比與比值 比例式 應用問題 自我評量

搭配頁數 P.102 比例式 比與比值 日常生活中，經常發現許多事物裡面 含有比例的關係，例如：料理食材的比 例、地圖上的比例尺、 ⋯⋯。事實上， 這些都和比與比值有許多關聯；首先， 透過一些生活例子來複習國小學過的比 與比值概念。

搭配頁數 P.102 炎炎夏日，飲用一杯冰涼好喝的飲料，是莫大的享受。例如：將 200 毫升的冬瓜茶加入 300 毫升的鮮奶中，可以調配出一杯 500 毫升的冬瓜鮮奶。

搭配頁數 P.102  

搭配頁數 P.102 比與比值  

搭配頁數 P.103 同類量中，相同單位的比與比值     6 公分 4 公分 10 公分 C A B 解          

(1)男生人數與女生人數的比為何？比值是 多少？ (2)女生人數與全班人數的比為何？女生人 數是全班人數的幾倍？ 搭配頁數 P.103 七年二班有男生 20 人、女生 15 人，則： (1)男生人數與女生人數的比為何？比值是 多少？ (2)女生人數與全班人數的比為何？女生人 數是全班人數的幾倍？   解   (2)全班人數＝20+15 ＝ 35    

在例題 1 與隨堂練習中，所求的皆是同類量，且單位相同的兩數的比值。 如果要求兩個同類量的比值，但它們的單位不同時，則須先將它們化成相同單 搭配頁數 P.103 在例題 1 與隨堂練習中，所求的皆是同類量，且單位相同的兩數的比值。 如果要求兩個同類量的比值，但它們的單位不同時，則須先將它們化成相同單 位，再求其比值。

甲物品重 2 公斤，乙物品重 500 公克。則： (1)甲、乙兩物品重量的比為何？ (2)甲、乙兩物品重量的比值是多少？ 搭配頁數 P.104 同類量中，不同單位的比與比值 甲物品重 2 公斤，乙物品重 500 公克。則： (1)甲、乙兩物品重量的比為何？ (2)甲、乙兩物品重量的比值是多少？ 解 (1)因為 2 公斤＝2000 公克， 所以甲、乙兩物品重量的比為 2000：500 (2)甲、乙兩物品重量的比值為 2000 ÷ 500＝4

小寬、小君兩人比賽跳繩的時間，小寬跳了 2 分鐘，小君跳了 36 秒。則： (1) 小寬、小君兩人跳繩時間的比為何？ 搭配頁數 P.104 小寬、小君兩人比賽跳繩的時間，小寬跳了 2 分鐘，小君跳了 36 秒。則： (1) 小寬、小君兩人跳繩時間的比為何？ (2) 小寬、小君兩人跳繩時間的比值是多少？ 解 (1) 2 分鐘：36 秒 ＝120：36 (2)比值＝ 120 ÷ 36    

搭配頁數 P.104

搭配頁數 P.105 求比值     解        

搭配頁數 P.105       解          

搭配頁數 P.105      

搭配頁數 P.106 繁分數的化簡   解                  

搭配頁數 P.106         解            

搭配頁數 P.106

搭配頁數 P.107 比值的比較大小 在某次的籃球比賽當中，學生隊全場三分球出手 20 次，投進 15 次，教師隊全場三分球出手 24 次，投進 18 次，則哪一隊三分球的命中率較高？ (命中率＝投進次數與投球次數的比值) 解 學生隊三分球投進次數與投球次數的比是 15：20，     教師隊三分球投進次數與投球次數的比是 18：24，     因此學生隊與教師隊三分球的命中率相同

搭配頁數 P.107 正敏與金鋒參加棒球比賽，正敏在 15 次打擊中，擊出 6 次安打；金鋒在 24次打擊中，擊出 9 次安打，已知安打數與打擊數的比值稱為打擊率。則： (1)正敏和金鋒的打擊率分別 是多少？(以小數表示) (2)兩人的打擊率誰比較高？   解       (2)正敏的打擊率比較高

已知 m ≠ 0，則(1) a：b＝(a × m)：(b × m)。 (2) a：b＝(a ÷ m)：(b ÷ m)。 搭配頁數 P.108 比值相等的兩個比，稱為相等的比。 例如：例題 5 中，「15：20」與「18：24」的比值相等，就稱這兩個比相等，可記成 15：20＝18：24。 由於比值可以用分數來表示，且分數經過擴分或約分後，其值不變，因此一個比的前項與後項同乘或同除以一個不等於 0 的數後，比值仍是不變。 相等的比 已知 m ≠ 0，則(1) a：b＝(a × m)：(b × m)。 (2) a：b＝(a ÷ m)：(b ÷ m)。

