一元一次方程式的意義 一元一次方程式的解 等量公理與移項法則 自我評量

我們在日常生活中所遇到的數量問題，通常可以用數學式子來表示。 例如：亞軒和 3 位同學去看電影，買了 4 張優待票和 240 元的點心，結果 4 人共花了 800 元。

如果我們要算出 1 張優待票的價錢時，可以假設 1 張優待票 x 元，然後依據題意畫出下面的線段圖： 點心 240 元 共 800 元 圖 3-2

1 張優待票 x 元，則 4 張優待票共 4x 元；加上買點心花了 240 元，所以 4 人總共花了 （4x＋240）元。再由題意可知 4 人總共花了 800 元，所以 4x＋240 和 800 是相等的，因此 4x＋240＝800。 在上面的式子 4x＋240＝800 中，我們不知道 x 所代表的數是多少，這時通常稱 x 為未知數；像這樣只含一種未知數 （一元），且未知數的最高次方是一次的等式，稱為一元一次方程式。

(1) 病房費每天 3500 元，若燕姿住院 x 天，需付 病房費多少元？（以含 x 的式子表示） 搭配習作 P52 基礎題(1)、(2) 1 一元一次方程式的列式 燕姿從高處摔下導致肱骨斷裂住院開刀，住單人病房每天要支付病房費3500 元，住院期間燕姿還需要付健保醫療部分負擔費用 1600 元，出院時結算共需繳納 12100 元。 (1) 病房費每天 3500 元，若燕姿住院 x 天，需付 病房費多少元？（以含 x 的式子表示） (2) 依據題意「住院 x 天的病房費及醫療部分負 擔費用 1600 元一共是12100 元」列出一元一 次方程式。

(1) 病房費每天 3500 元，燕姿住院 x 天，需付病房費 3500x 元。 部分負擔費用 1600 元， 一共是 3500x＋1600 元， 所以列出一元一次方程式為 3500x＋1600＝12100。 解

已知老師的年齡為 41 歲，且老師的年齡是 黃易年齡的 3 倍少 1 歲。 (1) 依據題意 「老師的年齡是黃易年齡的 3 倍 少 1 歲」，若黃易的年齡為 x 歲，則老師 的年齡為_____歲。（以含 x 的式子表示） (2) 依據題意「老師的年齡為 41 歲」列出一元 一次方程式為_____________________。 3x－1 3x－1＝41

在前一節提到，如何將一些文字敘述改寫成算式，現在我們再將這些文字敘述改一改，就可以根據下面新的敘述列出一元一次方程式了： 可以列出的方程式 (1) x 減8是10 x－8＝10 (2) x 的5倍等於35 5x＝35 (3) x 的6倍加7是37 6x＋7＝37 (4) 比x大5的數是3 x＋5＝3 (5) 比x的4倍小3的數是21 4x－3＝21

當我們依據題意列出一元一次方程式後，接著就是要找出這個方程式中未知數所代表的數。如果一個數代入方程式後能使等號兩邊的值相等，則我們稱這個數為方程式的解或方程式的根。 「將一個數代入方程式」就是「以該數取代方程式中的未知數」的意思。

例如在例題1中： 住院1天表示x＝1， 費用一共是3500×1＋1600＝5100(元) 住院2天表示x＝2， 費用一共是3500×2＋1600＝8600 (元) 住院3天表示x＝3， 費用一共是3500×3＋1600＝12100(元)

所以燕姿住院 3 天。 也就是說，x＝3 就是一元一次方程式 3500x＋1600＝12100 的解；又如一元一次方程式 x＋5＝13 中，用 8 代替未知數 x 時， 等號左邊 成為 8＋5 8＋5 的結果是 等號右邊 所以 x＝8 是方程式 x＋5＝13 的解。 x＋5 13

5、12、15、18 四數中，何者為一元一次方程式4x＋80＝8x＋20 的解？ 搭配習作 P52 基礎題 3 2 解的檢驗 5、12、15、18 四數中，何者為一元一次方程式4x＋80＝8x＋20 的解？ 將各數分別代入方程式 4x＋80＝8x＋20，檢驗等號是否成立： 解

解 5 左式：4x＋80 右式：8x＋20 是否為解 12 4× 5＋80＝100 8× 5＋20＝60 否 15 4×12＋80＝128 8×12＋20＝116 18 4×15＋80＝140 8×15＋20＝140 是 x 4×18＋80＝152 8×18＋20＝164 所以 x＝15 是一元一次方程式 4x＋80＝8x＋20 的解。

