幾何證明 輔助線 自我評量

在上一冊第 3 章中，我們用過了 SAS、AAS、SSS、ASA、RHS 等判別三角形全等的性質，你還記得嗎？讓我們一起來複習吧！ 在下列各組圖形中，都有一些用記號標出的線段或角，如果它們有相同的記號，則表示它們的長度或角度相同。請對照左邊每一組全等的圖形，在右邊找出適合的全等性質，並用線將它們連起來。

  RHS  SAS  ASA  AAS  SSS    

在幾何證明的寫作過程中，除了依據題目所給的條件外，常會利用一些已學過的幾何性質、運算規律及等量公理。 在進行幾何推理的寫作時，會將「已知條件」、「要說明的結論」與「推導或說明的過程」寫成 、 、 的形式。書寫的方式將以下面的例子說明： 已知 求證 證明

如右圖，平行四邊形ABCD中， ， 對角線 、 交於O 點， 試說明 ， 。（兩對角線互相平分）

說明 在△AOB 與△COD 中， ∵ ， ∴∠1＝∠3，（內錯角相等） ∠5＝∠6，（內錯角相等） 又 ＝ ，（平行四邊形對邊等長） 所以△AOB △COD，（根據ASA全等性質） 故 ， 。（對應邊相等）

現在將「已知條件」、「要說明的結論」與「推導或要說明的過程」寫成 、 、 的形式如下： 求證 證明 已知 已知 條件 如圖，平行四邊形ABCD中， ， ，對角線 、 交於O點。

求證 要說明的結論 證明 在△AOB 與△COD 中 ∵ ，（平行四邊形對邊平行） ∴∠1＝∠3，∠5＝∠6。（內錯角相等） ∵ ，（平行四邊形對邊平行） ∴∠1＝∠3，∠5＝∠6。（內錯角相等） 又 ，（平行四邊形對邊等長） ∴△AOB △COD。（ASA 全等性質） 故 ， 。（對應邊相等） 推導或說明的過程

幾何證明的寫作，要從分析出發，才能確定證明的方向與步驟，以上為例：

， （結論） △AOB △COD（ASA） 平行線截角性質，平行四邊形性質 （已知） 平行四邊形ABCD中， ， 思 推 路 理 分 過 析 程 △AOB △COD（ASA） 平行線截角性質，平行四邊形性質 （已知） 平行四邊形ABCD中， ，

思路分析是從「結論」推到「已知條件」，而推理過程則依分析的結果由「已知條件」逐步推理至「結論」。

請將下面的題目改寫成 、 、 的形式。 已知 求證 證明 如右圖，正方形ABCD 中， E、F 分別在 、 上， 且 ＝ 。 搭配習作 P40 基礎題 1 請將下面的題目改寫成 、 、 的形式。 已知 求證 證明 如右圖，正方形ABCD 中， E、F 分別在 、 上， 且 ＝ 。 請利用三角形全等的性質 來說明△ABE △ADF。

說明： △ABE 與△ADF 全等的條件是： ＝ ，（已知） ∠ABE ＝ ______，（ABCD 是正方形） ＝ _______，（ABCD 是正方形） 根據______全等性質，△ABE △ADF。 ∠ADF SAS

如右圖，正方形ABCD 中，E、F 分別在 、 上，且 ＝ 。 已知 如右圖，正方形ABCD 中，E、F 分別在 、 上，且 ＝ 。 △ABE △ ADF。 求證 在△ABE 與△ADF 中 ∵ ＝ ，（已知） ∠ABE＝∠ADF＝90°，(ABCD是正方形) ＝ ，（ABCD 是正方形） 所以△ABE △ADF（SAS） 證明

要證明 ，先找到分別以 、 為一邊的兩個三角形，再證明這兩個三角形全等。 1 等腰三角形兩腰上的高相等 如右圖，△ABC 中， ， ， 。 已知 求證 思路分析一 要證明 ，先找到分別以 、 為一邊的兩個三角形，再證明這兩個三角形全等。