1. 如果 2：5＝6：□，則 □ 內填入的數是多少？ 2. 如果 6：4＝□：2，則 □ 內填入的數是多少？ 搭配頁數 P.108 等比值變化 1. 如果 2：5＝6：□，則 □ 內填入的數是多少？ 2. 如果 6：4＝□：2，則 □ 內填入的數是多少？ 解 1.因為 2：5＝(2×3)：(5×3) ＝ 6：15 所以 □ 內填入的數是 15。 2.因為 6：4＝(6 ÷ 2)：(4 ÷ 2) ＝ 3：2 所以 □ 內填入的數是 3。

1.如果 7：3 ＝ 21：□，則 □ 內填入的數是多少？ 2. 如果 36：48 ＝ □：16，則 □ 內填入的數是多少？ 搭配頁數 P.108 1.如果 7：3 ＝ 21：□，則 □ 內填入的數是多少？ 2. 如果 36：48 ＝ □：16，則 □ 內填入的數是多少？ 解 1.因為 7：3＝(7 × 3)：(3 × 3) ＝ 21：9 所以 □ 內填入的數是 9。 2.因為 36：48＝(36 ÷ 3)：(48 ÷ 3) ＝ 12：16 所以 □ 內填入的數是 12。

搭配頁數 P.109  

(1) 52：65＝ (52÷13)：(65÷13) ＝ 3：10 ＝ 42：35 ＝ (42 ÷ 7)：(35 ÷ 7) ＝ 6：5 解 搭配頁數 P.109 最簡整數比   解 (1) 52：65＝ (52÷13)：(65÷13)       ＝ 3：10           ＝ 42：35 ＝ (42 ÷ 7)：(35 ÷ 7) ＝ 6：5  

搭配頁數 P.109   解 (1) 39：21＝ (39 ÷ 3)：(21 ÷ 3)       ＝ 260：13   ＝ 20：1           ＝ 21：10

搭配頁數 P.110 比例式 前面已經學過，如果 a：b 與 c：d 是相等的比，則可以記作a：b＝c：d，像這樣的式子稱為比例式。 其中，a 和 d 稱為這個比例式的外項， b 和 c 稱為這個比例式的內項。 例如：在例題 6 第(1)題 2：5＝6：□中，求得□內填入的數是15，進一步觀察這個比例式可以發現： 兩個內項的乘積 ( 5 × 6 ) 與兩個外項的乘積 ( 2 × 15 )是一樣的。

搭配頁數 P.110   比值相等 等號兩邊同乘以 bd 外項乘積＝內項乘積 外項 如果 a：b＝c：d，則 ad＝bc。 內項

求下列各比例式中 x 的值： (1) 3：4＝5：x (2) (x－3)：2＝(2x－5)：3 搭配頁數 P.110 外項乘積等於內項乘積 求下列各比例式中 x 的值： (1) 3：4＝5：x (2) (x－3)：2＝(2x－5)：3 (2)因為(x－3)：2＝(2x－5)：3 解 (1)因為 3：4＝5：x 所以 3x＝4×5 所以 3(x－3)＝2(2x－5) 3x＝20 3x－9 ＝4x －10   －x＝－1 x＝ 1

搭配頁數 P.111 解   2x＝5  

搭配頁數 P.111 (2) 4 × 2(x－4)＝3(x＋1) 解 8x－32＝3x＋3 5x＝35  

那麼，要如何將買來的 95% 藥用酒精調配成 75% 的消毒酒精呢？ 搭配頁數 P.111 消毒酒精 D I Y 酒精能使細菌的蛋白質脫水變性凝固而殺死細菌，因此生活上我們常用酒精來消毒。使用高濃度的酒精殺菌，因為脫水迅速，細菌表面的蛋白質很快就變性凝固，反而阻止酒精繼續滲入細菌內，因此藥局購買的 95% 藥用酒精並不適合拿來消毒；反倒是濃度較低的 75% 酒精因為與細菌的滲透壓相近，可以深入細菌內部，使得細菌內部及表面的蛋白質皆脫水變性凝固，因此最適合拿來消毒。 那麼，要如何將買來的 95% 藥用酒精調配成 75% 的消毒酒精呢？

加入 90% 精緻酒精 75ml，再加入純水至 90ml，可調出 75% 的消毒酒精。 搭配頁數 P.111   1加入 95% 藥用酒精 75ml 2再加入純水至 95ml _75% 的消毒酒精 加入 90% 精緻酒精 75ml，再加入純水至 90ml，可調出 75% 的消毒酒精。

如果 a：b＝m：n ( m、n 為已知的數)，則 搭配頁數 P.112   外項乘積等於內項乘積 等號兩邊同乘除以 6 比例式的應用 如果 a：b＝m：n ( m、n 為已知的數)，則  

已知 x：y＝5：7，求下列各比的比值： (1) 2x：3y (2) (x＋y)：(x－y) 搭配頁數 P.112 比例式的運算 已知 x：y＝5：7，求下列各比的比值： (1) 2x：3y (2) (x＋y)：(x－y) 解 因為x：y＝5：7，所以可設 x＝5r，y＝7r，其中 r ≠ 0。 (1) 2x：3y ＝(2 × 5r)：(3 × 7r) (2)(x＋y)：(x－y) ＝(5r＋7r)：(5r－7r) ＝10r：21r ＝12r：(－2r) ＝10：21 ＝12：(－2) 因此2x：3y的比值為 ＝6：(－1) 因此(x＋y)：(x－y)比值為 6 ÷(－1) ＝－6  

已知 x：y＝5：2，求下列各比的比值：(1) 3x：4y (2) (2x－3y)：(x－4y) 搭配頁數 P.112 已知 x：y＝5：2，求下列各比的比值：(1) 3x：4y (2) (2x－3y)：(x－4y) 設 x＝5r，y＝2r，其中 r ≠ 0。 解 (1) 3x：4y ＝(3×5r)：(4×2r) (2) (2x－3y)：(x－4y) ＝(10r－6r)：(5r－8r) ＝15r：8r ＝4r：(－3r) ＝15：8 ＝4：(－3) 3x：4y的比值為 (2x－3y)：(x－4y)的比值為    

已知 x、y 皆不等於 0，且 3x＝5y， (1)求 x：y (2)若 2x－3y＝6，求(x＋3)：(y－5) 搭配頁數 P.113 比例式的運算 已知 x、y 皆不等於 0，且 3x＝5y， (1)求 x：y (2)若 2x－3y＝6，求(x＋3)：(y－5) (1)因為 x、y 皆不等於 0，且 3x＝5y， 解 將等號兩邊同除以 15   得 x：y＝5：3 (2)設 x＝5r，y＝3r，其中 r ≠ 0。 依題意可得 2×5r－3×3r＝6，r＝6， 所以(x＋3)：(y－5)＝(5×6＋3)：(3×6－5) ＝33：13

已知 x、y 皆不等於 0 ，且 5x＝2y， (1)求 x：y (2)若 4x－3y＝－21，求(2x－3)：(4x＋1) 搭配頁數 P.113 已知 x、y 皆不等於 0 ，且 5x＝2y， (1)求 x：y (2)若 4x－3y＝－21，求(2x－3)：(4x＋1) 解 (1) x：y＝2：5 (2)設 x＝2r，y＝5r，其中 r ≠ 0 4x－3y＝－21 ⇒ 4×2r－3×5r＝－21 ⇒ r＝3 ⇒ x＝2×3＝6 (2x－3)：(4x＋1) ＝(2×6－3)：(4×6＋1) ＝9：25

已知 x：y＝2：3，則(x＋1)：( y＋1)的比值是否為固定的值？並說明理由。 搭配頁數 P.113 已知 x：y＝2：3，則(x＋1)：( y＋1)的比值是否為固定的值？並說明理由。 解 設 x＝2r，y＝3r，其中 r ≠ 0 (x＋1)：(y＋1)＝(2r＋1)：(3r＋1)     所以(x＋1)：(y＋1)的比值不是固定的值

搭配頁數 P.114 應用問題 兩個同類量的比值表示兩者的倍數關係，而兩個不同類量的比值可以用來表示兩者的對應關係，例如：120 元可以購買 5 公斤的檸檬，120 與 5 的比值是 24，表示檸檬的單價是每公斤 24 元；100 公里的路程開車共需 2 小時，100與 2 的比值是 50，表示開車的平均速率是每小時 50 公里。

已知 150 元可以購買 4 公斤的橘子， 則 90 元可以購買多少公斤的橘子？ 搭配頁數 P.114 不同類量的比值問題 已知 150 元可以購買 4 公斤的橘子， 則 90 元可以購買多少公斤的橘子？ 解 橘子的單價為定值， 設 90 元可以購買 x 公斤的橘子，   150x＝90×4      

