直线的倾斜角和斜率问题 1.直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它 们从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜 角与斜率的对应关系是做题的易错点，应引起足够的重视. 2.经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线的斜率公式 应用时应注意其使用条件x1≠x2.

【例1】(2011·临沂高一检测)已知点A(2,3)，B(-5,2)，若直线l过点P(-1,6)，且与线段AB相交，求该直线倾斜角的取值范围． 【审题指导】本题中A、B、P的坐标已知，可画出图像，利用斜率与倾斜角的关系求解.

【规范解答】如图所示, ∴直线PA的倾斜角为 ∴直线PB的倾斜角为 从而直线l的倾斜角的取值范围是

直线方程及其位置关系问题 1.直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目要求灵活选取，尤其在使用四种特殊形式时，注意它们各自的适用条件，必要时对特殊情况进行讨论. 2.待定系数法是求直线方程的常用方法，求直线的方程时要借助直线的位置关系进行巧设，如平行直线系、垂直直线系、过定点的直线系等等要灵活掌握.

3.直线位置关系的判断方式 设两条直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0(A2,B2,C2≠0) 则①两直线平行 ②两直线相交 特别地,当两直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0相互垂直时有A1A2+B1B2=0 ③两直线重合 在使用斜截式判断直线的位置关系时，注意直线斜率不存在的情形.

【例2】已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0， 当m为何值时，l1与l2 (1)相交；(2)平行；(3)重合. 【审题指导】对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用相关结论.

【规范解答】当m=0时，l1:x+6=0, l2:x=0. ∴l1∥l2. 当m≠0时，则两直线化为斜截式方程分别为： l1: l2：

(1)当 即m≠-1,m≠3时，l1与l2相交. (2)当 即m=-1时，l1∥l2. (3)当 即m=3时，l1与l2重合.

综上所述知： (1)当m≠-1,m≠3且m≠0时，l1与l2相交. (2)当m=-1或m=0时，l1∥l2， (3)当m=3时，l1与l2重合.

【例3】(2011·佛山高二检测)直线l1：3x+4y-5=0与直线l2：2x-3y+8=0的交点为M (2)求经过点M与直线2x+y+5=0垂直的直线方程. 【审题指导】联立直线l1与直线l2的方程求交点坐标，利用两点式或点斜式求(1)；利用垂直直线系求(2).

【规范解答】由 得 ∴M点的坐标为(-1，2) (1)所求直线方程经过点(0，0)与M(-1，2) 则直线方程为 即2x+y=0. (2)所求直线方程与直线2x+y+5=0垂直，故可设所求直线方程为x-2y+c=0,又点M在直线上∴-1-2×2+c=0,解得c=5 ∴所求直线的方程为x-2y+5=0.

圆的方程及其位置关系问题 1.圆的方程有两种形式： (1)圆的标准形式：(x-a)2+(y-b)2=r2 (2)圆的一般形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 无论哪种形式都含有三个参数，求解圆的方程时常常利用待定系数法，借助方程组求解.

2.直线与圆及圆与圆的位置关系的判断是圆的核心问题，求解思路有两种——代数法、几何法.学习时应明确两种方法的优劣. 巧妙利用圆的有关几何性质解题可大大简化解题步骤，提高解题能力。

【例4】(2011·深圳高一检测)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0 (2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值； (3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程. 【审题指导】二元二次方程含有参数m，求解(1)利用D2+E2-4F>0可以解决;设M(x1,y1)，N(x2,y2),则OM⊥ON可以转化为x1x2+y1y2=0，借助方程的观点求解(2)；利用圆的几何性质求得(3)的方程.

【规范解答】(1)∵x2+y2-2x-4y+m=0 ∴D=-2，E=-4，F=m 由D2+E2-4F=20-4m>0，可得m＜5.

(2)联立方程组 消去x得5y2-16y+8+m=0 设M(x1,y1),N(x2,y2) ∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0 ∴5y1y2-8(y1+y2)+16=0

(3)设圆心为(a,b),则 半径 ∴圆的方程为

【例5】过原点O作圆C：x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P，Q，求 (1)经过圆心C，切点P，Q这三点的圆的方程； (2)直线PQ的方程； (3)线段PQ的长. 【审题指导】解答本题中的(1)可利用O，P，Q，C四点共圆求解；解答本题中的(2)可利用相减法求公共弦所在的直线；对于(3)可用几何法，也可用代数法求解.

【规范解答】(1)连接CP,CQ,由圆的几何性质可知 OP⊥CP,OQ⊥CQ. ∴点O，P，C，Q四点共圆，且OC是该圆的直径. 又圆x2+y2-6x-8y+20=0可化为： (x-3)2+(y-4)2=5,

∴C(3，4). ∴所求圆的圆心为 半径 ∴过P，C，Q三点的圆的方程为

(2)直线PQ即为(1)中求得的圆与圆C的公共弦所在的直线, 由 可得3x+4y-20=0，即为直线PQ的方程.

