第18讲　等腰三角形与直角三角形 考点知识精讲 中考典例精析 举一反三 考点训练

考点一 等腰三角形 1．概念及分类 有 的三角形叫等腰三角形；有 的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为 的等腰三角形和 ___________的等腰三角形． 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角 ； (2)等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相 ，简称“三线合一”； 两边相等 三边相等 腰和底不相等 腰和底相等 相等 重合

(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴． (4)等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足0°＜α＜90°；顶角满足0°＜β＜180°. 3．等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形； (2)有 相等的三角形是等腰三角形． 温馨提示： 应用性质“三线合一”时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直. 两角

考点二 等边三角形的性质与判定 1．性质：(1)等边三角形的内角都相等，且等于60°；(2)等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴． 2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 温馨提示： （1）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. （2）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一.

考点三 线段的中垂线 1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等． 3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．

考点四 直角三角形的性质、判定 1．性质 (1)直角三角形的两个锐角 ； (2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为 ； (5)直角三角形 上的中线等于斜边的一半． 互余 一半 30° 斜边

2．判定 (1)有一个角是 的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为 三角形； (4)在一个三角形中,如果有两个角互余,那么这个三角形是 三角形． 直角 直角 直角

温馨提示： （1）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法. （2）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 温馨提示： （1）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法. （2）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. （3）若a、b、c为一直角三角形的三边长，则以ma、mb、mc(m＞0)为三边的三角形也是直角三角形.

(1)(2011·呼和浩特)如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是( ) A．9 cm B．12 cm C．15 cm或12 cm D．15 cm (2)(2010·东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50° (3)(2010·长沙)下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )

(4)(2011·南充)如图，△ABC和△CDE均为等腰直角 三角形，点B，C，D 【点拨】本组题主要考查等腰三角形,直角三角形的有关性质和判定. 【解答】(1)D ∵3＋3＝6，∴等腰三角形的底边长和腰长分别为3 cm和6 cm，∴它的周长是6×2＋3＝15(cm)． (2)C 当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.

方法总结： （1）等腰三角形与直角三角形是常见的图形，其性质在研究平行四边形、等腰梯形、圆、三角函数等时应用非常广泛，因此应熟练、准确掌握其性质并灵活应用. （2）“等边对等角”或“等角对等边”仅限于在一个三角形中.在两个三角形中，如果两边相等，这两条边所对的角不一定相等.

2011·芜湖 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB， AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°，过点D作DE⊥AB， 过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形． 【点拨】先证F为BD的中点，从而得到DF＝EF＝BF.再由∠BDE＝60°，可得△DEF为等边三角形．

∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°， ∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD ∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°， ∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD. ∵CF⊥BD，∴F为BD的中点． 又∵DE⊥AB，∴DF＝BF＝EF. 由∠ABD＝30°，得∠BDE＝60°， ∴△DEF为等边三角形．

1．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则第三条边的长是( ) A．8 B．7 C．4 D．3 答案：B 2．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于( ) A．80° B．70° C．60° D．50° 答案：C 3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角度数为( ) A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 答案：D

4．下面给出的几种三角形：(1)有两个角为60°的三角形；(2)三个外角都相等的三角形；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：B 5．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于( ) A．50° B．30° C．20° D．15° 答案：C

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分 别以AB、AC为边作两个等腰直角△ABD和△ACE，使 ∠BAD＝∠CAE＝90° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分 别以AB、AC为边作两个等腰直角△ABD和△ACE，使 ∠BAD＝∠CAE＝90°. (1)求∠DBC的度数； (2)求证：BD＝CE. 答案：(1)∠DBC＝115° (2)先证△DAB≌△EAC，即得BD＝CE

等腰三角形与直角三角形 训练时间：60分钟 分值：100分 等腰三角形与直角三角形 训练时间：60分钟 分值：100分

一、选择题(每小题4分，共44分) 1．(2012中考预测题)等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是( ) A．9 B．12 C．15 D．12或15 【解析】当6为腰，3为底时，6＋3>6，此时周长为15；当6为底，3为腰时，3＋3＝6，不能组成三角形． 【答案】C

2．(2012中考预测题)在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( ) A．30° B．40° C．45° D．36° 【解析】AD＝BD，∴∠ABD＝∠A.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，∴∠A＝36°. 【答案】D

3．(2011·铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( ) A．等腰三角形两底角相等 B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 C．等腰三角形是中心对称图形 D．等腰三角形是轴对称图形 【解析】等腰三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形． 【答案】C

4．(2010中考变式题)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6 【解析】∵32＋42＝52，∴3、4、5构成直角三角形． 【答案】C

5．(2012中考预测题)等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( ) A．13 B．14 C．15 D．16 【解析】由等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，可求出AB＝AC＝8.∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴C△BEC＝BC＋BE＋EC＝BC＋AE＋EC＝BC＋AC＝5＋8＝13. 【答案】A

6．(2010中考变式题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D、交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是( ) A．∠B＝∠CAE B．∠DEA＝∠CEA C．∠B＝∠BAE D．AC＝2EC

【解析】由DE垂直平分AB得EA＝EB，∴∠B＝∠BAE，又∵AE平分∠BAC，∴AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，因此A、C都成立．∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，又ED⊥AB，EC⊥AC，∴∠DEA＝∠CEA(等角的余角相等)，B成立． 【答案】D

7．(2010中考变式题)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( ) A．13 B．26 C．47 D．94 【解析】SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝32＋52＋22＋32＝47. 【答案】C

8．(2010中考变式题)一架长25 dm的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端7 dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4 dm，那么梯足将滑出( ) A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm 【答案】D

9．(2010中考变式题)已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是(　　) 【答案】D

10．(2010中考变式题)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为(　　)

【答案】D

11．(2012中考预测题)P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A、B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解析】过点P分别作两直角边的平行线，得2条直线；过点P作斜边AB的垂线，得到第3条直线． 【答案】C

二、填空题(每小题4分，共16分) 12．(2010中考变式题)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4 cm，则AB＝________cm. 【解析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”得斜边AB＝2CD＝2×4＝8(cm)． 【答案】8

13．(2011·新疆)如图所示，△ABC是等边三角形，AB＝4 cm，则BC边上的高AD等于________ cm.

14．(2011·宁波)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________ cm.

【答案】8

三、解答题(共40分) 16．(8分) (2010中考变式题)在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，求∠DBC的度数． 【答案】解：∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝65°. ∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°. ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.

17．(8分)(2011·陕西)如图所示，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F两点．求证：△ADF≌△BAE.

【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90° 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°.又∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.∴∠2＝∠3，∠4＝∠1.∴△ADF≌△BAE(ASA)．

18．(12分)(2011·黄冈)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

19．(12分)(2012中考预测题)如图所示，一根长2a的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． (1)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；

(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．