將x 分別以 1、2、3、4、5、6 代入方程式3x＋2＝20 逐一檢驗，請問何者為該方程式的解？

解一元一次方程式時，如果每次都要逐一代入檢驗，通常不易找出方程式的解。例如當方程式的解為分數時，我們用整數的值代入，就無法求出此方程式的解。因此，我們將介紹等量公理與移項法則來求一元一次方程式的解。

用什麼方法可以很快求出 是多少克？

想像遠比知識重要，因為知識是有限的，而想像力卻可以遨遊世界。 —愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）

要有效的求出一元一次方程式的解，我們必須對方程式作運算，因此接下來我們要先學習一些運算規則。

世嘉與鳳儀各有一包糖果，這兩包糖果的個數相同，如果將兩包糖果同時加入或取出相同數量的糖果，那麼兩包糖果的個數還是一樣多。

如果世嘉與鳳儀的糖果數同時變成原來的某個倍數（例如 3 倍），那麼世嘉與鳳儀的糖果數還是一樣多。

如果把世嘉與鳳儀的糖果各自分成幾等分（例如 4 等分），那麼世嘉與鳳儀的每份糖果數還是一樣多。

如同上面的情境， 在等號左右同時加、減、乘、除一數( 除數不為0 )，等號仍然成立。這個概念我們稱為等量公理。

雖然我們所舉的情境都是正數，但實際上，不論是正數或負數，等量公理都是成立的。 我們可以將等量公理寫成： a、b、c 為任意給定的三數，若 a＝b，則 (1) a＋c＝b＋c (2) a－c＝b－c (3) a×c＝b×c (4) a÷c＝b÷c ( 此時 c 不為 0 )

反過來說， 當(1) a＋c＝b＋c 或 (2) a－c＝b－c 或(3) a×c＝b×c (此時 c 不為 0) 或 (4) a÷c＝b÷c 則可推得 a＝b 的結論。 例如： 由(1)a＋4＝b＋4 或(2)a－4＝b－4 或 (3)4a＝4b 或(4) 都可以推得 a＝b。

接下來，我們就利用等量公理來求方程式的解。求出解之後，一定要將解代入原方程式驗算，以確定答案是正確的，這是一個很重要的步驟。

(1)為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x＋38」消去 38。 解 3 以等量公理解方程式 搭配習作 P52 基礎題 4 解下列各一元一次方程式： (1) x＋38＝－27 (1)為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x＋38」消去 38。 解 ＜驗算＞ 把 x＝－65 代入原方程式： 左式＝ x＋38 ＝(－65)＋38 ＝－27 ＝右式 所以 x＝－65 是原方程式的解 (根)。 x＋38＝－27 等號兩邊 同減 38 x＋38－38＝－27－38 x＝－65

(2)為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x－19」加上 19。 解 3 以等量公理解方程式 搭配習作 P52 基礎題 4 解下列各一元一次方程式： (2) x－19＝25 (2)為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x－19」加上 19。 解 ＜驗算＞ 把 x＝44 代入原方程式： 左式＝ x－19 ＝44－19＝25 ＝右式 所以 x＝44 是原方程式的解（根）。 x－19＝25 等號兩邊 同加 19 x－19＋19＝25＋19 x＝44

在例題3第1題的解題過程中，如果我們省略寫出應用等量公理的步驟（等號兩邊同減38），那麼看起來就相當於我們把原先等號左邊的「＋38」，移到等號的右邊變成「－38」。像這樣的運算方式，我們稱為移項法則。 (1) x＋38＝－27 x＋38－38＝－27－38 x＝－27－38 x＝－65 看起來相當於把等號左邊的「＋38」移到等號的右邊變成「－38」。 等號兩邊同減38

同樣地，在例題 3 第 2 題中，省略應用等量公理的步驟後，我們可以看到等號左邊的「－19」，移到等號右邊變成「＋19」。 (2) x－19＝25 x－19＋19＝25＋19 x＝25＋19 x＝44 等號兩邊同加 19 看起來相當於把等號左邊的「 －19」移到等號的右邊變成「 ＋19」

(1)為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「－3x」除以 －3。 解 搭配習作 P52 基礎題 4 4 以等量公理解方程式 解下列各一元一次方程式： (1) －3x＝63 (2) x ÷ 7＝14 (1)為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「－3x」除以 －3。 解 －3x＝63 ＜驗算＞ 把 x＝－21 代入原方程式： 左式＝－3x ＝(－3)×(－21) ＝ 63 ＝右式 所以 x＝－21 是原方程式的解（根）。 等號兩邊 同除以－3 ＝ x＝－21 －3

