3．2　立体几何中的向量方法   3．2.1　用向量方法解决平行与垂直问题

学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面垂直、平行关系．

3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练

1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a∥b⇔ 课前自主学案 温故夯基 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a∥b⇔ _________________________________________ ． a⊥b⇔____________________________. 2．所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量_____________的向量，一条直线的方向向量有______个． a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 平行(或共线) 无数

知新益能 1．平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的__________a，则a叫做平面α的法向量． 2．空间中平行关系的向量表示 方向向量 线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔______. a∥b

线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔_____. 面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔_____. a⊥u u∥v

3.空间中垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直 设直线l的方向 向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)， 则l⊥m⇔_____. 向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔______. 设平面α的法向 量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔_____. a⊥b a∥u u⊥v

问题探究 一个平面的法向量惟一吗？ 提示：不惟一．

若要求出一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤为： (1)设出平面法向量n＝(x，y，z)； 课堂互动讲练 考点突破 平面的法向量的求解与判定 若要求出一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤为： (1)设出平面法向量n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；

已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面ABC的一个法向量． 例1 【思路点拨】

利用空间向量证明平行问题 用向量方法证明空间中的平行关系 线线平行 设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．

线面平行 ①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. ②根据线面平行判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． ③证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示． 面面平行 转化为相应的线线平行或线面平行． ②求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.

已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 例2 【思路点拨】　先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用直线的方向向量和平面的法向量间的关系证明线面平行和面面平行．

互动探究1　在本例条件下，若O1为B1D1的中点,求证：BO1∥平面ACD1.

利用空间向量解决垂直问题 用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理．

在正棱锥P­ABC中，三条侧棱两两垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. (1)求证：平面EFG⊥平面PBC； (2)求证：EG⊥BC，PG⊥EG. 【思路点拨】　面面垂直可转化为线面垂直或两平面的法向量相互垂直来证明． 例3

【证明】　(1)法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．

【名师点评】　证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．

变式训练2　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.

方法感悟 1．直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具，是实现空间问题的向量解法的媒介． 2．用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理．

3．用向量方法证明平行、垂直问题的步骤： (1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面； (2)通过向量运算研究平行、垂直问题； (3)根据运算结果解释相关问题．

知能优化训练

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