八年级上册 第十一章　三角形 三角形的内角（第1课时） 湖北省咸宁市咸安区教育局教研室　王格林

创设情境，提出问题 内角三兄弟之争 　　在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大？我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就要分裂了啊！”“为什么呢？” 老二很纳闷．同学们知道其中的道理吗？

复习回顾 　※　在小学我们学习过三角形内角和为180°，如果老二和老大度数一样，那它们三个内角的和就会超过180°.

引入新课，证明定理 在小学，我们是怎样得到三角形内角和等于180°的呢？ 在小学，我们是通过度量或剪拼的方法得到这一结论的，但由于测量常常有误差，这种验证不是数学证明，不能让人信服，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形内角和都等于180°，所以我们需要用推理的方法来证明这一结论.

合作探究，形成知识 三角形的三个内角和是180°，我们有什么办法可以验证呢? 我们可以在纸上任意画一个三角形，把三个角剪下来拼在一起，自己动手试试看. A B C B A C 图1

合作探究，形成知识 证明： 延长BC到D，过C作CE∥BA， 2 ∵CE∥BA， ∴∠1=∠A，（两直线平行,内错角相等） 从图1的拼合的过程，你能想出证明的办法吗? 2 1 E D C B A 证明： 延长BC到D，过C作CE∥BA， ∵CE∥BA， ∴∠1=∠A，（两直线平行,内错角相等） ∠B=∠2，（两直线平行，同位角相等） 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°．

合作探究，形成知识 三角形形内角和定理： 　三角形三个内角的等于180°.

合作探究，形成知识 三角形的三个内角和是180°，我们还有其他的拼合方法来验证吗? A B C C A B 图2

合作探究，形成知识 证法1： 过A作EF∥BC， ∵EF∥BC ， ∴∠B=∠2，∠C=∠1， （两直线平行，内错角相等） 由前面图2的拼合方法，你还能想出这个定理的其他证法吗？ 证法1： 过A作EF∥BC， ∵EF∥BC ， ∴∠B=∠2，∠C=∠1， （两直线平行，内错角相等） ∵∠2+∠1+∠BAC=180°，（三角形内角和定理） ∴∠B+∠C+∠BAC=180°．

合作探究，形成知识 证法2： 过A作AE ∥ BC， ∵ AE∥BC ， ∴∠B=∠BAE， ∵∠EAB+∠BAC+∠C=180°， （两直线平行，内错角相等） ∵∠EAB+∠BAC+∠C=180°， （两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B+∠C+∠BAC=180°．

合作探究，形成知识 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 　　在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三角形三个角的和为180°，先转化为一个平角，然后利用平行线的相关性质进行证明，这种转化思想是数学中的常用思想方法.

初步应用，巩固知识 （1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43 °，则∠C= . （2）在△ABC中，∠A :∠B:∠C=2:3:4， 102 ° （1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43 °，则∠C= . （2）在△ABC中，∠A :∠B:∠C=2:3:4， 则∠A = ，∠B= ，∠C= . 60 ° 80 ° 40 ° （3）一个三角形中最多有 个直角． （4）一个三角形中最多有 个钝角． （5）一个三角形中至少有 个锐角． （6）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 . 1 1 A 2 60°

例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 例题解析，灵活应用 例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40°， AD是△ABC的角平分线得： ∠BAD= 20°， 在△ABD中， ∠ADB=180°－∠B－∠BAD = 180°－75°－20°=85°．

例题解析，灵活应用 例2 下图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB，∠ABC ，就能求出∠ACB.

例题解析，灵活应用 解：∠CAB= ∠BAD － ∠CAD =80°－50°= 30°， ∵AD∥BE，得∠BAD +∠ABE=180°， ∴ ∠ABE=180° － ∠BAD = 180° － 80°=100°， ∠ABC=∠ABE － ∠EBC = 100° － 40°=60°． 你还能想出其他解法吗？

例题解析，灵活应用 在△ABC中 ， ∠ACB= 180°－∠ABC －∠CAB = 180°－60° － 30° = 90°． 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°．

综合运用，深化提高 如图，从A 处观测C 处的仰角 ∠CAD = 30°，从B 处观测C 处 的仰角∠CBD = 45°，从C 处 观测A，B 两处的视角∠ACB 是 多少？ 　　

课堂小结 1.本节课我们学习了哪些内容？ 三角形内角和定理. 2.我们是怎样证明三角形内角和定理的？ 通过三角形顶点做平行线，把三角形的三个内角转 化成有共同顶点的三个角，然后利用平行线性质进行证明.

课后作业 教科书第16页第1，5题，第17页7题．