第二章 静电场（5） §2.5 格林函数法 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月25日 《电动力学》第13讲 第二章 静电场（5） §2.5 格林函数法 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月25日

上一讲复习 拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。 先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由 分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系 和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式 （见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ 为极角，φ为方位角。 山东大学物理学院 宗福建 2

上一讲复习 拉氏方程在球坐标系中的通解为 式中anm,bnm,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条 件定出。Pmn(cosθ)为缔和勒让德(Legendre)函数。 山东大学物理学院 宗福建 3

上一讲复习 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖 于方位角φ，这情形下通解为 Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。 山东大学物理学院 宗福建 4

上一讲复习 Pn（cosθ）为勒让德函数 山东大学物理学院 宗福建 5

补充题：用分离变量法求解接地金属球外一个点电荷的势，和电像法相比较，并证明其两个解是完全相同的。 上一讲习题解答： 补充题：用分离变量法求解接地金属球外一个点电荷的势，和电像法相比较，并证明其两个解是完全相同的。 山东大学物理学院 宗福建 6

P 上一讲习题解答： r’ r 由Q和镜像电荷Q‘ 激发的总电场能够满足在导体面上φ= 0 的边界条件。 因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点 的距离，r' 为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，θ为OP与OQ 的夹角。 山东大学物理学院 宗福建 7

P 上一讲习题解答： r 如图所示的球坐标系，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置 的连线为极轴，点电荷到球心的距离为a，空间任意一点P到点电荷 的距离为r，到球心的距离为R，极角为θ。 山东大学物理学院 宗福建 8

P 上一讲习题解答： r 由于电势具有轴对称性，考虑到无穷远处的电势为0，泊松方程的解 为： 山东大学物理学院 宗福建 9

P 上一讲习题解答： r 在金属球壳表面： 山东大学物理学院 宗福建 10

P 上一讲习题解答： r 考虑到： 山东大学物理学院 宗福建 11

P 上一讲习题解答： r 则： 山东大学物理学院 宗福建 12

P 上一讲习题解答： r 则： 山东大学物理学院 宗福建 13

P 上一讲习题解答： r’ r 则： 山东大学物理学院 宗福建 14

本讲主要内容 1、格林公式和边值问题的解 2、点电荷密度的δ函数表示 3、格林函数 4、例题 无界空间的格林函数 上半空间的格林函数 球外空间的格林函数 4、例题 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 由§2.2 唯一性定理， 设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定 （1）电势φ | s 或 （2）电势的法向导数 ∂φ /∂n| s ， 则V内的电场唯一确定。 也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满 足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在 V的边界S上满足该给定的φ或∂φ /∂n值。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 对第1类边值问题，给定电势φ | s ，求V内的势： 设区域V内有两个函数 φ（x） 和ψ（x），有格林公式， 式中 n为界面S上的外向法线。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 格林公式的证明如下： 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 格林公式对任意函数 φ（x）和ψ（x）都适用。 取φ（x）满足泊松方程， ψ（x）为格林函数，得 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 得 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 得 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 只要知道格林函数G(x’,x)，以及在边界上给定的φ|S值，就可以算出区域内的φ(x)，因而第1类边值问题完全解决。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 对第2类边值问题，给定电势əφ/ ən | s ，求V内的势： 设区域V内有两个函数 φ（x） 和ψ（x），有格林公式， 式中 n为界面S上的外向法线。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 格林公式对任意函数 φ（x）和ψ（x）都适用。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 满足上式最简单的边界条件为： 其中S是界面的总面积。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 其中<φ>S是电势在界面上的平均值。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 只要知道格林函数G(x’,x)，以及在边界上给定的φ|S值，或者əφ/ ən | s ，就可以算出区域内的φ(x)，因而边值问题完全解决。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 2、点电荷密度的δ函数表示 点电荷是电荷分布的极限情况，它可以看作一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。若电荷分布于小体积ΔV内，当体积 ΔV→0 时，体积内的电荷密度 ρ→∞ ，而保持总电荷不变，所谓点电荷就是这种电荷分布。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 2、点电荷密度的δ函数表示 处于 x' 点上的单位点电荷的密度用函数δ(x−x’) 表示 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 一个处于 x’点上的单位点电荷所激发的电势ψ(x)满足泊松方程 设有包含 x’ 点的某空间区域V，在V的边界S上由边界条件 解称为泊松方程在区域V的第一类边值问题的格林函数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 一个处于 x’点上的单位点电荷所激发的电势ψ（x）满足泊松方程 设有包含 x’点的某空间区域V，在V的边界S上满足另一边界条件 解称为泊松方程在区域V的第二类边值问题的格林函数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 格林函数一般用G（x ，x'）表示，其中 x' 代表源点，即点电荷所在点， x 代表场点。格林函数所满足的微分方程 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （1）无界空间的格林函数。 在 x’ 点上一个单位点电荷在无界空间中激发的电势为 式中r为源点 x' 到场点x的距离。因此，无界空间的格林函数为 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （1）无界空间的格林函数。 选电荷所在点 x’为坐标原点，即 x’ = 0 。在求坐标中，G（x ，0）= 1/4πε0r ，由直接计算得，G为无界空间的格林函数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （2）上半空间的格林函数 一导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷Q所在点的坐标为（x'，y'，z'），场点坐标为（x，y，z），则r为由 x' 点到x点的距离，r' 为由镜象点 （x'，y'，−z'） 到场点的距离。上半空间格林函数为 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （3）球外空间的格林函数。 以球心O为坐标原点。设电荷所在点 P’ 的坐标为 （x’，y’，z’） ，场点P的坐标为（x，y，z）。令 则a对应于R’，b对应于R02/ R’ ，镜象电荷所在点的坐标为 (b/a)x’ = (R02/R’2）x' 。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （3）球外空间的格林函数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 式中α为x与x’的夹角。若P点的球坐标为（R,θ,φ）， P’ 点的球坐标为（R’,θ’,φ’），有球外空间格林函数 : 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 4、例 在无穷大导体表面上有半径为a的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆心电势为V0，导体板其余部分电势为0，求上半空间的电势。 解 以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板垂直，R为空间点到z轴的距离。x点的直角坐标为 （R cosφ, R sinφ , z） ，x' 点的直角坐标为 （R' cosφ', R' sinφ' , z'） ，上半空间格林函数适用柱坐标表出为 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 上半空间格林函数适用柱坐标表出为 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 因为在上半空间 ρ = 0 ，因此这问题是拉普拉斯方程第一类边值问题。上半空间的电势为 积分面S是 z' = 0的无穷大平面。法线沿 − z' 方向。先计算格林函数的法向导数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 由于S上只有圆内部分电势不为零，因此式中的积分只需对 r ≤ a 积分。 山东大学物理学院 宗福建

§2.5 格林（GREEN）函数法 当 R 2 +z 2 >> a 2 时，可以把被积分函数展开，得 山东大学物理学院 宗福建

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