二元一次聯立方程式 代入消去法 加減消去法 自我評量

　 根據一個問題的敘述，有時可同時列出兩個二元一次方程式，例如： 已知 10 元與 5 元兩種硬幣共 7 枚，總共有 60 元。若要求硬幣的個數，可設 10 元硬幣有 x 枚，5 元硬幣有 y 枚，則：

由「兩種硬幣共 7 枚」，可列得方程式 x＋y＝7； 因為這兩個二元一次方程式，同時用來表示問題中的數量關係，所以把這兩個方程式並列寫成 像這樣並列在一起的二元一次方程式稱為二元一次聯立方程式。

根據下列各問題，列出方程式︰ (1)某餐廳 A 餐的價格是 x 元，B 餐的價格是 y 元。星光幫點了 1 份 A 餐及3 份 B 餐，共花了 426 元；超偶幫點了 2 份 A 餐及 2 份 B 餐，共花了 416 元。

(1)由「星光幫花了 426 元」，可列得方程式： _____________________________________。 由「超偶幫花了 416 元」，可列得方程式： 因此可列得二元一次聯立方程式： x＋3y＝426 2x＋2y＝416

(2)童軍課分組，柯西的小組一共有 8 人，其中男生 x 人，女生 y 人，且女生人數是男生人數的 3 倍。

(2)由「小組一共有 8 人」，可列得方程式： ____________________________________。 由「女生人數是男生人數的 3 倍」，可列得 方程式：____________________________ 。 因此可列得二元一次聯立方程式： x＋y＝8 y＝3x

當二元一次聯立方程式中的未知數（如x與 y），以一組特定的值代入，可使得兩個式子的等號均成立時，便稱該組 x、y 的值為此聯立方程式的解。

1 解的檢驗 下列哪一組 x、y 是二元一次聯立方程式 的解？   (1)x＝5，y＝2 (2)x＝6，y＝0 (3) x＝2，y＝5

(1)當 x＝5，y＝2： 代入式得：左式＝x＋y＝ 5＋2＝7＝右式 代入式得： 左式＝10x＋5y＝10×5＋5×2 解 (1)當 x＝5，y＝2： 代入式得：左式＝x＋y＝ 5＋2＝7＝右式 代入式得： 左式＝10x＋5y＝10×5＋5×2 ＝50＋10＝60＝右式 所以 x＝5，y＝2 為此聯立方 程式的解。 為了說明方便，我們常將聯立方程式中的式子編號。

(2)當 x＝6，y＝0： 代入式得：左式＝x＋y＝6＋0＝6≠右式 所以 x＝6，y＝0 不是此聯立方程式的解。 (3)當 x＝2，y＝5： 代入式得：左式＝x＋y＝2＋5＝7＝右式 代入式得：左式＝10x＋5y＝10×2＋5×5＝ 20＋25＝45≠右式 所以 x＝2，y＝5 不是此聯立方程式的解。

1.下列哪一組 x、y 是二元一次聯立方程式 的解？ (3) (1) x＝3，y＝4　 (2) x＝－5，y＝2　 (3) x＝4，y＝1

2. x＝2，y ＝3 是下列哪一組二元一次聯立方程式 的解？ (1) (1) (2) (3)

我們已經知道，可用代入的方式來檢驗二元一次聯立方程式的解，但是要如何求得解呢？接著以下面的二元一次聯立方程式來介紹一個常用的方法。 例如︰解二元一次聯立方程式   為了方便， 我們分 三個步驟來說明。

步驟一： 由式可知 y＝2x， 因此式 x＋ y＝30 可取代為 x＋2x＝30 3x＝30 x＝10 消去未知數 y，使第式變為 x 的一元一次方程式，就可以求得 x 的值。

步驟二： 要求 y 值，只要再將 x＝10 代入式即可，所以 y＝2x＝2×10＝20 步驟三： 最後驗算解是否正確： 將 x＝10，y＝20 代入式得：20＝ 2×10，等號成立； 代入式得：10＋20＝30，等號成立。 因此 x＝10，y＝20 為二元一次聯立方程式 的解。  

利用取代的方式，消去一種未知數的解題方法， 稱為代入消去法。

在上述的步驟中，若將求得的 x＝10 代入式，是否也可求得 y＝20？

步驟三的驗算是為了檢查答案是否正確，如同之前解一元一次方程式一樣，只要自行檢驗即可，不一定要將檢驗的過程寫出來。求二元一次聯立方程式解的過程稱為解聯立方程式。

2 代入消去法(直接型) 利用代入消去法解二元一次聯立方程式  

將式 y＝2x＋1 代入式得： x＋2（2x＋1）＝12 x＋4x＋2＝12 5x＝10 x＝2 由式可知 y 可被 2x＋1 取代， 解 由式可知 y 可被 2x＋1 取代， 因此式 x＋ 2y ＝12 可取代為 x＋2（2x＋1）＝12 同時也要注意括號的使用。