(3)方法一：圆心C(3,4)到直线3x+4y-20=0的距离 方法二：由 得 或 ∴P(4,2)，

与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的转化 (1)形如 的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值 问题； (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值 (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距 离的平方的最值问题．

【例6】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0 (1)求 的最大值与最小值； (2)求y-x的最大值与最小值； (3)求x2+y2的最大值与最小值． 【审题指导】注意到， 的几何意义是圆上一点与原点连线 的斜率；y-x可以看作直线y=x+b在y轴上的截距；x2+y2是圆 上一点与原点距离的平方，借助平面几何知识，利用数形结 合求解．

【规范解答】原方程可化为(x-2)2+y2=3，表示以点(2,0)为 圆心， 为半径的圆． (1)设 即y=kx．当直线y=kx与圆(x-2)2+y2=3相切时， 斜率k取得最大值与最小值，此时 解得 故 的最大值为 最小值为

(2)设y-x=b，即y=x+b，当直线y=x+b与圆相切时，直线在y轴 (3)x2+y2表示圆上的点与原点的距离的平方，由平面几何知 识知它在原点与圆心的连线上时与圆的两个交点处分别取得 最大值和最小值，又圆心与原点的距离为2，故x2+y2的最大 值为 最小值为

对称问题 1.对称问题的分类

2.对称问题的求解策略 (1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. (2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.

【例7】已知直线l∶x+2y-3=0 (1)求点A(1，3)关于直线l的对称点A′的坐标. (2)求直线l关于点A(1，3)对称的直线l′的方程. 【审题指导】(1)因为A，A′关于直线对称，所以直线l是线段AA′的垂直平分线.(2)直线l′与直线l关于点A(1，3)对称,则直线l与直线l′相互平行且点A到两直线的距离相等.

【规范解答】(1)由题意可知，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为(x，y)，则AA′的中点B的坐标为 由题意可知， 解得 故所求点A′的坐标为

(2)直线l与l′关于点A(1，3)对称，设l′的方程为x+2y+c=0.则由题意可知 解得：c=-3(舍去)，或c=-11 故所求直线l′的方程为x+2y-11=0.

1.(2011·潍坊模拟)若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3，且k1＜k2＜k3，则下列说法中一定正确的是( ) (A)k1·k2=-1 (B)k1＜0 (C)k2≥0 (D)k2·k3=-1 【解析】选B.∵直角三角形的三条边所在直线的斜率必有一个负值，又k1＜k2＜k3，故k1＜0.

2.(2011·海淀高一检测)已知直线l1：x+2ay-1=0,与l2： (2a-1)x-ay-1=0平行，则a的值是( ) (A)0或1 (B)1或 (C)0或 (D) 【解析】选C.由两直线平行的关系可知1×(-a)-2a×(2a-1)=0，解得a=0或 经检验,a=0或 均符合题意.

3.(1)点(2，3，4)关于yOz平面的对称点为_____________; (2)点(2，3，4)到原点的距离为____________. 【解析】(1)点(2，3，4)关于yOz平面的对称点为(-2,3,4); (2)点(2，3，4)到原点的距离为 答案：(1)(-2,3,4)

4.已知直线l经过A(-1,m)、B(m,1)两点, (1)当直线l与x轴平行时，m=____________; (2)当l与y轴平行时，m=_____________; (3)当l的斜率为 时，m=_____________. 【解析】(1)当直线与x轴平行时,A、B两点的纵坐标相等, ∴m=1. (2)当直线与y轴平行时,直线无斜率,得m=-1. (3)l的斜率为 ，得 即 答案：(1)1 (2)-1 (3)

5.求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(-1,2)，倾斜角为45°； (2)在y轴上的截距为4，斜率为直线y=x+1的斜率的相反数.

【解析】(1)由题意可知直线的斜率为1，又过点(-1,2), 由直线方程的点斜式得所求直线方程为y-2=x+1, 即y=x+3; (2)∵直线y=x+1的斜率为1， ∴所求直线的斜率为-1, 由斜截式得所求直线方程为y=-x+4.

6.求与直线y=x相切，圆心在直线y=3x上且被y轴截得的弦长 为 的圆的方程. 【解析】设圆心坐标为O1(x0,3x0)，半径为r,y轴与圆的交分 别为A、B，则 解得 又 ∴2+x02=2x02. 即圆的方程为：

7.已知两圆(x-1)2+(y+2)2=m2，(x+1)2+(y-1)2=(m+1)2(m>0)，试求m为何值时，两圆(1)有惟一公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点. 【解题提示】求解本题先求圆心距｜O1O2｜，然后按｜O1O2｜与r1,r2的关系展开讨论.

【解析】圆(x-1)2+(y+2)2=m2的圆心坐标为 O1(1,-2)，半径r1=m, 圆(x+1)2+(y-1)2=(m+1)2的圆心坐标为 O2(-1,1),半径r2=m+1. 两圆圆心距

(1)当|O1O2|=r1+r2，即 时， 两圆外切，有惟一公共点. (2)当|O1O2|＜r1+r2, 即 时， 两圆相交，有两个公共点； (3)当|O1O2|>r1+r2, 即 时， 两圆相离，无公共点.