现代控制理论

标准形亦称规范形，它是系统的系数在一组特定的状态空间基底下导出的标准形式。 3.7 系统的能控标准形和能观测标准形 标准形亦称规范形，它是系统的系数在一组特定的状态空间基底下导出的标准形式。 系统的能控标准形和能观测标准形，指的是系统的状态方程和输出方程若能变换成某一种标准形式，即可说明这一系统必是能控的或能观测的，那么这一标准形式就称为能控标准形或能观测标准形。 由于能控标准形常用于极点的最优配置，而能观测标准形常常用于观测器的状态重构，所以这两种标准形对系统的分析和综合有着十分重要的意义。

定理3-15 设单输入单输出系统(A,B,C)，其中 3.7.1 系统的能控标准形 1. 单输入单输出系统 定理3-15 设单输入单输出系统(A,B,C)，其中 则此系统为能控标准形，那么该系统一定是完全能控的。 证明 因为

… 能控性矩阵的秩 rankQc =rank [ B AB … An1B ] Qc满秩，∴ 该系统是状态完全能控的。

定理3-16 设线性定常系统Σ(A，B，C)，如果系统是能控的，那么，就一定存在一个非奇异变换，能将上述系统Σ(A，B，C)变换成能控标准形。 变换矩阵P由下式确定 式中P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1 = [0 … 0 1]Qc1

证明 假设下式成立 令

因此有 P1A = P2 P2A = P1A2 = P3 … Pn1A = P1An1 = Pn 于是 又 ∵ 将等式两边转置后有 P1[B AB … An1B ] = [0 … 0 1] 由此可得 P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1

P1 = [0 1][B AB]1 = [0 1] 例3-19 试将下列系统的状态方程 变换为能控标准形。 1 1 1 3 例3-19 试将下列系统的状态方程 变换为能控标准形。 1 1 1 3 解： Qc=[B AB ] = rankQc =2，系统是能控的。 P1 = [0 1][B AB]1 = [0 1] 1.5 0.5 0.5 0.5 =[0.5 0.5]

从而得能控标准形为 2．多输入多输出系统 设线性定常系统Σ(A，B，C)，A为n×n系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为m×n输出矩阵，如果系统是能控的，那么就一定存在一个非奇异线性变换，能把系统变换成如下的能控标准形：

 sI  A  = s n + a1s n 1 + … + an 1 s + an 其中a1，a2，…，为系统特征多项式  sI  A  = s n + a1s n 1 + … + an 1 s + an 的系数；0r和Ir分别表示r×r零矩阵和单位矩阵。

定理3-17 设单输入单输出系统(A,B,C)，其中 3.7.2 系统的能观测标准形 1. 单输入单输出系统 定理3-17 设单输入单输出系统(A,B,C)，其中 C = [ 0 … 0 1] 则此系统为能观测标准形，那么该系统一定是完全能观测的。

 sI  A  = s n + a1s n 1 + … + an 1 s + an 定理3-18 设线性定常系统Σ(A，C)，如果系统是能观测的，那么，就一定存在一个非奇异变换，能将上述系统Σ(A，C)变换成能观测标准形。且能观测标准形的系统矩阵中a1，a2，…，an 为系统特征多项式  sI  A  = s n + a1s n 1 + … + an 1 s + an 的系数；变换矩阵T为 T = [ T1 AT1 … An1T1 ] 式中

例3-20 若系统的状态空间表达式为 试将其变换为能观测标准形。 解： ∵ rankQo = 2 = n ∴ 系统是能观测的。 根据

故有 有一点需要特别指出，即对于单输入单输出系统而言，因其能控性矩阵Qc和能观测性矩阵Qo只有唯一的一组线性无关矢量，所以当原系统状态表达式变换为能控标准形或能观测标准形时，其表示方法是唯一的。

2．多输入多输出系统 设线性定常系统Σ(A，B，C)，A为n×n系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为m×n输出矩阵，如果系统是能观测的，那么就一定存在一个非奇异线性变换，能把系统变换成如下的能观测标准形。 C = [0m … 0m Im ] 其中a1，a2，…，an 为系统特征多项式  sI  A  = s n + a1s n 1 + … + an 1 s + an 的系数；0m和Im分别表示m×m零矩阵和单位矩阵。

3．8 实现问题 状态空间分析法是现代控制理论的基础。因此，如何建立状态方程和输出方程是分析和综合系统地首先要解决的问题。 3．8 实现问题 状态空间分析法是现代控制理论的基础。因此，如何建立状态方程和输出方程是分析和综合系统地首先要解决的问题。 对于结构和参数已知的系统，可以通过对系统物理过程的深入研究后，直接建立系统的状态空间表达式。 但是，有很多实际系统，其物理过程比较复杂，相互之间的数量关系又不太清楚。此时，要直接导出其状态空间表达式显得十分困难，甚至是不可能。

为了解决这类问题，一个可能的办法是，先用实验的方法确定系统的传递函数（或传递函数阵），然后根据传递函数推导出相应的状态方程和输出方程。 由传递函数阵或相应的脉冲响应阵来建立系统的状态方程和输出方程的问题，即称为实现问题。而系统的状态方程和输出方程则称为系统传递函数阵的一个实现。

3.8.1 定义和基本特性 1. 定义 如果对给定的一个传递函数阵G(s)，能找到相应的线性定常系统状态空间表达式 使得 G(s)=C(sI  A) 1B 成立，则称系统Σ(A，B，C)是G(s)的一个实现。相 应地，如果其 H(t)= L1[ G(s)] 则称该系统是脉冲响应阵H(t)的一个实现。