(2)為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x ÷ 7＝ 」乘以 7。 解 搭配習作 P52 基礎題 4 4 以等量公理解方程式 解下列各一元一次方程式： (2) x ÷ 7＝14 (2)為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x ÷ 7＝ 」乘以 7。 解 x ÷ 7＝14 ＝14 ＜驗算＞ 把 x＝98 代入原方程式： 左式＝x ÷ 7＝98 ÷ 7 ＝14 ＝右式 所以 x＝98 是原方程式的解（根）。 等號兩邊 同乘以7 × 7＝14 × 7 x＝98

在例題 4 中，也可以看到移項法則的其他運算方式。 看起來相當於把等號左邊的「 乘以－ 3」 移到等號的右邊變成「 除以－ 3」。 等號兩邊同減－3 (1) －3x＝63 ＝ x＝ x＝－21 －3

看起來相當於把等號左邊的「 除以 7」 移到等號的右邊變成 「 乘以 7」。 等號兩邊同乘以 7 (2) x ÷ 7＝14 ＝14 × 7＝14 × 7 x＝14 × 7 x＝98 7

解下列各一元一次方程式： (1) x＋8＝－9 (2) y－6＝7 (3) 7x＝－105 (4) 3x ＝11 (5) x ÷ 6 ＝－18 (6) － t ＝6 x＝－17 y＝13 x＝－15 x＝ x＝－108 t＝－24

接下來的例題中，我們將等量公理與移項法則的解題過程並列，希望同學們能仔細觀察這兩種解法中的對應關係。

5 等量公理與移項法則 解一元一次方程式 3x－20＝30。 解 等量公理的解題過程 3x－20＝30 3x－20＋20＝30＋20 搭配習作 P52 基礎題 4 5 等量公理與移項法則 解一元一次方程式 3x－20＝30。 解 等量公理的解題過程 3x－20＝30 3x－20＋20＝30＋20 3x＝50 ＝ x＝ 等號兩邊同加20 整理 3 3 等號兩邊同除以3 3 整理

解 移項法則的解題過程 3x－20＝30 3x＝30＋20 3x＝50 x＝ 3 ＜驗算＞把 x＝ 代入原方程式： 左式＝3x－20 ＝3× －20 ＝50－20＝30＝右式 所以 x＝ 是原方程式的解（根）。 移項法則的解題過程 3x－20＝30 3x＝30＋20 3x＝50 x＝ 3

解下列各一元一次方程式： (1) 2x＋8＝14 (2) －6＋4y＝7 (3) x＋6＝21 (4) 4－5t＝－6 x＝3 y＝ x＝25 t＝2

當我們解一元一次方程式時，最終的目的是要求出未知數的值，得到形如x＝3 的式子，所以若方程式的等號兩邊都含有未知數 x ，則我們應當設法使等號一邊的每項都含未知數 x，而另一邊不含未知數 x。 我們說過，以文字符號代表數的時候，可以將它視為數來做運算，並與數有相同的運算規則。因此，在方程式的等號兩邊加、減相同的未知數，或是對未知數進行移項，並不影響所求出方程式的解。

6 等量公理與移項法則 解一元一次方程式 3x＋7＝6x－4。 解 等量公理的解題過程 3 3x＋7＝6x－4 搭配習作 P52 基礎題 4、5(1) 6 等量公理與移項法則 解一元一次方程式 3x＋7＝6x－4。 解 等量公理的解題過程 3x＋7＝6x－4 3x－3x＋7＝6x－3x－4 7＝3x－4 7＋4＝3x－4＋4 11＝3x ＝ ＝x（習慣上寫成 x＝ ） 3 等號兩邊同減3x 整理 等號兩邊同加4 等號兩邊同除以3

解 移項法則的解題過程 3x＋7＝6x－4 7＝6x－3x－4 7＝3x－4 7＋4＝3x 11＝3x 3x＝11 x＝ 3 ＝3 × ＋7 ＝18 右式＝6x－4 ＝6 × －4 左式＝右式，所以 x＝ 是原方程式的解。 移項法則的解題過程 3x＋7＝6x－4 7＝6x－3x－4 7＝3x－4 7＋4＝3x 11＝3x 3x＝11 x＝ 3

驗算的步驟很重要，但我們可以自行檢驗，通常不用將驗算過程寫出來。 解下列各一元一次方程式： (1)26＋3x＝50－9x (2)5x＋24＝5x＋8＋4x (3)3(2x－4)＝30 (4)－2(3x－1)＋2＝41 (5)5(2x＋3)＝4x＋69 (6)－10＝3x－4(2x－5) x＝2 x＝4 x＝7 x＝－ x＝9 x＝6