將 x＝2 代入式得： y＝2x＋1 ＝2×2＋1 ＝5 驗算： 將 x＝2，y＝5 代入式得： 5＝2×2＋1，等號成立； 驗算可以不必寫出來。 驗算： 將 x＝2，y＝5 代入式得： 5＝2×2＋1，等號成立； 代入式得： 2＋2×5＝12，等號成立。 因此解為 x＝2，y＝5。

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝ ，y＝1 x＝4，y＝2

前面的例題都是利用 y 被 x 的一次式所取代來解題，當然在解題時，x 也可被 y 的一次式所取代。

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝4，y＝2 x＝－15，y＝－10

3代入消去法(直接移項) 利用代入消去法解二元一次聯立方程式  

式是由移項法則所得到的，為了方便表示，我們給予編號。 解一 用 x 的一次式取代 y 由式得： y＝3－x ……. 將式代入式得： 2x－3（3－x）＝1 2x－9＋3x＝1 5x＝10 x＝2 式是由移項法則所得到的，為了方便表示，我們給予編號。

將 x＝2 代入式得： y＝3－x ＝3－2 ＝1 因此解為 x＝2，y＝1。 也可將x＝2代入式或式， 不過，代入式較直接。

用 y 的一次式取代 x 由式得：x＝3－y……..  將式代入式得： 2（3－y）－3y＝1 6－2y－3y＝1 －5y＝－5 解二

將 y＝1 代入式得： x＝3－y ＝3－1 ＝2 因此解為 x＝2，y＝1。

4 代入消去法(限制移項) 利用代入消去法解二元一次聯立方程式  

由式得：b＝3－2a…... 將式代入式得： 3a＋5（3－2a）＝22 3a＋15－10a＝22 －7a ＝7 a ＝－1 解

將 a＝－1 代入式得： b＝3－2a ＝3－2×（－1） ＝3＋2 ＝5 因此解為 a＝－1，b＝5。

5 代入消去法(直接型) 利用代入消去法解二元一次聯立方程式  

將式 4x＝9y 代入式得： 9y－3y＝18 6y＝18，y＝3 式的4x可直接 用9y 來取代。 將 y＝3 代入式得： 4x＝9×3＝27，x＝ 因此解為 x＝ ，y＝3。 解 式的4x可直接 用9y 來取代。

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝1，y＝0 x＝1，y＝1

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式： (3) (4) a＝1，b＝ m＝－1，n＝3

前面的例題與隨堂練習，都能明顯的挑選出一個式子，只要作加減移項甚至不須移項，就能做未知數的取代。但有些聯立方程式，還須利用乘除的等量公理才行，解這種聯立方程式就複雜一些。

6 代入消去法(乘除型) 利用代入消去法解二元一次聯立方程式  

利用等量公理，將等號兩邊同乘以 2，可去掉式子中的分母。 由式得：x＝ …… 將式代入式得： 3（ ）－ 5y＝1 3（7－3y）－10y＝2 21－9y－10y＝2 －19y＝－19 y＝1 2x＋3y＝7 ﹐ 2x＝7－3y， x＝ 解 利用等量公理，將等號兩邊同乘以 2，可去掉式子中的分母。

將 y＝1 代入式得： x＝ ＝ ＝2 題目複雜，驗算就更重要。 驗算： 將 x＝2，y＝1 代入式得： 4＋3＝7，等號成立； 代入式得： 6－5＝1，等號成立。 因此解為 x＝2，y＝1。

利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝ ，y＝ x＝3，y＝7

接著學習另一種解聯立方程式的方法，我們先以下面的聯立方程式為例，說明這個方法的步驟：  

首先觀察、兩式，發現＋3y 與－3y 互為相反數，若將兩式等號左邊的式子相加，未知數y 就會消掉，因此式＋式可得： 2x ＋3y ＝33 5x －3y ＝ 9 ＋) 2x＋5x＝7x 7x ＝ 42 x ＝ 6

要求 y 值，只要將 x＝6 代入式或式即可。 將 x＝6 代入式得： 2×6＋3y＝33 12＋3y＝33 3y＝21 y＝7 兩式相加指的是將兩式等號左邊相加，右邊也相加。兩式相減也是一樣的。

驗算： 將 x＝6，y＝7 代入式得：12＋21＝33，等號成立； 代入式得：30－21＝9，等號成立。 因此解為 x＝6，y＝7。 上面的解題過程，是利用兩式相加消去了一個未知數，當然利用兩式相減也可以，我們接著看後面的例題。

7 兩式加減求解  解二元一次聯立方程式  由式－式可得： 2x ＋3y ＝－7 2x ＋5y ＝－9 －) －2y ＝ 2 3y－5y＝－2y

將 y＝－1 代入式得： 2x＋ 3×（－1）＝－7 2x＝－4 x＝－2

驗算： 將 x＝－2，y＝－1 代入式得：2×（－2）＋3×（－1）＝－7， 等號成立； 代入式得：2×（－2）＋5×（－1）＝－9， 等號成立。 因此解為 x＝－2，y＝－1。 利用式子的相加或相減，消去一種未知數的解題方法，稱為加減消去法。

