第五章　三角比 5.5.4 二倍角与半角的正弦、余弦和正切 5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形

正弦定理 三角形中， 各边与它对角的正弦的比相等 三角形面积公式 三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半

例1.在 中， 求 和该三角形的面积. (结果保留至个位数) 解： 同理： 解毕

例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边. (结果精确到0.01) (1) (2) 解:(1) 或

例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边. (结果精确到0.01) (2) 解:(2) 或 当 时， 当 时， 解毕

解三角形 一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做 三角形的元素， 已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理 可以解决以下两类解三角形问题： (I)已知两角及任一边，求其他角和边； (II)已知两边与其中一边的对角，求其他角和边.

课堂练习 1.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm) (1) (2) 2.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm) (1) (2) 3.在 中，已知 试判断 的形状.

课堂练习答案 1.(1) (2) 2.(1) 或 (2) 3.等边三角形

第五章　三角比 5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形

余弦定理 三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 另一种形式：

例1.在 中， 求 . (角度精确到 ，边长精确到1) 解： 解毕

例2.在 中，已知 ，求各 角及其面积(精确到0.1) 解: 同理，得 解毕

课堂练习 1.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm) (1) (2) 2.已知三角形三边之比为 ，求最大内角. 3.已知 中， ，求 4.在 中， 是锐角，求证：

课堂练习答案 1.(1) (2) 2. 3.解： 解得 4.证： 证毕

解三角形 一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做 三角形的元素， 已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形. 利用余弦定理及其变形 可以解决以下两类解三角形问题： (I)已知两边及夹角，求夹角的对边； (II)已知三边，求角. (III)已知两边及一边的对角，求边.

第五章　三角比 5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形

扩充的正弦定理 一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长 证： (同弧所对圆周角相等) (半圆弧所对圆周角为直角) 证毕

例1.在 中， ，判断 的形状. 解：根据正弦定理得 代入条件并化简得 即 或者 得 或 所以 为等腰三角形或直角三角形. 解毕

例1.在 中， ，判断 的形状. 解法二：根据余弦定理得 代入条件并化简得 解得 或 所以 为等腰三角形或直角三角形. 解毕

例2.若锐角 的三边长分别是 ， 试确定 的取值范围. 解： 由两边之和大于第三边， 解得 由最大角为锐角，得 解得 综上，当 时，边长满足条件. 解毕

课堂练习 1.已知三角形边长为 ，求外接圆半径R. 2.三角形满足 ，判定其形状. 3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度 数.(精确到 ) 4.在 中，求证：

课堂练习答案 1.已知三角形边长为 ，求外接圆半径R. 解： 得 解毕 2.三角形满足 ，判定其形状. 解： 得 该三角形为等腰三角形. 解毕

课堂练习答案 3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度 数.(精确到 ) 解：设边长为 且 化简得 且 因此 最大角余弦值为 ， 角度约为 解毕

课堂练习答案 4.在 中，求证： 证：左边= =右边 证毕

第五章　三角比 5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形

问题一 测量可视但不可达的距离 例1.设 两点在河的两岸，要测量两点之间的 距离，测量者与 在同侧，选定所在河岸一点 ， 测出 距离 ， 求 两点间的距离(精确到 ) 解：由正弦定理，得 答略 解毕

问题一 测量可视但不可达的距离 例2.设 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一 种测量 两点间距离的方法. 分析 根据例1 测出 再测出 解：在河岸选定两点 测得

问题一 测量可视但不可达的距离 例2.设 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一 种测量 两点间距离的方法. 解：在 中， 同理在 中 解毕

问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度 例3.河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高 的方法. 分析 根据例1的方法测出 再测出仰角 解：在河岸选定两点 测得 仰角

问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度 例3.河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高 的方法. 解:在 中 在 中， 因此 解毕

(选用)问题三 测量角度 例4.一艘海轮从 出发，沿北偏东 的方向航行 67.5海里后到达海岛 ，然后从 出发，沿北偏 东 的方向航行54.0海里后到达海岛 .如果下次 航行直接从 出发到 .此船应沿怎样的方向航行 需要航行多少距离？(精确到 0.1)

(选用)问题三 测量角度 解: 在 中，由余弦定理，得 (海里)

(选用)问题三 测量角度 续解: (海里) 由正弦定理，得 答略 解毕