现代控制理论

第3章 控制系统的状态空间分析 3.1 线性系统能控性和能观测性的概述 3.2 线性连续系统的能控性 3.3 线性连续系统的能观测性 第3章 控制系统的状态空间分析 3.1 线性系统能控性和能观测性的概述 3.2 线性连续系统的能控性 3.3 线性连续系统的能观测性 3.4 线性离散系统的能控性和能观测性 3.5 对偶性原理 3.6 系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系 3.7 系统的能控标准形和能观测标准形 3.8 实现问题　　　　　　　　

3.1　线性系统能控性和能观测性的概述 系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个很重要的基础性概念，是由卡尔曼（Kalman）在六十年代初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态x(t)变化引起的输出y(t)的变化。 能控性，指的是控制作用对被控系统状态进行控制的可能性； 能观测性，则反映由系统输出的量测值确定系统状态的可能性。 对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了控制系统构成中的两个基本问题。

3.2　线性连续系统的能控性 3.2.1 状态能控性 定义：若系统(A(t)，B(t))对初始时刻t0，存在另一时刻tf（tf > t0），对t0时刻的初始状态x(t0) = x0，可以找到一个允许控制u(t)，能在有限时间tf − t0内把系统从初态x(t0)转移至任意指定的终态x(tf )，那么就称系统在t0时刻的状态x(t0)是能控的。若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么就称系统在（t0，tf）时间间隔内是状态完全能控的，简称状态能控的或能控系统。 若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此系统称为不能控系统。

说明： （1）根据定义，如果系统在（t0，t1）时间间隔内完全能控，那么对于t2 > t1，该系统在（t0，t2）时间间隔内也一定完全能控。 （2）如果在系统的状态方程右边迭加一项不依赖于控制u(t)的扰动f(t)，那么，只要f(t)是绝对可积函数，就不会影响系统的能控性。

3.2.2 线性定常系统的状态能控性 定理3-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵 Qc = [ B AB A2B … An 1B ] 的秩为n，即 rankQc = n 证明 已知状态方程的解为 在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf ) = 0。则有

利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理 eA = 0() I + 1() A + … + n1() A n1 因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令

若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出 0，1，…，n 1来。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即 rank[ B AB A2B … An 1B ] = n

例3-1 设系统的状态方程为 判断其状态能控性。 解：系统的能控性矩阵为 Qc = [ B AB A2B ] = 2 1 1 1 1  1 3 2 2 2 2  2 5 4 4 4 4  4 rankQc= 2  n 所以系统状态不完全能控。

定理3-2： 设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件，是系统经线性变换后的对角线矩阵 中, 不包含元素全为零的行。 首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。 由前章可知，系统(A，B)和( ， )之间做线性非奇异变换时有：

P是非奇异阵 ∴ 其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B)状态完全能控的充要条件。

将对角标准形的每一行写成如下展开形式 显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此， ( i = 1，2，…，n)能控的充要条件是下列元素 不同时为零。 例3-3 考察下列系统的状态能控性。 (1)

(2) (3)

定理3-3 若线性连续系统(A，B)有相重的特征值时，即A为约当形时，则系统能控的充要条件是： 上述结论的证明与具有两两相异特征值的证明类同，故省略。

例3-4 考察下列各系统的状态能控性。 （1） （2） 最后指出一点，当系统矩阵A为对角标准形，但在含有相同的对角元素情况下，定理3-2不成立；或系统矩阵A为约当标准形，但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时，定理3-3不成立。

则 中对应于相同特征值各约当块的最后一行行线性无关。 定理3-3(B) 若线性连续系统(A，B)有相重的特征值时，即A为约当形时，则系统能控的充要条件是： （1）输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零； （2）输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。 上述结论的证明与具有两两相异特征值的证明类同，故省略。 则 中对应于相同特征值各约当块的最后一行行线性无关。

例 考察下列系统的状态能控性。 注意：行线性无关

rankQ =rank[ CB CAB … CAn -1B D] = m 3.2.3 线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要研究系统的输出是否能控的问题。 定义 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔[t0，tf]内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf )，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的，或简称输出是能控的。 定理3-4 线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即 rankQ =rank[ CB CAB … CAn -1B D] = m

∫ + 例3-6 设某一系统，其方块图如下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。 x1(t) u(t) y(t) x2(t) 例3-6 设某一系统，其方块图如下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。 ∫ + u(t) x1(t) x2(t) y(t) 解：描述系统的状态空间表达式为

1 1 0 0 rankQc = rank[ B AB] = ∴ 状态是不完全能控的。 rankc = rank[ CB CAB D ] =[ 2 0 0 ] ∴ 输出是完全能控的。 系统的状态能控性与输出能控性是不等价的，也就是两者之间没有必然的联系。

3.3 线性系统的能观测性 3.3.1 状态能观测性 定义 对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf >t0，能够根据输出量y(t)在[t0，tf]内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。 值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需考虑系统的自由运动即可。 3.3.2 线性定常连续系统的能观测性 定理3-5 线性定常系统(A，C)状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵

Qo = C CA CA2 … CAn1 满秩，即 rankQo = n 证明 不失一般性，假设t0 = 0， 则齐次状态方程的解为 x(t) = eAt x(0) y(t) = CeAt x(0)

因为一般m < n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，…，y(tf )，此时把方程个数扩展到n个，即

上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的量测值y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵Qo满秩。

例3-7 考察系统 的能观测性。 1 0 1 0 Qo = = C CA 2 1 2 1 rankQo = 2 = n 所以系统是能观测的。

定理3-6 设线性定常连续系统(A，C)具有互不相同的特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的对角标准形 中，Ĉ不包含全为零的列。

定理3-7 设线性定常连续系统(A，C)具有重特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的约当标准形 中，和每个约当块Ji（i =1，2，…，k）首行相对应的Ĉ的所有那些列，其元素不全为零。

例3-8 分析下列系统的状态能观测性 （1） （2）

（3） （4）

中对应于相同特征值各约当块的第一列列线性无关 定理3-7(B) 设线性定常连续系统(A，C)具有重特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的约当标准形 中，和每个约当块Ji（i =1，2，…，k）首行相对应的Ĉ的所有那些列，其元素不全为零。 Ĉ 中对应于相同特征值各约当块的第一列列线性无关

例 考察下列系统的状态能控性。 注意：列线性无关

3.4 线性离散系统的能控性和能观测性 3.4.1 线性离散系统的能控性 设线性定常离散系统的状态方程: 3.4　线性离散系统的能控性和能观测性 3.4.1　线性离散系统的能控性 设线性定常离散系统的状态方程: x(k+1) = G x(k) + H u(k) 定义:对于系统 (G，H)，如果在有限采样间隔内kT  t  nT，存在阶梯控制信号序列u(k),u(k+1),…，u(n1)，使得系统从第k个采样时刻的状态x(k)开始，能在第n个采样时刻到达零状态，即x(n) = 0，则称该系统在第k个采样时刻上是能控的。若系统在第k个采样时刻上的所有状态都是能控的，那么该系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。

定理3-8 线性定常离散系统(G，H)，定义能控性矩阵为 Uc = [ H GH G2H … G n 1H ] 若系统矩阵G非奇异，则状态完全能控的充要条件是 rankUc = n 证明 已知状态方程的解为 根据假设条件，当k  n时，x(k) = 0，即

G n 1H u(0)+…+ G H u(n2)+ H u(n1) = G nx(0) 当G是非奇异矩阵时，对于任意给定的非零初态x(0)，Gnx(0)必为某一非零的n维列矢量。因此，方程有解的充要条件是n × n系数矩阵，即系统的能控性矩阵Uc 满秩。

例3-9 线性离散系统的状态方程为 试判断系统是否具有能控性。 解： Uc = [ H GH G2H ] = 1 1  1 1  1 2

例3-10 线性离散系统的状态方程为 试判断系统是否具有能控性。 解： Uc = [ H GH G2H ] = 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 0 0 4 0 1 4 2

3.4.2 线性定常离散系统的能观测性 定义如果根据第i步以后的观测值y(i)，y(i+1)，…，y(N)，能唯一地确定出第i步的状态x(i)，则称系统在第i步是能观测的。若系统在任意采样时刻上都是能观测的，则称系统为状态完全能观测的，或简称系统能观测。 定理3-9 线性定常离散系统 (G，C)状态完全能观测的充要条件是nm × n的能观测性矩阵Uo满秩，即

证明 由于所研究的系统是线性定常系统，所以可假设观测从第0步开始，并认为输入u(k)=0，此时系统为 x(k+1) = G x(k) y(k) = C x(k) 利用递推法，可得 y(0) = Cx(0) y(1) = Cx(1) = CGx(0) … y(n1) = CG n1x(0) 写成矩阵形式

由于y(t)是m维矢量，因此上述n个联立方程实质上代表了n·m方程。要想从这n·m个方程中求得唯一的一组解x(0)，必须从这n·m个方程中找出n个线性无关的方程，即x(0)有唯一解的充要条件是能观测性矩阵Uo满秩。

例3-11 试确定由下列状态表达式 所描述的系统是否能观测。 0 0 1 1 0 0 解： 系统的观测性矩阵为 Uo = [ C CG CG2 ]T = 3 0 2 1 0 1 9 0 1 2 0 3

3.4.3 离散化系统的能控性和能观测性 这里所说离散化系统的能控性和能观测性，是指一个线性连续系统在其离散化后是否能保持其完全能控性和完全能观测性的问题。这是在构成采样数据系统或计算机控制系统时所要考虑的一个重要问题。 例3-12 设线性定常系统的状态空间表达式为 试分析其离散化后系统的能控性和能观测性。

解：（1）分析(A，B，C)的能控性和能观测性 ∴ 连续系统是状态完全能控且完全能观测的。 （2）分析(A，B，C)的离散化系统 C =[ 0 1 ]

（3）离散化系统的能控性和能观测性 detUc = 2sinT·[cosT1] detUo = sinT 显然，上述矩阵是否满秩，唯一地取决于采样周期T的数值。 若取T = k ( k = 1，2，…) rankUc = 1 rankUo = 1 此时离散化系统是不完全能控且不完全能观测的。 若取T  k ( k = 1，2，…） rankUc = 2 rankUo = 2 这时，上述离散化系统是完全能控且能观测的。

定理3-10 线性定常连续系统(A，B，C)，是状态完全能控（能观测）的，经离散化后的系统，其状态完全能控（能观测）的充分条件是：对满足 Re[ i  j ] = 0 的一切特征值，使采样周期T的值满足关系式 Im[ i  j ]  2k/T （k = 1，2，…） 例3-12 系统特征值  I  A  =  1 1  = 2+1  =  j1 2  2k/T T k

结 束