與代數的解題一樣，幾何證明的方法會隨著不同的思路分析，產生不同的方法，所以例題1也可以用下面的方法證明： 證明一 在△AEB 與△ADC 中 ∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC＝90°， △AEB △ADC（AAS） （對應邊相等） 與代數的解題一樣，幾何證明的方法會隨著不同的思路分析，產生不同的方法，所以例題1也可以用下面的方法證明：

要證明 ，也可以從面積觀察：在△ABC中，若分別以 、 為底，則其高相等。 思路分析二 要證明 ，也可以從面積觀察：在△ABC中，若分別以 、 為底，則其高相等。 證明二 △ABC的面積＝

要證明 ，先找到分別以 、 為一邊的兩個三角形，再證明這兩個三角形全等 如右圖，△ABC 中， ， ， 。 已知 求證 思路分析 要證明 ，先找到分別以 、 為一邊的兩個三角形，再證明這兩個三角形全等

證明 在△ABE 與△ACD 中 ∵ ∴△ABE △ACD（ SAS ） 故 （對應邊相等） ∠A＝∠A

幾何證明題的呈現方式，通常有以下幾個習慣的方法： (1)將 這個詞省略。 (2)把 寫成「試證」。 (3)可將推理的過程分成幾個步驟，並以(1)、 (2)、(3)、……表示。 已知 求證

2 利用全等證明兩次 如右圖，△ABC與△ABD中， ， ，若E為 上任一點，試證

證明 (1)△ABC 與△ABD 中 ∵ ， ， ∴△ABC △ABD（SSS） 故∠ABC＝∠ABD（對應角相等） (2)△EBC 與△EBD 中 ∵ ，∠ABC＝∠ABD， ∴△EBC △EBD（SAS） 故 （對應邊相等）

如右圖， ， ， ， 與 交於 F 點， 試證∠1＝∠2。

(1)△ABD與△ACE中 ∵ ，∠ADB＝∠AEC＝90°， ∠BAD＝∠CAE ∴△ABD △ACE（RHS） 故 （對應邊相等） (2)△AEF 與△ADF中 ∵ ，∠AEF＝∠ADF＝90°， ∴△AEF △ADF（RHS） 故∠1＝∠2（對應角相等）

如圖3-1，△ABC為等腰三角形， ，將△ABC對摺，使得B點與C點疊合。

如圖3-2，把摺好的三角形打開，則 為△ABC的對稱軸

由此可知： 等腰三角形底邊上的高，就是它的對稱軸，即 (1)等腰三角形底邊上的高平分底邊，且平 分頂角。 (2)等腰三角形的底角相等。

幾何推理進行中，有時僅從「已知條件」的圖形，並不足以直接推導出結論，常常需要在原圖形上添加一些圖形，以便連繫「已知條件」到「要說明的結論」之間的關係，而所添加的圖形稱為輔助線。 在上面的說明已證實等腰三角形的兩底角相等，以下我們再以幾何推論的方法，加以證明。

3 輔助線的應用 如右圖，四邊形ABCD中， ， ，試證∠A＝∠C。

要證明∠A＝∠C，先找到分別以∠A、∠C 為一內角的兩個三角形，可試著連接 ，再證明△ABD與△CBD全等 思路分析一 要證明∠A＝∠C，先找到分別以∠A、∠C 為一內角的兩個三角形，可試著連接 ，再證明△ABD與△CBD全等

證明一 (1)如右圖，連接 。 (2)在△ABD 與△CBD 中 ， ， ， ∴ （SSS） ∠A＝∠C（對應角相等）

若連接 ，可將 ∠A 分成∠1＋∠3， ∠C 分成∠2＋∠4， 若能證明∠1＝∠2，∠3＝∠4， 即可推出∠1＋∠3＝∠2＋∠4。 思路分析二 若連接 ，可將 ∠A 分成∠1＋∠3， ∠C 分成∠2＋∠4， 若能證明∠1＝∠2，∠3＝∠4， 即可推出∠1＋∠3＝∠2＋∠4。

