抽样和抽样分布 基本计算 Sampling & Sampling distribution 数理统计课题组
来自总体X的随机样本X1, … ,Xn可记为 显然,样本联合分布函数或密度函数为 或 或 或
? 3.总体、样本、样本观察值的关系 理论分布 总体 样本观察值 样本 统计是从手中已有的资料——样本观察值,去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到样本观察值的规律,因而可以用样本观察值去推断总体
抽样 简单随机抽样:抽取样本量为n的样本,分为有放回的抽样和无放回的抽样。 观察hospital中不同抽样样本量下统计量 的分布
二、统计量 定义:称样本X1, … ,Xn 的函数g(X1, … ,Xn )是总体X的一个统计量,如果g(X1, … ,Xn )不含 未知 参数 几个常用的统计量 :
中心极限定理 总体分布 抽样分布 (n较小 ) 抽样分布 (n较大 ) X X X
3.样本k阶矩
性质 E
2 抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布: 2—分布、 t —分布和F—分布。 一、 2—分布
2.2—分布的密度函数f(y)曲线
3. 分位点 设X ~ 2(n),若对于:0<<1, 存在 满足 为 则称 分布的上尾分位点。
二、t—分布 1.构造 若~N(0, 1), ~2(n), 与独立,则 4.性质: a.分布可加性 若X ~ 2(n1),Y~ 2(n2 ), X与 Y独立,则 X + Y ~ 2(n1+n2 ) b.期望与方差 若X~ 2(n),则 E(X)= n,Var(X)=2n 二、t—分布 1.构造 若~N(0, 1), ~2(n), 与独立,则 t(n)称为自由度为n的t分布。
t(n) 的概率密度为
:0<<1,存在t(n)>0, 满足P{Tt(n)}=, 2.基本性质: (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数,即 3.分位点 设T~t(n),若对 :0<<1,存在t(n)>0, 满足P{Tt(n)}=, 则称t(n)为 t(n)的上侧分位点
注:
三、F分布 1.构造 若1 ~2(n1), 2~2(n2),1, 2独立,则 称为第一自由度为n1 ,第二自由度为n2的F—分布,其概率密度为
P{FF(n1, n2)}=, 则称F(n1, n2)为 对于:0<<1, 若存在F(n1, n2)>0, 满足 P{FF(n1, n2)}=, 则称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点;
注: 证明:设F~F(n1,n2),则 得证!
4.3 正态总体的抽样分布定理 证明: 是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布
且U与V独立,根据t分布的构造 得证!