2．基本特性 （1）对任意给定的传递函数阵G(s)，只要满足物理上可实现的条件，那么一定可以到其实现，这是实现的存在性问题。 （2）实现的实质是用状态空间分析法，寻找一个与真实系统具有相同传递函数阵的假想系统。但从传递函数阵出发，一般可以构造无数个与真实系统输入输出特性相同的假想系统。因此，实现具有非唯一性。 （3）当传递函数阵G(s)所有元的传递函数Gij (s)均为s的真有理分式函数（即分子多项式的阶次低于分母多项式的阶次）时，其实现为Σ(A，B，C)形式。 当Gij (s)的分子多项式的阶次等于分母多项式的阶次时，其实现为Σ(A，B，C，D)形式。且有

3.8.2 按标准形实现 能控标准形（能观测标准形）实现就是由传递函数阵或相应的脉冲响应阵所建立的状态表达式，不但完全能控（能观测），而且为标准形式，则称为能控标准形（能观测标准形）实现。这两种典型实现，是找到最小实现的必经之路。 1．单输入单输出系统的实现 定理3-19 若单输入单输出系统的传递函数G(s)为 其中，ai和bi（ i =1，2，…，n）为实常数，则其能控标准形的实现为

能观测标准形的实现为

证明 证能控标准形的实现。 ∵

例3-21 试求传递函数 的能控标准形实现和能观测标准形实现。 解： ∵ a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6 b1 = 1 b2 = 4 b3 = 5 ① 能控标准形为

②能观测标准形为

2．多输入多输出系统 对具有r个输入和m个输出的多输入多输出系统，可把m×r的传递函数阵G(s)写成和单输入单输出系统传递函数相类似的形式，即 式中B1，B2，…，Bn均为m×r实常数矩阵，分母多项式为该传递函数阵的特征多项式（最小公分母）。

能控标准形实现为

能观测标准形实现的各系数矩阵为 显然，能控标准形实现的维数是n×r，能观测标准形实现的维数是n×m，为了保证实现的维数较小，当m > r，即输出的维数大于输入的维数时，应采用能控标准形实现；当m < r时应采用能观测标准形实现。

例3-20 试求传递函数阵 的能控标准形实现和能观测标准形实现。 解：将G(s)写成按s的降幂排列的标准格式，即 a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6 B3 B1 r = 2 m = 2 B2

能控标准形实现的各系数矩阵为：

能观测标准形实现的各系数矩阵为： B= B3 B2 B1 = 6 2 6 3 5 3 5 4 1 1 1 1

3.8.3 最小实现 由上述分析可知，对应于一个传递函数阵（传递函数）G(s)的实现不是唯一的，而且实现的阶数上也有很大的差别。一般总希望实现的阶次越低越好，但是，阶数显然是不能无限的降低。因此，在很多可能实现中，总会存在一个状态变量个数最小或阶数最低的实现，这就是最小实现。 事实上，最小实现反映了系统最简单的结构，因此最具有工程意义。如用模拟计算机来实现，则所用的积分器的数目是最少的， 对于给定的传递函数阵G(s)，虽然其最小实现也不是唯一的，但是，它们的维数是相同的，而且必是代数等价的。

定理3-20 传递函数阵G(s)的一个实现Σ(A，B，C)为最小实现的充要条件是：Σ(A，B，C)不但能控而且能观测。 证必要性：设系统Σ(A，B，C)为G(s)的一个最小实现，其阶数为n，但系统Σ (A，B，C)不完全能控和不完全能观测。 ∵ Σ(A，B，C)不完全能控和不完全能观测，那么系统Σ(A，B，C)必可进行结构分解，其能控且能观测部分也是一个实现。显然其维数一定比系统Σ(A，B，C)的维数n低，这表明Σ(A，B，C)不是最小实现，与假设条件相矛盾。故系统Σ(A，B，C)必为完全能控且完全能观测的。

充分性 采用反证法 设Σ(A，B，C)是G(s)的一个实现，但不是最小实现，并能控能观测的，其阶数为n。 此时必存在另一个实现，其阶数为n'< n。 由于Σ和Σ'都是G(s)的一个实现，则对任意的输入u(t)，必具有相同的输出y(t)，即 考虑到u(t)和t的任意性，故

对上式两边微分，推得 … 当t = τ时，则得

上式可改写成 ∵ 已设Σ(A，B，C)为完全能控且能观测 ∴ 上式等号左边矩阵的秩为n，等号右边矩阵的最大的秩为n′，假设n′ < n不成立，故系统Σ(A，B，C)必为最小实现。 [证毕]

根据这个定理，一般而言，构造最小实现一致可按如下步骤进行： （1）对给定的系统传递函数阵G(s)先找出一种实现Σ(A，B，C)； 通常，最方便的方法是选取能控标准形实现或能观测标准形实现。 （2）对所得实现Σ(A，B，C)中，找出其完全能控且完全能观测部分，即为最小实现。

例3-21 试求传递函数阵 的最小实现。 解： ∵ m = 1 r = 2 a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6 B1 = [ 0 0 ] B2 = [ 1 1] B3 = [ 3 1] 因m < r，故采用能观测标准形实现。

∴ 系统是既能控又能观测的，它为最小实现。 如果现采用能控标准形实现

显然，能控标准形实现不是最小实现。需要进行结构分解，找出其状态完全能观测部分。

结 束