在例題6中，解一元一次方程式3x＋7＝6x－4時，如果先將 6x 移到等號的左邊，再將＋7 移到等號的右邊，則解方程式的過程就變成：

7 以移項法則解方程式 解一元一次方程式 2x＝ x－16。 分數直接移項 解一 2x＝ －16 2x－ ＝－16 ＝－16 搭配習作P53基礎題 5(5) 7 以移項法則解方程式 解一元一次方程式 2x＝ x－16。 分數直接移項 2x＝ －16 2x－ ＝－16 ＝－16 x＝（－16）÷ x＝（－16）× x＝－12 解一

先去分母再移項 解二 2x＝ x－16 6x＝3（ x－16） 等號兩邊同乘以3 6x＝2x－48 6x－2x＝－48 4x＝－48 將右式化簡 4

解下列各一元一次方程式： (1) x－4＝x＋3 (2)－x＋16＝ x x＝6 x＝－

解一元一次方程式3(－2x－5)＋3x＝9＋4(x＋2)。 搭配習作P52基礎題5(2)∼(4)／P53基礎題5(7)∼(8)、6(6)∼(8) 8 解一元一次方程式 解一元一次方程式3(－2x－5)＋3x＝9＋4(x＋2)。 解 3（－2x－5）＋3x＝9＋4（x＋2） －6x－15＋3x＝9＋4x＋8 －6x＋3x－4x＝9＋8＋15 －7x＝32 x＝－

解下列各一元一次方程式： (1) 2（3－x）＝－4（x＋5） (2) 2（x－4）－（3x＋4）＝－20＋7x x＝－13 x＝1

搭配習作 P53 基礎題 6(1)、(4) 9 解一元一次方程式 解一元一次方程式 分數直接移項 解一 1 3

解二 等號兩邊同乘以12 8x－18＝3x－9 8x－3x＝－9＋18 5x＝9 x＝ 等號兩邊同乘以12 8x－18＝ 3x－9

解一元一次方程式 x－2＝2x＋ 。 x＝－

10 解一元一次方程式 解一元一次方程式 解 等號兩邊同乘以12 3（2x＋1）－2（x－4）＝24 6x＋3－2x＋8＝24 搭配習作 P53 基礎題 5(6)、6(2)∼(5) 10 解一元一次方程式 解一元一次方程式 解 3（2x＋1）－2（x－4）＝24 6x＋3－2x＋8＝24 4x＋11＝24 4x＝13 x＝ 等號兩邊同乘以12 要記得加括號才不會算錯哦！

解一元一次方程式 x＝

1.一元一次方程式：只含一種未知數，且未知數的次方是一次的等式，稱為一元一次方程式。 2.方程式的解（根）：若一數代入一元一次方程式可使等號兩邊的值相等，此時這個數滿足此方程式，是這個方程式的解（根）。

3.等量公理 ：當等號左右兩邊相等時，在等號左右同時加、減、乘、除一數（除數不為 0），等號仍然成立。 也就是說，a、b、c 為任意三數，若 a＝b，則 (1) a＋c ＝ b＋c (2) a－c ＝ b－c (3) a×c ＝ b×c (4) a÷c ＝ b÷c（c 不為 0 ） 反過來說， 當(1) a＋c ＝ b＋c 或 (2) a－c ＝ b－c 或(3) a×c ＝ b×c (c不為0) 或 (4) a÷c ＝ b÷c 則可推得 a＝b 的結論。

4.移項法則：解一元一次方程式的過程中，省略寫出應用等量公理的步驟，看起來相當於把等號一側的某數（或項）移到另一側，但要變號， 「＋」會變成「－」， 「－」會變成「＋」， 「×」會變成「÷」， 「÷」會變成「×」。

3-2 自我評量 1.依據下列各文字敘述列出一元一次方程式： (1) x 加5等於13 (2) x 的7倍等於 21 (3) x 的5倍加9等於29 (4) x 的4倍減3等於25 x＋5＝13 7x＝21 5x＋9＝29 4x－3＝25

2.（ ）試判斷x＝－3是下列哪一個方程式的解？ (A) 5x＋2＝2x＋5 (B) 5x－2＝－2x＋5 (C) 5x＋4＝2x－5 (D) 5x＋4＝－2x－5 C 3.解下列各一元一次方程式： (1) 5x＝3x (2) 3x＋1＝2x－5 x＝0 x＝－6

(3) x＋3＝ x－2 (4) 2(x－4)－3(x＋4)＝－2 (6) x＝5