當力只與位置有關時的運動方程式
彈簧方塊組的簡諧運動 Simple Harmonic Motion 找到兩個解
定理 如果已找到兩個函數 都滿足方程式 那麼任一線性組合 也滿足該齊次方程式！ 得證
對以前的齊次方程式 很容易找到兩個解 那麼任一線性組合 也該齊次方程式的解！
簡諧運動的解 正弦函數與餘弦函數的兩次微分都和負的自己成正比！ 很容易找到兩個解 那麼任一線性組合 也是解！ a,b由起始條件決定 這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件，因此是唯一的解！ 不用再找了！
較容易明瞭的表示式
xm及ω的物理意義：振幅及角頻率。 週期函數
動畫 Simulation
假想圓是一個很好的工具，但不是真的有一個圓！ http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102
相角 ϕ 的物理意義，假想圓上的出發角度。 動畫 Simulation
不是只有彈簧才是簡諧運動！ 小角度近似：
http://www.youtube.com/watch?v=8c-log_6bxk 許多物體的震盪也是簡諧運動 所以也可以用同樣的振幅、周期、相角來描述！ http://www.youtube.com/watch?v=8c-log_6bxk
鋼條的震動
鋼條的震盪不只一種：扭曲！
有些震盪是非常扭曲複雜的！
震盪模式有很多種： 不同模式周期不同
在一個平衡點的附近，力與位移的關係必定是一條通過平衡點的直線，也就是與彈簧相同！ 彈力常數即是通過平衡點的切線斜率！
任何一個在平衡點附近的小規模運動都是簡諧運動！ q 5Q Q F 45°
為什麼稱為簡諧運動？ 任一和諧（週期）函數可以寫成一系列簡諧運動函數的疊加。 Fourier Series
Damped Oscillation 阻尼震盪 阻力項大致與震盪解相差90°相角。 動畫 Simulation
振幅呈現指數衰減！
指數遞減
http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124
阻尼可以大到連一次震盪都未完成！
101五十噸的阻尼球
若想使彈簧繼續震盪，必須施以一周期性的外力。
http://www.walter-fendt.de/ph11e/resonance.htm http://techtv.mit.edu/collections/physicsdemos/videos/769-mit-physics-demo----driven-mechanical-oscillator
風吹或地震對101即是外力！
電磁波打在一個點電荷上的散射現象，也是如此。
外力下的震盪 Forced Oscillation 週期外力的角頻率 彈簧內在的角頻率 非齊次方程式
非齊次方程式的定理 如果已找到兩個函數 都滿足非齊次方程式 那麼兩者的差 滿足所對應的齊次方程式！ 得證 所以，任何一個滿足非齊次方程式的函數與真正解的差距就一定是一個齊次方程式的解（包含未定可調常數）。
這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件，因此是唯一的解！ 猜一個可以滿足非齊次方程式的函數 加上一個所對應齊次方程式的通解 就可以包含所有非齊次方程式的解！ 不用再找了！ 運動方程式 猜一個解 加上一個所對應齊次方程式 的通解 以起始條件確定未決定的係數 不用再找了！ 這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件，因此是唯一的解！
猜測 因為它的兩次微分還是正比於同樣的正弦函數！ 代入 得到一個解 彈簧的反應依然是簡諧運動，但周期是施力的周期，而不是彈簧的自然周期！ 但振幅的大小卻與施力週期密切相關： 共振 Resonance 施力的頻率愈接近彈簧的自然頻率，反應愈強，能量的輸入愈好。
加上一個 調整xs中的 a,b 以滿足起始條件 這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件，因此是唯一的解！ 不用再找了！
與外力的振幅成正比 以外力的頻率來震盪，而不是彈簧的自然頻率！ 外力頻率越接近彈簧的自然頻率，震動也就越大！ 追求物理學三大定律
施力週期越接近自然周期，彈簧的反應越大！ 共振 Resonance
考慮摩擦阻力後 共振曲線的寬度與阻力大小成正比
共振曲線的寬度與阻力大小成正比
物理教科書上出現最多的一個圖形。
模擬 http://www.walter-fendt.de/ph11e/resonance.htm http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124
實際影片 http://techtv.mit.edu/collections/physicsdemos/videos/769-mit-physics-demo----driven-mechanical-oscillator
建築與物體必須避免其自然周期與外力的施力週期接近的狀況。 地面因地震而震盪
物體的共振 http://www.youtube.com/watch?v=jX5oJ0NpNEI http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E&NR=1
但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。
Tacoma Narrows Bridge
Takoma Bridge
http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
吸收
空氣柱中的聲波
彈簧的能量守恆
守恆量