(1)如右圖，連接 。 (2)∵ ， ∴∠1＝∠2。 同理，∠3＝∠4。（ ） (3)∠A＝∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝∠C 故∠A＝∠C。 證明二 (1)如右圖，連接 。 (2)∵ ， ∴∠1＝∠2。 同理，∠3＝∠4。（ ） (3)∠A＝∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝∠C 故∠A＝∠C。

利用三角形的全等性質：考慮△ABD與△ACD。 如右圖， ， 。 試證∠ABD＝∠ACD。 思路分析一 利用三角形的全等性質：考慮△ABD與△ACD。

證明一 (1)連接 。 (2)在△ABD 與△ ACD 中 ∵ ， ， ∴△ABD ACD（SSS） 故∠ABD＝∠ACD（對應角相等）

利用等腰三角形兩底角相等:考慮△ABC與△DBC。 思路分析二 利用等腰三角形兩底角相等:考慮△ABC與△DBC。

(1)連接 。 (2)在△ABC 中， ， ∴∠ABD＋∠1＝∠ACD＋∠2。 (3)在△BCD 中， ∴∠1＝∠2。 證明二 (1)連接 。 (2)在△ABC 中， ， ∴∠ABD＋∠1＝∠ACD＋∠2。 (3)在△BCD 中， ∴∠1＝∠2。 (4)由(2)、(3)得： ∠ABD＝∠ACD

由例題3及隨堂練習可知： 不同的思路會產生不同的輔助線，可以有不同的證法。

4 角平分線分割對邊比 如右圖，△ABC中， 為∠BAC 的角平分線，交 於 D 點，試 證 ＝ 。 (1)過 D 點作 ， 。 (2)∵ 為∠BAC的角平分線， ∴ 。 證明

證明 (3)△ABD：△ACD ＝( ． ． )：( ． ． ) ＝ （ ∵ ） 又△ABD：△ACD＝ ， （同高） ∴ ＝ 。 ＝( ． ． )：( ． ． ) ＝ （ ∵ ） 又△ABD：△ACD＝ ， （同高） ∴ ＝ 。 證明過程的項次符號(1)、(2)、(3)⋯⋯，也可以不必寫出來。

如右圖，△ABC中， ＝8， ＝6， ＝7， 、 、 分別為∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線， 試求： (1) ： 。 (2) 。 (3) ： 。

(1) ： ＝ ： ＝8：6＝4：3 (2) ＝ ＝ × 7＝4 (3) ： ＝ ： ＝8：4＝2：1

5 內冪性質 如右圖，圓上兩弦 、 交 於 P 點，試證 × ＝ ×

證明 連接 、 △ACP 與△DBP 中 ∠ACP＝∠DBP （同 AD 所對圓周角） ∠1＝∠2（對頂角） ∴△ACP∼△DBP（AA） ： ＝ ： 故 × ＝ × ⁀

如右圖，圓上兩弦 、 ，其延長線相交於圓 外 P 點，試證 × ＝ × 。（外冪性質）

連接 、 在△ADP 與△CBP 中 ∵∠P＝∠P ∠A＝∠C＝ BD ∴△ADP∼△CBP（AA） ： ＝ ： 故 × ＝ ×

6 切割線性質 如右圖， 割圓於 B 點， 為圓的切線， 試證 × ＝ 2。

證明 連接 、 △ACP與△CBP中 ∠P＝∠P（公共角） ∠1＝∠2 （弦切角等於同弦所對圓周角） ∴△ACP∼△CBP（AA） ： ＝ ： 故 × ＝ 2

如右圖， 割圓於 B 點， 為圓的切線，若 ＝6， ＝ 4，求 長。 ∵ × ＝ 2 （ ＋4）×4＝62 ∴ ＝5

7 中線不等式 如右圖，△ABC中，M為 中點， 試證 ＋ ＞2 。

證明 延長 到 D 點，使 ＝ 連接 在△BMD 與△CMA 中 ∵ ＝ （已作） ＝ （M 為 中點） ∠1＝∠2（對頂角） ∴△BMD △CMA（SAS） 故 ＝ 在△ABD中 ＋ ＞ ＝2 即 ＋ ＞2

