§4 谓词演算的性质 谓词逻辑Pred(Y)。 是Y上的关于类型 {F,→,x|xX}的自由代数 赋值 形式证明

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定义19.17:设P1=P(Y1)和P2=P(Y2),其个体变元与个体常元分别为X1,C1和 X2,C2,并且或者C1=或者C2。一个半同态映射(,):(P1,X1∪C1)→(P2,X2∪C2)是一对映射: P1→P2; : X1∪C1→X2∪C2,它们联合实现了映射p(x,c)→(p)((x),
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定义18.2:设X是可列集,X上的自由T-代数称为X上关于命题演算的命题代数,记为P(X),并称X为命题变量集,X中的元素称为命题变元,P(X)中的每个元素称为命题演算的合式公式,简记为wff,仅由一个命题变元符组成的合式公式称为原子公式,所有原子公式全体称为原子公式集。
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§4一般逻辑系统 定义18.17:一个逻辑L是由下述集合所组成的系统:元素(称为命题)集P;函数集V(这些函数都是从P到某个值集W的,称为赋值.特别若|W|>2则称L为多值逻辑系统);以及对应于P的每个子集A导出P中元素的有限序列集(称为由前提A得到的证明)。
§2 自由代数 定义19.7:设X是集合,G是一个T-代数,为X到G的函数,若对每个T-代数A和X到A的函数,都存在唯一的G到A的同态映射,使得=,则称G(更严格的说是(G,))是生成集X上的自由T-代数。X中的元素称为生成元。 A变, 变 变, 也变 对给定的 和A,是唯一的.
一、格 格的定义,最大元,最小元,有界格,有补格 子格(是格不一定是子格), 给定Hasse图,判断是否分配格,布尔格
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§4 谓词演算的性质 谓词逻辑Pred(Y)。 是Y上的关于类型 {F,→,x|xX}的自由代数 赋值 形式证明 赋值解释和证明之间的关系

定理21.8(可靠性定理):设AP(Y),pP(Y)。若A┣p,则有A╞p。 对证明序列长度用归纳法 其他与命题逻辑类似,考虑pn=xq(x) 设q1(x), q2(x),… qk(x)=q(x)是由A的子集导出q的证明序列,其中xvar(A0) 利用量词深度, 设d(pn)=r,引进新变量x'X∪C, 根据赋值概念讨论 由于增加了新变量,必须构造新的谓词代数P(Y') 构造P(Y)到P(Y')的半同态映射 利用代换定理

推论21.1:(协调性定理):F不是Pred(Y)的定理。 引理21.4:设A是P(Y)的协调子集。如果xp(x)A,yvar(A),且y不在p(x)中出现,则FDed(A∪p(y))。 反证:若FDed(A∪p(y)),设法证明FDed(A) 由演绎定理和G规则得yp(y)Ded(A), 再由约束变元可替换性得xp(x)Ded(A), 利用MP规则可得FDed(A),与A协调矛盾

引理21. 5:设A是P(Y)的协调子集,则存在XX. ,AA. ,这里A. P(Y. )(P(Y. )与 P(Y)的区别是:P(Y 引理21.5:设A是P(Y)的协调子集,则存在XX*,AA*,这里A*P(Y*)(P(Y*)与 P(Y)的区别是:P(Y*)中的项集为X*∪C 上的自由代数),使得: (i)FDed(A*),并且 (ii)对所有的pP(Y*),或者pA*,或者pA*,并且 (iii)如果xp(x)A*,则存在x'X*,使得p(x')A*。 相当与命题逻辑中极大协调的概念 基本步骤是根据公式中的存在量词,添加谓词公式到A*。 引理21.4,引理20.5

定理21.9(可满足性定理)设A是P(Y)的协调子集,则存在P(Y)的解释域U和项解释,使得赋值函数v(A){1}。 不失一般性,假设X,A是满足引理21.5的(i),(ii)和(iii)。现构造解释域如下: 令U=I,1(c)=c, 2(fni)=fn'i,3(Rni)=Rn'i,定义fn'i(t1,…,tn)=(fni, t1,…,tn),并规定:当 Rni(t1,…,tn)A时,(t1,…,tn)Rn'i,否则,(t1,…,tn)Rn'i。又定义变元指派0(x)=x,由此扩张为项解释,这就构成了P(Y)的解释域和项解释。

在此U和下,定义函数v: P(YU,)→Z2如下:当p A时,v(p)=1,否则v(p)=0。下面证明v是满足赋值函数的定义(a)(b)(ck)