已知 120 公里的路程開車共需 3 小時，則以相等的速率開車， 100 公里需要多少小時？ 搭配頁數 P.114 已知 120 公里的路程開車共需 3 小時，則以相等的速率開車， 100 公里需要多少小時？ 設 100 公里需要開車 x 小時， 解   ⇒ 120x＝300    

籃子裡有蘋果和梨子共63個，已知蘋果和梨子個數的比是3：4，則蘋果和梨子各有多少個？ 搭配頁數 P.115 比例分配問題 籃子裡有蘋果和梨子共63個，已知蘋果和梨子個數的比是3：4，則蘋果和梨子各有多少個？ 因為蘋果和梨子個數的比是 3：4， 解一      

籃子裡有蘋果和梨子共63個，已知蘋果和梨子個數的比是3：4，則蘋果和梨子各有多少個？ 搭配頁數 P.115 比例分配問題 籃子裡有蘋果和梨子共63個，已知蘋果和梨子個數的比是3：4，則蘋果和梨子各有多少個？ 設蘋果有 3r 個，梨子有 4r 個，r ≠ 0 解二 依題意可得 3r＋4r＝63 7r＝63 r＝9 因此蘋果有 3r＝3 × 9＝27 (個)， 梨子有 4r＝4 × 9＝36 (個)。

在例題 12 中，如果假設蘋果有 x 個，則解法為何？ 搭配頁數 P.115 在例題 12 中，如果假設蘋果有 x 個，則解法為何？ 參考解法： 假設蘋果有 x 個，則梨子有(63－x) 個。 解 依題意可知 x：(63－x)＝3：4 4x＝3(63－x) 4x＝189－3x 7x＝189 x＝27 故蘋果有 27 個， 梨子有 63－27＝36 (個)。

七年二班全班有35人，近視與沒有近視的人數比是2：3，則該班沒有近視的學生有多少人？ 搭配頁數 P.116 七年二班全班有35人，近視與沒有近視的人數比是2：3，則該班沒有近視的學生有多少人？ 設近視的學生有 2r 人，沒有近視的學生有 3r 人，r ≠ 0。 解 2r＋3r＝35 ⇒ 5r＝35 ⇒ r＝7 所以沒有近視的學生有 3r＝3×7=21 (人)。

班上原來女生與男生之人數比是2：3。如果有 2 位男同學轉到他校，此時女生與男生的人數比是3：4，則班上原來的女生與男生各有多少人？ 搭配頁數 P.116 比例的應用 班上原來女生與男生之人數比是2：3。如果有 2 位男同學轉到他校，此時女生與男生的人數比是3：4，則班上原來的女生與男生各有多少人？ 設班上原有女生 2r 人，男生 3r 人，r ≠ 0。 解 依題意可得 2r：(3r－2)＝3：4 9r－6＝8r r＝6 因此班上原來的女生有 2r＝2×6＝12 (人) 男生有 3r＝3×6＝18 (人)

今年敬宇與父親的年齡比是 1：3，7 年後敬宇與父親的年齡比是3：7，則敬宇今年幾歲？ 搭配頁數 P.116 今年敬宇與父親的年齡比是 1：3，7 年後敬宇與父親的年齡比是3：7，則敬宇今年幾歲？ 設敬宇今年 r 歲，父親今年 3r 歲，r ≠ 0。 解 (r＋7)：(3r＋7)＝3：7 ⇒ 3(3r＋7)＝7(r＋7) ⇒ 9r＋21＝7r＋49 ⇒ 2r＝28 ⇒ r＝14 所以敬宇今年 14 歲。

搭配頁數 P.117 比的前項、後項與比值：    

一個比如果前項、後項為互質的兩個整數，稱為最簡整數比。 搭配頁數 P.117 相等的比： 比值相等的兩個比稱為相等的比。   最簡整數比： 一個比如果前項、後項為互質的兩個整數，稱為最簡整數比。 8：5 是最簡整數比，6：8 不是最簡整數比。

(1)a：b＝c：d 稱為比例式。 (b、d 皆不等於 0) (2)比例式 a：b＝c：d 中，a、d 稱為外項，b、c 稱為內項， 搭配頁數 P.117 比例式、內項與外項： (1)a：b＝c：d 稱為比例式。 (b、d 皆不等於 0) (2)比例式 a：b＝c：d 中，a、d 稱為外項，b、c 稱為內項， 則 ad＝bc，即外項乘積等於內項乘積。 外項 內項 2：3＝6：9 2 × 9 ＝ 3 × 6 (外項乘積) (內項乘積)

