ＋ ）共10公尺，則兩個放養池的面積和最小是多少？

解 設 為x公尺， 為(10－2x)公尺， 且兩個放養池的面積和為y平方公尺， 則可列得y＝x2＋（10－2x）2， ∴ y＝5x2－40x＋100＝5（x2－8x）＋100 ＝5（x2－8x＋42－42）＋100 ＝5（x－4）2＋20 又5（x－4）2≧0 ∴ y＝5（x－4）2＋20≧20 故x＝4 時，有最小值y＝20， 即兩個放養池的面積和最小是20平方公尺。

將一條24公尺長的繩子剪成兩段，各圍出一個正方形。若要使得這兩個正方形的面積和最小，則此繩子所剪成兩段的長度分別是多少公尺？

設剪成兩段的長度為x與24－x公尺，面積和為y平方公尺，

4 最高收入問題 某旅行社招攬旅行團，預定人數為20人，每人收費3200元，若人數達到20人以後，每增加1人，則每人減收100元。請問增加多少人時，旅行社才能收到最多的錢？最多共可收到多少元？ 設增加x人，參加人數為(20＋x)人，旅行社共收到y元，又每人減收100x元，因此每人收費為(3200－100x)元。 解

解 故可列得y＝（20＋x）（3200－100x） ∴ y＝－100x2＋1200x＋64000 ＝－100（x2－12x）＋64000 ＝－100（x2－12x＋62－62）＋64000 ＝－100（x－6）2＋67600 又－100（x－6）2≦0，5 ∴ y＝－100（x－6）2＋67600≦67600， 故x＝6時，有最大值y＝67600。 即增加6人時，旅行社收到最多的錢， 最多共可收到67600元。

果農在橘子園種了40棵橘子樹，每棵橘子樹年產1000個橘子，若每加種1棵橘子樹，則每棵橘子樹年產量會少20個橘子。請問果農應加種幾棵橘子樹，才能使此橘子園的橘子產量達到最大？

設加種 x 棵，橘子產量為 y ， ∴共有(40＋x)棵橘子樹，每棵年產(1000－20x) 個橘子，可得 y＝（40＋x）（1000－20x） ＝－20（x－5）2＋40500≦40500 故當x＝5 時，有最大值y＝40500， 即加種 5 棵，產量會達最大。

5 飛行路徑問題 某職棒選手擊出一支安打。如圖，若球飛行的水平距離為x呎時，球離地面的高度為y呎，且兩者滿足關係式y＝－ (x2－300x－3100)，回答下列問題： (1)擊球點離地面多少呎？ (2)球飛行途徑的最高點 離地面多少呎？ (3)從擊球點到球落地時，飛行的水平距離是多 少呎？

解 (1) ∵擊球點為拋物線與y軸的交點， 故將x＝0 代入關係式y＝－ （x2－300x －3100）中， 得y＝ ，即擊球點離地面 呎。

解 (2) ∵ y＝－ （x2－300x－3100） ＝－ （x2－300x＋1502－1502－3100） ＝－ 〔（x－150）2－25600〕 ＝－ （x－150）2＋32≦32 ∴當x＝150 時，有最大值y＝32。 即球飛行途徑的最高點離地面32呎。

(3)球落地時，離地面的高度是0呎，故將y＝0代入關係式y＝－ (x2－300x－3100)中， x2－300x－3100＝0 x2－300x＝3100 x2－300x＋1502＝3100＋1502 （x－150）2＝25600 x－150＝160 或x－150＝－160 x＝310 或x＝－10（不合） ∴球飛行的水平距離是310呎。 解

某鉛球選手投出一球。如圖，若球飛行的水平距離為x公尺時，球離地面的高度為y公尺，且兩者滿足關係式y＝－ （x2－20x－44），回答下列問題： (1)投球點離地面多少公尺？ (2)球飛行途徑的最高點離 地面多少公尺？ (3)從擊球點到球落地時，飛行的水平距離是多 少公尺？

(1) x＝0 時，y＝ ，∴投球點離地面 公尺 (2) y＝－ （x2－20x－44） ＝－ （x－10）2＋ ≦ ∴x＝10 時，有最大值 y＝ ，即最高點離地面 公尺。

(3) y＝0 時，x2－20x－44＝0 （x－22）（x＋2）＝0 x＝22，－2（不合） 即球飛行的水平距離為22公尺。

運用二次函數解應用問題的過程： (1)假設變數x、y。 (2)列出二次函數。 (3)利用配方法求出二次函數的最大值或最小 值。 (4)依題意作答。

天才是一分的天份，加上九十九分的後天努力。 —愛迪生 （Thomas Alva. Edison，1847-1931）

1.若一長方形的周長為24，則其面積的最大值是多少？ 1-3 自我評量 1.若一長方形的周長為24，則其面積的最大值是多少？ 設長方形的長為x，寬為12－x，面積為y， ∴y＝x（12－x）＝－（x－6）2＋36≦36 故當x＝6 時，有最大值y＝36， 即其面積最大為36。

2.已知甲正方形的邊長為m，乙正方形的邊長為 n，若m＋2n＝3，則甲、乙兩正方形的面積和最小是多少？ 設兩正方形的面積和為y，5 ∴y＝m2＋n2 ＝（3－2n）2＋n2 ＝5（n－ ）2＋ ≧ 故當n＝ 時，有最小值為y＝ ， 即兩正方形的面積和最小為 。

3.若一梯形的高與上底的和為6，且其高與下底的和為12，則此梯形面積的最大值是多少？ 設高為x，梯形面積為y，∴上底為6－x，下底為12－x， 可列得y＝ ＝x（9－x） ＝－（x－ ）2＋ ≦ 故當x＝ 時，有最大值y＝ ， 即梯形面積最大為

4.如圖，圓O1與圓O2外切，且知其連心線 為6，則兩圓面積和的最小值是多少？（圓周率以π表示） 設兩圓半徑為x、6－x， 兩圓面積和為y， ∴y＝πx 2＋π‧（6－x）2 ＝2π（x－3）2＋18π≧18π 故當x＝3 時，有最小值y＝18π， 即兩圓面積和最小為18π。

二次函數的推廣 當二次函數的自變數x有範圍限制時，其函數圖形與最大值、最小值有甚麼變化呢？ 下面我們來描繪二次函數y＝（x－3）2－2，1＜x≦6 的圖形，並找出其最大值與最小值。

因為函數的頂點為（3 , －2），因此將x 和y 的對應值列表如下： 1 2 3 4 5 6 y －1 －2 7 然後描點並畫平滑曲線如下圖：（注意：x＝1 與x＝6 兩個邊界點要描出）

圖1-8 所以函數有最大值為7，有最小值為－2。

右邊虛線上的點，其 x 坐標均大於6；而左邊虛線上的點，其 x 坐標均小於或等於1，兩者皆不滿足 1＜x≦6 的範圍限制，一般在畫圖時不會將此部分畫出，此處以虛線表示，是為了方便同學觀察此圖形為拋物線的一部分。