行星運動 人類對天體的運行一直充滿著好奇與幻想，各式各樣的傳說與理論自古即流傳於各地。在這些論述中，不乏各式神鬼傳說與命運註解，也包含了許多爭論不休的學術觀點。雖然這些形而上的虛幻傳奇仍然流傳於坊間，但是科學上的爭執卻因牛頓重力理論(law of gravitation)的出現而大致底定。

早期希臘天文學家托勒密(Claudius Ptolemy)所構思以地球為中心的太陽系系統，歷經一千四百年未被推翻，直到1530年波蘭天文學家哥白尼(Nicolus Copernicus)提出太陽為太陽系之中心，而地球為環繞太陽運轉的行星之一的學說方正式挑戰地球為中心的迷思。

在此紛爭不休的論戰中，丹麥天文學家Tycho Brahe採取了一個不同的思維，他認為解決這些爭執最好的方式為準確的量測這些行星的確切位置。當這些行星的運動被明確的量出時，或許會幫助建立正確的模型。這是個偉大的主義，卻也是一個精細，困難且耗時的實驗。他窮其一生，成功的建立一龐大且正確的天文資料庫，只可惜他未能在生前見到他的觀測結果所引起科學上的重大突破。

德國數學與天文學家Johannes Kepler於Brahe去世前擔任過其短暫的助理工作，承接了這項工作，又耗費了十六年的時間於資料的整理與數學模型推導，最後終於在火星繞行太陽的運轉運動中有所突破。Kepler將他的發現歸結為三個敘述，此即為後世所知的Kepler三大定律

Kepler三大定律 (一)All planets move in elliptical orbits with the Sun at one focal point. (二) The radius vector drawn from the sun to a planet sweeps out equal areas in equal time intervals. (三)The square of the orbit period of any planet is proportional to the cube of the semimajor axis of the elliptical orbit.

動力學的發展

在牛頓的眼中，這有可能表示砲彈永遠不會掉落到地上。亦即只要砲彈於單位時間所自由掉落的距離與其水平運動的距離比，剛好等於地球弧度所引起的高度變化，則砲彈將永遠繞著地球走。這是另一個重要的觀念突破，根據牛頓的這項推測，促使行星繞著太陽運行背後的推力並非沿著運行的方向，而是當行星改變運動方向時，其所受的力為側向力。

根據Kepler的描述，行星繞著太陽運行所掃過的面積dA（如右圖所示）對時間的變化率dA/dt=常數，由面積變化 這相當於 也就是說Kepler第二定律所描述的現象，基本上為角動量守恆的結果。

牛頓瞭解到天體運動中星體的環繞運動應為彼此之間存在著一剛好沿著連接物體方向上的吸引力。由Kepler第三定律的描述，此吸引力的大小會隨著物體間距離的變化而改變，Kepler描述 此結果顯示沿著連接物體方向上吸引力的大小與距離平方的倒數成正比。

(Newton’s Law of Universal Gravitation) 牛頓萬有引力定律 (Newton’s Law of Universal Gravitation) 牛頓很聰明的體會到，這結果應該為一種”普遍”的現象，亦即萬物之間應存有一沿著連接物體方向上的吸引力，而其大小與距離平方的倒數成正比 。 此即為牛頓的萬有引力定律，其中G為萬有引力常數(universal gravitational constant)

某人造衛星於地表230公里高度運行，其運轉週期為89分鐘。(一)列出地球質量與衛星運轉高度及周期的關係(二)求出地球質量(R~6370公里)

地球內外的重力 假設地球為一質量M半徑為R的均勻球，不考慮自轉，當r>R 當r<R，僅半徑為r的球內質量對重力有貢獻 地表的重力應該為

An object of mass m moves in a smooth, straight tunnel dug between two points on the Earth’s surface(see figure). Show that the object moves with simple harmonic motion, and find the period of its motion.

(Gravitational Potential Energy) 重力位能 (Gravitational Potential Energy) 方便起見，定義無限遠處之位能為零。

所以質量為m的物體以速度v環繞質量為M的靜止物體運動，在M>>m的情況下，此系統的總能量為 移方向與力垂直時，不做功，故位能均相同。即位能僅與兩質點的相對距離大小有關，與方向無關，用數學表示U(r)=U(r)。而且對於任一位置r，均可定義唯一之位能（若參考位能零點已定義），合乎保守力之要求。 上面的推論可簡潔地寫成 所以質量為m的物體以速度v環繞質量為M的靜止物體運動，在M>>m的情況下，此系統的總能量為

Please estimate how far above the earth surface that the goesynchronous orbit would be? Knowing that the period of geosynchronous orbit must be one day (86400 sec), we can then apply Kepler’s third law to find the radius

由於維繫質量為m的物體環繞質量為M的靜止物體作圓周運動的束縛力為二者之間的萬有引力，所以 將此結果代入總能中，我們可得到

A space shuttle release a 470Kg communication satellite while in an orbit that is 280 km above the earth surface. A rocket engine boosts the satellite into a goesynchronous orbit. How much energy did the engine have to provide?

逃脫速度（Escape velocity） 由星球表面逃脫該星球引力範圍之最小速度。在星球表面時之總能最少要為零方有機會逃脫，即 用星球表面之重力加速度g表示