搭配頁數 P.117 比例式的應用：    

3-1 1.兩個正方形的邊長各為 3 公分與 2 公分，其周長的比為____：____ ，面積比為 ____：____ 。 3 2 9 4 搭配頁數 P.118 3-1 1 1.兩個正方形的邊長各為 3 公分與 2 公分，其周長的比為____：____ ，面積比為 ____：____ 。 2.七年 3 班有學生 40 人，第一次段考數學成績有 6 個人不及格，則及格人數和全班學生人數的比為____：____ ，比值為 ______ 。 3 2 解 9 4 正方形面積比為邊長平方比 17 20   及格人數＝ 40 – 6＝34 34：40 = 17： 20

假設速率不變，如果甲 30 分鐘走 2000 公尺，則甲 2 小時 15 分走的距離是 ______公尺。 搭配頁數 P.118 2 假設速率不變，如果甲 30 分鐘走 2000 公尺，則甲 2 小時 15 分走的距離是 ______公尺。   解 設走的距離 x 公尺 則 30分： 2 小時 15 分＝ 2000： x 30：135＝ 2000： x 30x ＝135 × 2000 x ＝9000

(1) 18：30＝3：____ (2) 1.5：0.9＝15：____ ＝ ____：3 ÷6 ÷6 5 9 5 搭配頁數 P.118 3 填填看： (1) 18：30＝3：____ (2) 1.5：0.9＝15：____ ＝ ____：3 ÷6 ÷6 5 9 5 ×10 ×10 ÷3 ÷3 解 18 ⇒ 3 (經過18 ÷ 6得3) 所以30也 ÷ 6 ⇒ 得5 1.5 ⇒ 15 (經過1.5 × 10得15) 所以0.9也 × 10 ⇒ 得9 9 ⇒ 3 (經過9 ÷ 3得3) 所以15也 ÷ 3 ⇒ 得5

搭配頁數 P.118 4 將下列各繁分數化成最簡分數：         解                

搭配頁數 P.118 5       解            

搭配頁數 P.118 6 求下列各式中，□所代表的數： 28：35 ＝4：□ (2) □：4＝51：12 (3)25：□＝5：3     解             □＝5          

搭配頁數 P.119 7 求下列各比例式中 x 的值： (1) 24：x＝2：7 (2) (x－1)：3＝(x＋1)：6 解                

搭配頁數 P.119 8 甲地面積 10 平方公里，乙地面積 8 平方公里，如果甲地的人口數比乙地的人口數多 3000 人，且兩地的人口數與土地面積的比值相等，則甲、乙兩地共有多少人？ 設甲地有 x 人，則乙地有(x－3000)人 解   8x＝10(x－3000) 30000＝2x x＝15000 15000－3000＝12000 15000＋12000＝27000 ：27000人

已知中正國中男生人數與女生人數之比為 31：29，如果男生比女生多 120人，則全校學生有多少人？ 搭配頁數 P.119 9 已知中正國中男生人數與女生人數之比為 31：29，如果男生比女生多 120人，則全校學生有多少人？ 解 設男生有 31r 人，女生有 29r 人，r ≠ 0 31r－29r＝120 2r＝120 r＝60 則全校學生有 31r＋29r ＝60r ＝60×60 ＝3600 ：3600人

設 x：y＝2：7，且 3x＋y＝26， 求(x＋1)：(y＋1) 設 x＝2r，y＝7r，r ≠ 0， 代入 3x＋y＝26 搭配頁數 P.119 10 設 x：y＝2：7，且 3x＋y＝26， 求(x＋1)：(y＋1) 解 設 x＝2r，y＝7r，r ≠ 0， 代入 3x＋y＝26 6r＋7r＝26 13r＝26 r＝2 解得 x＝4，y＝14 (x＋1)：(y＋1)＝5：15 ＝1：3

5：8 192 8×甲＝5×乙 甲：乙＝5：8 (2) 120：乙＝5：8 乙× 5＝120 × 8 乙＝192 11 解 搭配頁數 P.119   11 5：8 192   解 8×甲＝5×乙 甲：乙＝5：8 (2) 120：乙＝5：8 乙× 5＝120 × 8 乙＝192

設 x、y 皆不為 0，且 4x＋2y＝5x－3y，求(x＋2y)：(2x－y)的比值。 搭配頁數 P.119 12 設 x、y 皆不為 0，且 4x＋2y＝5x－3y，求(x＋2y)：(2x－y)的比值。 解 由 4x＋2y＝5x－3y 得 x＝5y， ⇒ x：y＝5：1 設 x＝5r，y＝r，r ≠ 0 則(x＋2y)：(2x－y) ＝(5r＋2r)：(10r－r) ＝7r：9r ＝7：9  

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