北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.4.25 大学文科数学 之 线性代数与概率统计 北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.4.25

第五讲 离散型随机变量的分布列

为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.

例1 掷一颗均匀的骰子, 用X 表示所得的点数,

定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 一般地，我们给出如下定义: 定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 k=1,2,… … 为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中 (k=1,2, …) 满足： k=1,2, … （1） 用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数 （2）

例 连续投掷一枚均匀的硬币两次, 有如下４种等可能的结果 用X 表示这两次投掷所得结果中正面朝上的次数

例 连续投掷一颗均匀的的骰子两次, 用X 表示所得点 数之和.

例 连续投掷一颗均匀的的骰子两次, 用X 表示所得点 数之和.

二、表示方法 再看例1 （1）列表法： 任取3 个球 X~ （2）图示法 （3）公式法 X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2 PK 0.1 0.3 0.6 k PK 1 2 （2）图示法 （3）公式法

一些重要的离散型概率分布 两点分布 二项分布 超几何分布 几何分布（与习题相关）

有很多随机试验,　它们往往只有两种相互对立的可能结果． 例如, 某射手射击某目标, 可能结果为击中或不中； 比赛前裁判投掷一枚均匀的硬币, 可能正面朝上或反面朝上； 质检员从一批含有次品的产品中随机地抽查一件产品, 则可能抽得次品, 也可能抽得正品．这样的试验常被称为贝努里试验, 它的两个可能的结果常被称为“成功” 和“失败"．

例如, 投掷一枚均匀的硬币, 用X 表示正面朝上的次数, 则X 的分布列为 假设有一个贝努里试验, 成功的概率为p, 　失败的概率为 1-p．若用X 表示一次这样的试验中成功的次数, 也就是说用{X = 0} 表示“失败”, {X = 1} 表示“成功”, 则 X 是一个只取0,1 值的随机变量, 它的分布列为　

二项分布 描述的是多重贝努里试验中成功次数的分布 从实例到模型….

在这个问题中, 一共投掷了3 次硬币, 各次投掷是相互独立的; 独立连续地投掷一枚不均匀的硬币n = 3 次, 已知该枚硬币正面朝上的可能性为反面朝上的 2 倍. 设 X 为这3 次投掷中正面朝上的次数, 求 X 的分布列. 每投掷一次硬币, 都有且只有两种可能的结果: 正面朝上或反面朝上, 并且每次投掷正面朝上的概率都为p = P(正)= 2/3 , 反面朝上的概率为q = 1－p =P(反) = 1/3 . 在这个问题中, 一共投掷了3 次硬币, 各次投掷是相互独立的; 其中正面朝上的的次数X 是一个随机变量, 它的可能取值为0,1,2,3.

3 次投掷都是反面朝上, 即只有0 次正面朝上的事件 {X = 0} 只包含一种可能的情形: 反反反. 由各次投掷的独立性可知它发生的概率为

3 次投掷中只有一次正面朝上的事件 {X = 1} 包含如下3 种相互排斥的结果

类似地可得这3 次投掷中恰有2 次正面朝上的事件 {X = 2} 的概率为

4. 各次试验是否相互独立? 独立性在随机变量X 的分布列的计算中, 具体应用在哪里? 如果将掷一次硬币看作做了一次试验, 试对上述问题思考如下问题: 3 如果将每次试验的两个可能的结果分别称为“成功”(正面朝上) 和“失败”(反面朝上), 那么, 每次试验成功的概率是多少? 它们相同吗? 这时, 随机变量X 表示什么? 4. 各次试验是否相互独立? 独立性在随机变量X 的分布列的计算中, 具体应用在哪里?

并将所得展开式的各项与随机变量X 的分布列 5. 试展开二项式 并将所得展开式的各项与随机变量X 的分布列 进行比较. 你能发现什么?

进行了n 次独立重复的 Bernoulli 试验: 每次试验只有两个可以分别称为“成功” 和“失败" 的相互对立的结果; 每次试验“成功” 的概率均为p, 失败的 概率均为q = 1-p; 各次试验是相互独立的, 如果X 表示这n 次试验中成功的次数,

则其中恰好有k 次试验成功的概率为二项式 展开式的第 k + 1 项, 即

如果一个随机变量X 的分布列如上所述, 则我们称X 服从参数为 n, p 的 二项分布或贝努里分布, 简记为

例

某车间有5 台机床, 每台机床工作与否彼此独立且工作的概率为0. 2 某车间有5 台机床, 每台机床工作与否彼此独立且工作的概率为0.2. 设每台机床工作时需电力10 千瓦, 但因电力发生故障现只能供应30千瓦的电力, 问此时车间不能正常工作的概率有多大? 解： 设X 为10 台机床中工作的台数, 则X 服从参数为n = 5; p = 0.2 的二项分布, 即

车间不能正常工作是指用电量超过 30 千瓦, 即 X >= 4, 其概率为

例 保险问题 例 设某保险公司有10000 人参加人身意外保险. 该公司规定: 每人每年付公司120 元, 如果遇到意外死亡, 公司将赔偿10000 元. 如果每人每年意外死亡率为0.006, 试讨论该公司是否会亏本 (不考虑公司的其他赔偿费用、开支和收入).

如果用X 表示这10000 人中意外死亡的人数, 那么X 服从参数为n =10000; p = 0.006 的二项分布, 即 死亡 X 人时,公司要赔偿 X 万元, 它的利润是(120-X) 万

超几何分布

某产品生产工艺复杂, 次品率高. 已知在一批 12 件这样的产品中有7 件次品. 现从中任取5 件 某产品生产工艺复杂, 次品率高. 已知在一批 12 件这样的产品中有7 件次品. 现从中任取5 件. 用X 表示取得的产品中的次品数, 试求P(X = 3), 即恰好取出3 件次品的概率.

例 高三(1) 班的联欢会上设计了一项游戏. 在一个口袋中装有6个红球, 4 个白球, 这些球除颜色外完全相同. 游戏者一次从中摸出5 个球， 如果摸到红球个数为4 个就可获赠一精美小礼品; 如果摸出的球都是红球, 就可获赠一套丛书. 一名同学准备试一试, 问他能获赠小礼品的概率是多少? 他能获赠一字典的概率又是多少?

练习 6个题 1 Page 153 6 (假设奖券无穷，该人买不尽奖券)

2 某车间有5 台机床, 每台机床工作与否彼此独立且工作的概率为0. 2 2 某车间有5 台机床, 每台机床工作与否彼此独立且工作的概率为0.2. 设每台机床工作时需电力10 千瓦, 但因电力发生故障现只能供应30千瓦的电力, 问此时车间不能正常工作的概率有多大?

例(不讲，课后习题与此同). 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数. 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,

设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p, 可见 这就是求所需射击发数X的概率函数.

若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布. 不难验证: