最大值或最小值的應用 自我評量.

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最大值或最小值的應用 自我評量

在前面兩節的例子中,我們知道頂點對於描繪二次函數圖形的重要性,且由於頂點可以顯示出函數的最大值或最小值,因此在一些牽涉到最大值或最小值的應用問題中,它也扮演相當重要的角色。現在我們就從簡單的問題探討起。

已知兩數的差為20,試求此兩數乘積的最小值。 搭配習作P14基礎題1 1 和差定值問題 已知兩數的差為20,試求此兩數乘積的最小值。 設兩數分別為x、x+20,兩數的乘積為y, 則可得二次函數為y=x(x+20), ∴ y=x2+20x=x2+20x+102-102 =(x+10)2-100 又(x+10)2≧0 ∴ y=(x+10)2-100≧-100 故x=-10 時,有最小值y=-100, 即此兩數乘積的最小值為-100。 解

已知兩數的和為9,試求兩數乘積的最大值。 設兩數分別為x、9-x,兩數的乘積為y, ∴y=x(9-x)=-(x- )2+ ≦ , 故當x= 時,有最大值y= , 即兩數乘積的最大值為 。

如右圖,某人想用60公尺的籬笆,在河邊圍成一個長方形的區域,且把河邊當成長方形的一邊不圍籬笆,則所能圍出最大的長方形面積是多少平方公尺? 搭配習作P14基礎題2/ P15基礎題3 2 定長圍方問題 如右圖,某人想用60公尺的籬笆,在河邊圍成一個長方形的區域,且把河邊當成長方形的一邊不圍籬笆,則所能圍出最大的長方形面積是多少平方公尺?

解 設此長方形垂直於河邊的邊長為x公尺,面積為y平方公尺,∵籬笆長60公尺, ∴平行河邊的邊長為(60-2x)公尺。 則可列得二次函數為y=x ( 60-2x), ∴ y=60x-2x2=-2(x2-30x) =-2(x2-30x+152-152) =-2(x-15) 2+450 又-2(x-15)2≦0 ∴y=-2(x-15)2+450≦450 故x=15 時,有最大值y=450, 即所能圍出最大的長方形面積為450平方公尺。

菜農想用長36公尺的籬笆圍成一長方形的菜圃,請問應如何圍才能圍成最大的面積?此最大面積是多少? 設菜圃的長為x公尺,寬為(18-x)公尺,面積為y 平方公尺, ∴y=x(18-x)=-(x-9)2+81≦81 故當x=9時,有最大值y=81,此時寬亦為9, 即菜圃圍成邊長為9公尺的正方形時,面積最大為81平方公尺。

如圖,某人在長方形的養殖場一角,隔出兩個相連的正方形放養池,若已知養殖場岸邊的長度( + )共10公尺,則兩個放養池的面積和最小是多少? 搭配習作P15基礎題4/ P16基礎題5、6 3 平方和問題 如圖,某人在長方形的養殖場一角,隔出兩個相連的正方形放養池,若已知養殖場岸邊的長度( + )共10公尺,則兩個放養池的面積和最小是多少?

解 設 為x公尺, 為(10-2x)公尺, 且兩個放養池的面積和為y平方公尺, 則可列得y=x2+(10-2x)2, ∴ y=5x2-40x+100=5(x2-8x)+100 =5(x2-8x+42-42)+100 =5(x-4)2+20 又5(x-4)2≧0 ∴ y=5(x-4)2+20≧20 故x=4 時,有最小值y=20, 即兩個放養池的面積和最小是20平方公尺。

將一條24公尺長的繩子剪成兩段,各圍出一個正方形。若要使得這兩個正方形的面積和最小,則此繩子所剪成兩段的長度分別是多少公尺?

設剪成兩段的長度為x與24-x公尺,面積和為y平方公尺,

4 最高收入問題 某旅行社招攬旅行團,預定人數為20人,每人收費3200元,若人數達到20人以後,每增加1人,則每人減收100元。請問增加多少人時,旅行社才能收到最多的錢?最多共可收到多少元? 設增加x人,參加人數為(20+x)人,旅行社共收到y元,又每人減收100x元,因此每人收費為(3200-100x)元。 解

解 故可列得y=(20+x)(3200-100x) ∴ y=-100x2+1200x+64000 =-100(x2-12x)+64000 =-100(x2-12x+62-62)+64000 =-100(x-6)2+67600 又-100(x-6)2≦0,5 ∴ y=-100(x-6)2+67600≦67600, 故x=6時,有最大值y=67600。 即增加6人時,旅行社收到最多的錢, 最多共可收到67600元。

果農在橘子園種了40棵橘子樹,每棵橘子樹年產1000個橘子,若每加種1棵橘子樹,則每棵橘子樹年產量會少20個橘子。請問果農應加種幾棵橘子樹,才能使此橘子園的橘子產量達到最大?

