第四章 機率概論

4.1 導論 在現今社會日常生活中，每天的天氣預報，我們可能常聽到：明天 台北市下雨的機率為30％；或是在農曆年間，大夥以擲骰子慶佳節 時，當你在丟骰子的那一瞬間，或許你心裏已盤算過“我到底勝算有 多少，贏的機率有多大”；甚至在每兩個月對獎一次的統一發票，你 也可以算一算你中獎的機率有多大。由如此多的例子看來，機率事 件在我們生活中的確是無所不在啊！　 定義4.1.1 機率即為衡量某一事件在未來發生的可能性，並將此可能性數量化。

4.1 導論(續) 因為有了事件的不確定性，人們才定義了機率。不確定性一直是人 類最大的敵人，人類對於不確定的未來是存在著相當的恐懼，而統 計學正是人們管理不確定性一個相當有用的科學工具。一般而言， 統計學研究的範圍可分為兩大部份： 1. 敘述統計（descriptive statistics）： 將其所得到的資料，歸納整理之後，進而單單描述並分析它們 的特性。 2. 推論統計（statistical inference）： 以抽樣方法獲得樣本，並根據樣本實際資料的分析來推論或判斷母體的狀態，進而預測未來，做出決策。

4.2 機率學入門 每一門學科都有其堅實的理論基礎及其嚴格的推導過程，進而建構 出完整的學問，機率學當然也不例外。而不管任何學問，其基礎是 最重要的。因此在本小節中，將為讀者介紹一些機率學基礎觀念及 名詞解釋。當我們在陳述機率事件時，或許我們會這麼說“在擲一公 平骰子實驗當中，出現6點的機率為1/6 ”。這裡所稱的“實驗”，並不 是我們直覺所聯想到必須在實驗室所進行的化學實驗或物理實驗。 在機率學中我們對“實驗”有著更嚴謹的定義。 定義4.2.1 實驗（experiment）是一種過程（process），在此過程中可產生各種可能結果（possible outcomes），在實驗前已知所有可能發生的結果，但實驗後可能發生的結果是具有不確定性的。

4.2 機率學入門(續) 【例4.1】 以下三個例子，這樣的過程，我們都可稱之為"實驗"。 1. 隨機從剛出廠的電燈泡群中抽取3顆電燈泡，每一燈泡分類為： 亮（良好）；不亮（損壞），並檢驗其損壞的個數。 2. 投擲一公平的骰子，觀察其面朝上之點數。 3. 紀錄由1號至5號的田徑選手，跑完百米競賽後的名次序。 由以上例子，讀者不難發現它們都有一共通性：知其所有可能發生 的結果，但不知那一種結果會真正發生。也就是可能結果的不確定 性。所以若有其他因素（如人為之干預）， 使得結果產生確定的話， 則此一過程即無法稱為機率學上所謂的實驗。

4.2 機率學入門(續) 定義4.2.2 一機率之實驗所可能產生的結果，稱為此實驗的某一樣本點（sample point）。而所有不同的結果，也就是不同的樣本點，所構成的一集 合稱為此實驗的樣本空間（sample space），一般習慣以大寫英文 Ｓ 表示之。 定義4.2.3 事件（event）即包含了一個或數個樣本點，也就是樣本空間的一子集合。當一事件無法分解時，也就是其只包含一個樣本點，此時我們稱之為　單一事件（simple event）。而相對的，複合事件（compound event）即是可以分解成數個事件。換句話說，複合事件是含有兩個樣本點以上的事件。

4.3 機率測度 4.3.1 機率表示及測度 至此我們清楚了解何謂機率學上所稱的實驗、樣本空間、及事 件。在上一節中，我們也曾經提及一般習慣以大寫英文符號來 表示機率事件。而此事件所可能發生的機率應如何表示呢？ 定義4.3.1 若Ａ為某一機率事件。描述事件所可能發生的機率通常以 P(A) 表示之。 若 P(A)=0：表示此事件不可能發生。 若 P(A)=1：表示此事件必然發生。一般而言此機率介於 0與1之間。 0 ≦ P(A) ≦ 1

4.3 機率測度(續) 而如何求出某一事件所可能發生的機率：P(A) 呢？ 定義4.3.2 計算事件所可能發生的機率，可先算出此事件所包含的每一樣本點，其個別所可能發生的機率，再將其加總即是。

4.3 機率測度(續) 4.3.2 古典法 此方法在使用時，必須符合下列的兩項限制條件： 1. 此實驗的樣本空間必須是有限的。 2. 此實驗的每一樣本點所可能發生的機率是相等的。 換句話說，當某一隨機實驗符合上述兩項限制時，我們始可用 古典法來計算事件所可能發生的機率。 定義4.3.3 古典法：當某一隨機實驗的樣本空間是有限的，且每一樣本點所可能發生的機率是相等的，則一事件Ａ其所可能發生的機率為： P(A)＝ 其中N(S)為樣本空間所包含的樣本點個數，N(A)為事件Ａ本身所包含的樣本點個數。

4.3 機率測度(續) 4.3.3 相對次數法 我們一直不斷重覆此實驗，並紀錄該事件發生的次數，且計算 其佔全部實驗總次數的比例。如此即可求得該事件發生機率的 估計值。由於此方法運用到相對次數的觀念，故稱為相對次數 法。 定義4.3.4 相對次數法：在相同的情況下，一直重覆某實驗N次，而事件Ａ出現的次數為N(A)，則 為事件A發生機率P(A)的一個很好的估計值。

4.3 機率測度(續) 4.3.4 主觀法 當有時某些實驗無法如客觀方法所述，重覆的執行。這時可能 只經由個人主觀的推斷，來估計事件的機率。 定義4.3.5 主觀法：單由個人的經驗，觀點，相當主觀的推算事件發生的機率。

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義 如圖 4-1之陰影部份，就是Ａ，Ｂ兩事件的聯集，通常我們將之記為 Ａ∪Ｂ 。 定義4.4.1 Ａ，Ｂ兩事件的“聯集”（union），即是含有Ａ事件與Ｂ事件所有樣本點的新事件。也就是包含Ａ事件發生或Ｂ事件發生或Ａ，Ｂ兩事件同時發生的新事件。

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 定義4.4.2 Ａ，Ｂ兩事件的“交集”（intersection），即是含有Ａ事件與Ｂ事 如圖 4-2之陰影部份，就是Ａ，Ｂ兩事件的交集，通常我們將之記為 Ａ∩Ｂ，也有人直接寫成ＡＢ。 定義4.4.2 Ａ，Ｂ兩事件的“交集”（intersection），即是含有Ａ事件與Ｂ事 件共有的樣本點的新事件。也就是包含Ａ，Ｂ兩事件同時發生的 新事件。

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 定義4.4.3 如圖 4-3之陰影部份，就是Ａ事件的餘集，通常我們將之記為Ａc， 或者有人記為 。 定義4.4.3 一事件Ａ的“餘集”（complement），即包含Ａ事件以外的所有樣本點。即是包含Ａ事件不發生的新事件。

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 【例4.5】 假設某一機率實驗其樣本空間包括7個樣本點：Ｓ＝｛e１，e２，e３， e４，e５，e６，e７｝ 定義兩事件Ａ，Ｂ為：Ａ＝｛e２，e４，e７｝ Ｂ＝｛e１，e２，e５｝ (a) 以作圖方式將Ａ，Ｂ兩事件表現出來。 (b) 列出以下新事件所包含的樣本點1. A∩B 2. Bc 3. A∩Bc 4. A∪B。

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 解： (a)

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) (b) Ｓ：樣本空間，即最外層長方形，其包含e１，e２，e３，e４， A∩B＝{e２} Bc＝{e３，e４，e６，e７} A∩Bc ＝{e４，e７} A∪B ＝{e１，e２，e４，e５，e７}

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 定義4.4.4 公理化的機率定義 公理 1. 對任一事件Ａ， 0 ≦ P(A) ≦ 1。 公理 2. Ｓ為樣本空間， 則　 P(S)＝1。 公理 3. 對於兩兩彼此互斥的事件A1，A2，A3，A4，A5、、、An 則 Ｐ(A1∪A2∪A3∪A4∪A5．．．．∪An)＝

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 【例4.8】 假設某一機率實驗，其樣本空間包含了5個樣本點｛e１，e２，e３，e４，e５｝。 (a) 如果P(e１)＝P(e２)＝0.15，)P(e３)＝0.4 和P(e４)＝2P(e５)試求 P(e４)及P(e５)。 (b) 如果P(e１)＝3P(e２)＝0.3，且其餘樣本點機率皆相同，試求其餘 樣本點之機率。

4.4 事件關係形式與 公理化的機率定義(續) 解： 而P(S)＝1＝P(e１)＋P(e２)＋P(e３)＋P(e４)＋P(e５) (a) 假設P(e５)＝a，則由題目可知P(e４)＝2a 　 而P(S)＝1＝P(e１)＋P(e２)＋P(e３)＋P(e４)＋P(e５) 　 ＝0.15＋0.15＋0.4＋2a＋a 　 因此，3a＝1－0.15－0.15－0.4＝0.3 故a＝0.1 則 P(e４)＝0.2 P(e５)＝0.1 (b) 假設P(e３)＝P(e４)＝P(e５)＝b，則由題目可知P(e２)＝0.1 而P(S)＝1＝P(e１)＋P(e２)＋P(e３)＋P(e４)＋P(e５) ＝0.3＋0.1＋b＋b＋b 因此，3b＝1－0.3－0.1＝0.6 故b＝0.2 則P(e３)＝P(e４)＝P(e５)＝0.2

4.5 條件機率與獨立事件 4.5.1 聯合機率及邊際機率 在正式介紹條件機率與獨立事件之前，先行介紹在機率學中所 謂的聯合機率及邊際機率。通常對一個相同的樣本空間，我們 可以有不同的分割法，而形成不同類別事件所分割成的樣本空 間。如我們可將一班的學生(樣本空間S)，分割成男生(A)、女生 (Ac)兩大塊。也可以依某次統計學的成績，將班上分成統計學及 格的同學(B)，及不及格的同學(B c)。此時原樣本空間也被分割 成A∩B、A∩B c、Ac∩B、Ac∩B c四個互斥事件。P(S)＝1＝ P(A∩B)＋P(A∩B c)＋P(Ac∩B)＋P(Ac∩B c)。若從此班任意抽取 一位同學，我們可得到如下所示的一聯合機率表：

4.5 條件機率與獨立事件(續) 分數 性別 及格(B) 不及格(B c) 合計 男生(A) P(A∩B) P(A∩B c) P(A)＝P(A∩B) ＋P(A∩B c) 女生(Ac) P(Ac∩B) P(Ac∩B c) P(Ac)＝P(Ac∩B)＋P(Ac∩B c) P(B)＝P(A∩B)＋P(Ac∩B) P(B c)＝P(A∩B c)＋P(Ac∩B c) 100％

4.5 條件機率與獨立事件(續) 4.5.2 條件機率 通常一事件可能發生的機率，是與其他相關事件是否發生而息 息相關的，在此之前，我們只是將相關事件的影響性忽略罷了。 所謂的條件機率，就是將相關事件的影響性考慮進來，再重新 考慮該事件機率。 定義4.5.1 給定一事件Ｂ已經發生，則事件Ａ的條件機率（conditional probability）記為P(A|B)，並定義為 P(A|B) ，假若 P(B)＞0

4.5 條件機率與獨立事件(續) 【例4.9】 解： 假設有兩事件A，Ｂ。且P(A)＝0.5 ，P(B)＝0.3，P(A∩B)＝0.1試求 (a) P(A|B) (b) P(B|A) 解： 依照條件機率之定義 (a) P(A|B)＝ (b) P(B|A)＝

4.5 條件機率與獨立事件(續) 【例4.10】 台灣某一大學，其企管系大二班，男生有30人，女生20人。一天舉 行統計學期中考，60分為及格。及格和不及格人數如表中所述，括 號中為其佔全班人數比例，今從此班任抽取一人：(單位:人) (a)若已知被抽取此人為一男同學，試求此男同學統計學成績不及格機率。 (b)若已知被抽取此人為一女同學，試求此女同學統計學成績及格的機率。

4.5 條件機率與獨立事件(續) 解： (a) 定義事件： A：抽取此人統計學成績不及格 Ｂ：抽取此人為男同學 依照條件機率之定義，由表知抽取此人為一男同學，此男同 學統計學成績不及格的機率為 P(A|B)＝

4.5 條件機率與獨立事件(續) (b) 定義事件： Ｃ：抽取此人統計學成績及格 Ｄ：抽取此人為女同學 　 Ｄ：抽取此人為女同學 依照條件機率之定義，由表知抽取此人為一女同學，此女同學統計學成績及格的機率為 P(C|D)＝

4.5 條件機率與獨立事件(續) 4.5.3 獨立事件 由上一單元我們已經了解條件機率P(A|B)：在Ｂ事件發生的前 提下，討論A事件發生的機率，與非條件機率P(A)：不考慮其他 相關事件，單純討論A事件發生的機率。兩種定義有其本質上的 不同。而或許在某些情況我們會得到　P(A|B)＝P(A)　換句話說， 就是Ｂ事件發生與否，都不影響A事件發生的機率。此時，即稱 兩事件為獨立（independent）。

4.5 條件機率與獨立事件(續) 定義4.5.2 任意Ａ，Ｂ兩事件，若有下列三等式，其中任何一式成立時： P(A|B)＝P(A) P(B|A)＝P(B) P(A∩B)＝P(A)P(B) 則稱A與B兩事件獨立（independent），反之則稱A與B兩事件相依（ dependent），亦即兩事件相依係指一事件的發生會影響其他事件發 生的機率。

4.5 條件機率與獨立事件(續) 【例4.11】 在例 4.10中，試問兩事件A：抽取此人統計學成績不及格 Ｂ：抽取 解： 由例 4.10可知 P(A|B)＝ ，而P(A)＝0.6。因P(A|B)≠P(A)，所以此 兩事件並不獨立，而是相依。

4.6 機率法則 求事件機率的過程中，直接求該事件的機率是個不錯且正統無誤的 方法。不過藉由其他已知機率的相關事件，根據其相關性，推斷欲 求事件的機率，有時比起直接求可顯得容易得多，這也是本小節所 欲陳述的主題：運用機率法則，進而求得事件機率。本小節介紹三 大法則：加法法則（additive rule），乘法法則（multiplicative rule），餘集法則（complementary rule）。此三法則的由來，都是 由前幾節的定義稍加變化，進而推導而來，嚴格而言，並無新的觀 念存在，只要稍加說明，讀者必然可立即應用。

4.6 機率法則(續) 定義4.6.1 加法法則（additive rule） 任意Ａ，Ｂ兩事件，則： P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，此即為加法法則 若兩事件互斥，則此法則改寫為： P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 此法則由來，可藉由圖4-1來說明。P(A∪B)即為陰影部份機率，也 就是此部份所有樣本點機率之總合。而P(A)＋P(B)包含了A事件，B 事件內所有樣本點機率之總合，和P(A∪B)比較起來，明顯的，A∩B 事件中的樣本點機率被重複計算了一次，必須減去P(A∩B)才能使得 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)成立。若兩事件互斥，即P(A∩B)＝0， 無被重複計算之虞，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。

4.6 機率法則(續) 【例4.14】 台北市一中學日前舉行期中考，已知班上同學有50％數學不及格， 有30％英文不及格，而有20％數學與英文均不及格。今從此班級中 隨機抽取一人，試問此同學在這兩科中，至少有一科不及格的機率 為何？

4.6 機率法則(續) 解： 若令事件 A：抽取此同學，數學不及格的事件 B：抽取此同學，英文不及格的事件 則依題目所示：　P(A)＝50％，P(B)＝30％ 抽取此同學，數學與英文均不及格事件的機率為P(A∩B)＝20％， 而至少有一科不及格的事件，即為A∪B。則其機率為運用事件加 法法則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝50％＋30％－20％＝60％ 也就是說，班上有60％的同學，數學或英文不及格(至少有一科不 及格)。

4.6 機率法則(續) 【例4.15】 (a) 假設有A，B兩事件。P(A)＝0.3，P(B)＝0.8，P(A∩B)＝0.2 (b) 假設有Ｃ，Ｄ兩事件。P(C)＝0.2，P(D)＝0.3，且C， D兩事件 互斥，試求P(C∪D)？

4.6 機率法則(續) 解： (a) 運用加法法則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.3＋0.8－0.2＝0.9 (b) 因兩事件互斥，P(C∩D)＝0，運用加法法則 P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.2＋0.3＝0.5

4.6 機率法則(續) 定義4.6.2 乘法法則（multiplicative rule） 任意Ａ，Ｂ兩事件，則兩事件同時發生的機率為： 此乘法法則的由來，讀者可看出就是由條件機率的定義而來。而若 兩事件獨立，也就是當P(A|B)＝P(A∩B) / P(B) ＝P(A)成立，則 P(A∩B)＝P(B)P(A)。 定義4.6.2 乘法法則（multiplicative rule） 任意Ａ，Ｂ兩事件，則兩事件同時發生的機率為： P(A∩B)＝P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)，此即為乘法法則。 若兩事件獨立，則此乘法法則改寫為： P(A∩B)＝P(B)P(A)

4.6 機率法則(續) 定義4.6.3 餘集法則（complementary rule） 對任一事件A，則： 由於事件A及事件Ac正好將整個樣本空間一分為二， A與Ac為互斥事 件且A∪Ac＝S，運用互斥事件加法法則P(A∪Ac)＝P(A)＋P(Ac)＝P(S) ＝1，所以 P(A)＝1 － P(Ac)或P(Ac)＝1 － P(A)。此餘集法則非常重 要且相當好用，在某些情況下，可省去許多多餘的運算，加快解題 速度。 定義4.6.3 餘集法則（complementary rule） 對任一事件A，則： P(A)＝1 － P(Ac)或P(Ac)＝1 － P(A)此即為餘集法則。

4.6 機率法則(續) 【例4.17】 有一神射手，其槍法十分準確。對於在五十公尺遠的目標，有90％ 的機率可射擊命中。今對於此目標連續射發十次，並假設十次擊發 彼此皆為獨立事件。試問此神射手至少失誤一發的機率。

4.6 機率法則(續) 解： 定義A：至少失誤一發的事件。若要直接算出P(A)，必須考慮很 多種情況，例如，正好失誤一發的事件，正好失誤二發的事 件，…，正好失誤十發的事件。這些情形都包含在A事件內，而 要一一算出個別事件機率，是耗力且費時的。而A的餘事件Ac， 也就是十發完全命中無失誤的事件，很明顯的，P(Ac)容易計 算的多。 P(Ac)＝(0.9)10，運用餘集法則： P(A)＝1－P(Ac)＝1－(0.9)10＝0.6513　　　

4.7 貝氏定理 全機率定理(law of total probability)。它在貝氏定理的運用過程中，有 其不可或缺的重要性。 假設 S=A1∪A2∪……∪Ak ， P(Ai)>0，i=1,2,……k ，且對 i≠k而言，Ai∩Ak＝ψ。則對任意事件B： P(B)＝ 而上述事件{A1，A2，…，Ak}集合，即可稱為是樣本空間S之一分割(partition)。定理4.1之由來可由下圖4-6來說明：

4.7 貝氏定理(續) 如圖所示{A1，A2，A3，A4，A5，A6}為樣本空間S之一分割，而橢圓 部分為一事件B。由圖可看出，事件B乃是互斥事件 (A1∩B)， (A2∩B)，……，(A6∩B)的聯集，即圖中陰影部分。 B＝(A1∩B)∪(A2∩B)∪……∪(A6∩B)且根據互斥事件之加法法則及 乘法法則，得知P(B)＝P(A1∩B)＋P(A2∩B)＋…………＋P(A6∩B) ＝ P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋……＋P(A6)P(B|A6)=

4.7 貝氏定理(續) 定理4.2 貝氏定理(Bayes’ Theorem) 假設事件{A1，A2，…，Ak}為樣本空間S之一分割，P(Ai)>0，i=1,2,……k，則對其他任意事件B而言：

4.7 貝氏定理(續) 【例4.19】 台積電工廠有4部機器生產同一產品，令其為機器A1，A2，A3，A4 。 各機器出產產品數量各佔總產量之比為 0.4 ,0.3 ,0.2 ,0.1。再令產品為 不良品的事件為B。各部機器產品的不良率分別為0.02,0.05,0.01,0.02， 試問若隨機抽取一產品，其為不良品的機率為何？

4.7 貝氏定理(續) 解: 依題意，所欲求之不良品的機率即為P(B)，且依題目所示可知若 隨機抽取一產品，則P(A1)＝0.4， P(A2)＝0.3， P(A3)＝0.2， P(A4)＝0.1， P(B|A1)＝0.02， P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.01， P(B|A4)＝0.02 根據全機率法則： P(B)＝P(B|Ai)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋ P(A4)P(B|A4) ＝0.4 0.02＋0.3 0.05＋0.2 0.01＋0.1 0.02 ＝0.027