如右圖，△ABC 中， ＝ ＝ ， 請利用例題 7 的結果， 證明 ＋ ＞ ＋ 。

在△ABE中 ∵D為 中點 ∴ ＋ ＞2 ........  在△ADC 中 ∵E 為 中點 ∴ ＋ ＞2 ........  由＋得： ＋ ＞ ＋

1.如何寫幾何推理： (1)將「已知條件」寫在 。 (2)將「要說明的結論」寫在 。 (3)將「推導或說明的過程」寫在 。 已知 求證 證明

2.思路分析與證明： (1)幾何證明的寫作，要從分析出發，才能確定證明的方向與步驟。 (2)思路分析，是從「結論」推到「已知條件」；而證明的書寫則依分析的結果由「已知條件」逐步推理至「結論」。

3.輔助線： 幾何推理進行中，有時僅從「已知條件」的圖形，並不足以直接推導出結論，常常需要在原圖形上添加一些圖形，以便連繫「已知條件」到「結論」之間的關係。 4.思路分析與輔助線： 不同的思路會產生不同的輔助線，可以有不同的證法。

當我聽別人講解某些數學問題時，常覺得很難理解，甚至不可能理解。這時便想，是否可以將問題化簡些呢﹖往往，在終於弄清楚之後，實際上，它只是一個更簡單的問題。 —希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）

( ) 1.如右圖，圓內兩弦 、 C 相交於Q點， 切圓於 C 點，並交 延長線於P點 ，下列敘述何者正確？ (A) (B) (C) (D) 3-1 自我評量 ( ) 1.如右圖，圓內兩弦 、 相交於Q點， 切圓於 C 點，並交 延長線於P點 ，下列敘述何者正確？ (A) (B) (C) (D) C

2. 如下圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°， ＝c， ＝a；△DEF 中， ＝c， ＝a， ＝ 。 已知 △DEF 為直角三角形。 求證

證明 ∵△ABC 為直角三角形，且∠B＝90°， 由勾股定理知： ， ＝_______ 在△ABC 與△DEF 中 ∵ ，_________，_________　　 ∴ （_____） ∠B＝∠E＝90°( __________ ) 故△DEF 為直角三角形。 SSS 對應角相等

3.如右圖，△ABC 中，∠1＝∠2， ，試證△ABC 為等腰三角形。 證明 (1) ∴∠2＝∠C，∠1＝∠B (2)∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C 故 即△ABC為等腰三角形

∵∠ABD＝∠DCA，∠AOB＝∠DOC， ∴ （AAS） 故 （對應邊相等） 證明 4.如右圖，四邊形ABCD中，∠ABD＝ ∠DCA，∠1＝∠2，試證 O (1)在△OAD 中，∠1＝∠2， ∴ (2)在△AOB與△DOC中 ∵∠ABD＝∠DCA，∠AOB＝∠DOC， ∴ （AAS） 故 （對應邊相等） 證明

5.如右圖， 為圓O1的切線， 為圓O2的切線，A為切點， 試證 ∠BAD＝180°－ ∠BCD。 （提示：連接 ）

證明 (1)連接 (2)∠1＝∠BCA＝ AB ∠2＝∠ACD＝ AD ∠BAD＝360°－∠1－∠2－∠EAF ＝360°－∠BCA－∠ACD－∠BAD ＝360°－∠BCD－∠BAD 2∠BAD＝360°－∠BCD ∴∠BAD＝180°－ ∠BCD

6.如右圖，△ABC中， ＝4， ＝8， ＝6， ＝2，則： (1)試證△ABC∼△AED。 (2)若 ＝3.5，試證 ＝7。

(1)在△ABC與△AED中 ： ＝（4＋8）：6＝2：1 ： ＝（6＋2）：4＝2：1 ∵ ： ＝ ： ，∠A＝∠A ∴△ABC∼△AED（SAS 相似） (2)∵△ABC∼△AED ∴ ： ＝ ： ＝2：1 ：3.5＝2：1 ＝7 證明