設加種 x 棵,橘子產量為 y , ∴共有(40+x)棵橘子樹,每棵年產(1000-20x) 個橘子,可得 y=(40+x)(1000-20x) =-20(x-5)2+40500≦40500 故當x=5 時,有最大值y=40500, 即加種 5 棵,產量會達最大。

5 飛行路徑問題 某職棒選手擊出一支安打。如圖,若球飛行的水平距離為x呎時,球離地面的高度為y呎,且兩者滿足關係式y=- (x2-300x-3100),回答下列問題: (1)擊球點離地面多少呎? (2)球飛行途徑的最高點 離地面多少呎? (3)從擊球點到球落地時,飛行的水平距離是多 少呎?

解 (1) ∵擊球點為拋物線與y軸的交點, 故將x=0 代入關係式y=- (x2-300x -3100)中, 得y= ,即擊球點離地面 呎。

解 (2) ∵ y=- (x2-300x-3100) =- (x2-300x+1502-1502-3100) =- 〔(x-150)2-25600〕 =- (x-150)2+32≦32 ∴當x=150 時,有最大值y=32。 即球飛行途徑的最高點離地面32呎。

(3)球落地時,離地面的高度是0呎,故將y=0代入關係式y=- (x2-300x-3100)中, x2-300x-3100=0 x2-300x=3100 x2-300x+1502=3100+1502 (x-150)2=25600 x-150=160 或x-150=-160 x=310 或x=-10(不合) ∴球飛行的水平距離是310呎。 解

某鉛球選手投出一球。如圖,若球飛行的水平距離為x公尺時,球離地面的高度為y公尺,且兩者滿足關係式y=- (x2-20x-44),回答下列問題: (1)投球點離地面多少公尺? (2)球飛行途徑的最高點離 地面多少公尺? (3)從擊球點到球落地時,飛行的水平距離是多 少公尺?

(1) x=0 時,y= ,∴投球點離地面 公尺 (2) y=- (x2-20x-44) =- (x-10)2+ ≦ ∴x=10 時,有最大值 y= ,即最高點離地面 公尺。

(3) y=0 時,x2-20x-44=0 (x-22)(x+2)=0 x=22,-2(不合) 即球飛行的水平距離為22公尺。

運用二次函數解應用問題的過程: (1)假設變數x、y。 (2)列出二次函數。 (3)利用配方法求出二次函數的最大值或最小 值。 (4)依題意作答。

天才是一分的天份,加上九十九分的後天努力。 —愛迪生 (Thomas Alva. Edison,1847-1931)

1.若一長方形的周長為24,則其面積的最大值是多少? 1-3 自我評量 1.若一長方形的周長為24,則其面積的最大值是多少? 設長方形的長為x,寬為12-x,面積為y, ∴y=x(12-x)=-(x-6)2+36≦36 故當x=6 時,有最大值y=36, 即其面積最大為36。

2.已知甲正方形的邊長為m,乙正方形的邊長為 n,若m+2n=3,則甲、乙兩正方形的面積和最小是多少? 設兩正方形的面積和為y,5 ∴y=m2+n2 =(3-2n)2+n2 =5(n- )2+ ≧ 故當n= 時,有最小值為y= , 即兩正方形的面積和最小為 。

3.若一梯形的高與上底的和為6,且其高與下底的和為12,則此梯形面積的最大值是多少? 設高為x,梯形面積為y,∴上底為6-x,下底為12-x, 可列得y= =x(9-x) =-(x- )2+ ≦ 故當x= 時,有最大值y= , 即梯形面積最大為

4.如圖,圓O1與圓O2外切,且知其連心線 為6,則兩圓面積和的最小值是多少?(圓周率以π表示) 設兩圓半徑為x、6-x, 兩圓面積和為y, ∴y=πx 2+π‧(6-x)2 =2π(x-3)2+18π≧18π 故當x=3 時,有最小值y=18π, 即兩圓面積和最小為18π。

二次函數的推廣 當二次函數的自變數x有範圍限制時,其函數圖形與最大值、最小值有甚麼變化呢? 下面我們來描繪二次函數y=(x-3)2-2,1<x≦6 的圖形,並找出其最大值與最小值。

因為函數的頂點為(3 , -2),因此將x 和y 的對應值列表如下: 1 2 3 4 5 6 y -1 -2 7 然後描點並畫平滑曲線如下圖:(注意:x=1 與x=6 兩個邊界點要描出)

圖1-8 所以函數有最大值為7,有最小值為-2。

右邊虛線上的點,其 x 坐標均大於6;而左邊虛線上的點,其 x 坐標均小於或等於1,兩者皆不滿足 1<x≦6 的範圍限制,一般在畫圖時不會將此部分畫出,此處以虛線表示,是為了方便同學觀察此圖形為拋物線的一部分。