材料力学 第十二章 能量方法
第十二章 能量方法 §12–1 变形能的普遍表达式 §12–2 莫尔定理(单位力法) §12–3 截面上的应力及强度条件
能量方法 §12–1 变形能的普遍表达式 一、能量原理： 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即 §12–1 变形能的普遍表达式 一、能量原理： 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。 二、杆件变形能的计算： 1.轴向拉压杆的变形能计算：
能量方法 2.扭转杆的变形能计算： 3.弯曲杆的变形能计算：
能量方法 三、变形能的普遍表达式： 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。 细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。
能量方法 例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作 用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） ①求内力 Q MN MT A P N B j T P R A
能量方法 ②变形能： ③外力功等于应变能
能量方法 例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 P 解：外力功等于应变能 A B C a a f 在应用对称性，得： q
能量方法 §12–2 莫尔定理(单位力法) q(x) 一、定理的证明： A 求任意点A的位移f A 。 fA 图 a 图b A =1 P0 §12–2 莫尔定理(单位力法) q(x) 一、定理的证明： A 求任意点A的位移f A 。 fA 图 a 图b A =1 P0 图c A P =1 q(x) f
能量方法 莫尔定理(单位力法) 二、普遍形式的莫尔定理
能量方法 三、使用莫尔定理的注意事项： ① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ② M0——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。 ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 ④ M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 ⑤莫尔积分必须遍及整个结构。
能量方法 例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 q B A a C P =1 A a C B x 解：①画单位载荷图 ②求内力
能量方法 ③变形 B A a C q B A a C P =1 x
ò 能量方法 a a ④求转角，重建坐标系（如图） q B A C x2 x1 B A C MC0=1 d ) ( + = x EI M ò + = a BC AB x EI M dx
能量方法 例4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。 x P=60N 5 10 20 A 300 B x 500 C =1 P0 解：①画单位载荷图 B A C 300 500 x x1 10 20 5 ②求内力
能量方法 ③变形
能量方法 §12–3 卡氏定理 一、定理证明 1. 先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力，则： 给Pn 以增量 dPn ，则： §12–3 卡氏定理 一、定理证明 1. 先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力，则： dn 给Pn 以增量 dPn ，则： 2.先给物体加力 dPn ，则：
能量方法 = P U ¶ d 再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则： 第二卡氏定理 dn n = P U ¶ d 第二卡氏定理 意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 1847～1884)
能量方法 二、使用卡氏定理的注意事项： ①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 ② Pn 视为变量，结构反力和变形能 dn ①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 ② Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数 ③ n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。 ④ 当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n 方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。
能量方法 三、特殊结构（杆）的卡氏定理：
能量方法 例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 解：求挠度，建坐标系 P EI ①求内力 A ②将内力对PA求偏导 L O x ③变形
能量方法 求转角 A 没有与A向相对应的力（广义力），加之。 ①求内力 P A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0 L x O
能量方法 例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x） B Px x P A C L ①求内力 f x O ②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
能量方法 ③变形（ 注意：Px=0）
能量方法 例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。 解：1.依 求多余反力， P 0.5 L B C ①取静定基如图 A ②求内力 L 解：1.依 求多余反力， P 0.5 L B C ①取静定基如图 A ②求内力 L f x O P C A L 0.5 L B RC ③将内力对RC求偏导
能量方法 ④变形
能量方法 2.求 ①求内力 ②将内力对P求偏导
能量方法 ③变形
能量方法 例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。 P 1 B A P 解：①画单位载荷图 ②求内力 ③变形
本章结束