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝－2，y＝3 a＝2，b＝4

當聯立方程式無法透過直接相加或相減來消去其中一個未知數時，就要先利用等量公理來調整，如下例。

8加減消去法(單乘型) 利用加減消去法解二元一次聯立方程式  

消去 x 式× 3得： 3x－6y＝33…… 式－ 式可得： 式×3才能使兩式的 「3x」經由相減消去。 3x ＋4y ＝23 解一 式×3才能使兩式的 「3x」經由相減消去。 3x ＋4y ＝23 3x －6y ＝33 －) 4y－(－6y)＝10y 10y ＝ －10 y ＝ － 1

將 y＝－1 代入式得： x－2×（－1）＝11 x＋2＝11 x＝9 因此解為 x＝9，y＝－1。

消去 y 式×2 得： 2x－4y＝22…… 式＋式可得： 「＋4y」和「－4y」要相加才能消掉。 3x ＋4y ＝23 解二 「＋4y」和「－4y」要相加才能消掉。 3x ＋4y ＝23 2x －4y ＝22 ＋) 3x＋2x＝5x 5x ＝ 45 x ＝ 9

將 x＝9 代入式得： 9－2y＝11 －2y＝2 y＝－1 因此解為 x＝9，y＝－1。

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) m＝ ，n＝ x＝9，y＝6

9加減消去法(雙乘型) 利用加減消去法解二元一次聯立方程式  

消去 x 式×3 得： 6x＋9y＝21…… 式×2 得： 6x－10y＝2…… 式－式可得：   6x ＋9 y ＝21 解一 都化成「6x」   6x ＋9 y ＝21 6x －10y ＝ 2 －) 9y－(－10)y＝19y 19y ＝ 19 y ＝ 1

將 y＝1 代入式得： 2x＋3＝7 2x＝4 x＝2 因此解為 x＝2，y＝1。

消去 y 式×5 得： 10x＋15y＝35…… 式×3 得： 9x－15y＝3……… 式＋式可得： 10x ＋15y ＝35 解二 化成「＋15y」 和「－15y」 10x ＋15y ＝35 9x －15y ＝ 3 ＋) 10x＋9x＝19x 19x ＝38 x ＝ 2

將 x＝2 代入式得： 2×2＋3y＝7 3y＝3 y＝1 因此解為 x＝2，y＝1。 比較第 29 頁例題 6 與第 33 頁例題 9，你會喜 歡哪一種方法呢？

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝4，y＝3 x＝3，y＝－1

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式： (3) (4) x＝ ，y＝ x＝－ ，y＝

　 有些聯立方程式需先經過移項、化簡後，才方便使用加減消去法。

10加減消去法(須移項) 利用加減消去法解二元一次聯立方程式  

由式可得：3x＋2y＝12……. 由式可得：4x＋3y＝20……. 式×3 得：9x＋6y＝36………⑤ 解 由式可得：3x＋2y＝12……. 由式可得：4x＋3y＝20……. 式×3 得：9x＋6y＝36………⑤ 式×2 得：8x＋6y＝40………⑥ ⑤式－⑥式可得： 都化成 「6y」 利用移項將兩式的 x、y及等號整理對齊。 9x ＋6y ＝36 8x ＋6y ＝40 －) x ＝－4

將 x＝－4 代入式得： 3×（－4）＋2y＝12 2y＝24 y＝12 因此解為 x ＝－4，y＝12 。

例題 10 的解法若如下面所列的方式對齊與調整︰ 3x＝12－2y…….  4x＝20－3y…….  式 ×3 得：9x＝36－6y…… 式 ×2 得：8x＝40－6y…… 是否也可以由式減⑤式求得 x 的值呢？ 是（式－⑤式得 x ＝－4）

利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) a＝18，b＝ x＝8，y＝0

11加減消去法(須化簡)  解二元一次聯立方程式  由式可得：6y－5y－3x＋6x＝8 3x＋y＝8……….. 由式可得：x－5y＋2y＝－14 x－3y＝－14…… 解 先將式與式中的同類項合併，並使 x、y 及等號對齊。

 化成「＋3y」和「－3y」  式×3 得： 9x＋3y＝24…….⑤ 式＋⑤ 式可得： x －3y ＝－14 9x ＋3y ＝ 24 ＋) 10x ＝ 10 x ＝ 1

將 x＝1 代入式得： 3×1＋y＝8 y＝5 因此解為 x＝1，y＝5。

解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝1，y＝ x＝1，y＝－1

12加減消去法(分數型)  解二元一次聯立方程式 

式×6 得：2x－3y＝6…….. 式×3 得：9x－3y＝48…… 式－式可得： 2x －3y ＝ 6  解 式×6 得：2x－3y＝6…….. 式×3 得：9x－3y＝48…… 式－式可得： 先利用等量公理去掉式的分母，得 2x －3y ＝ 6 9x －3y ＝ 48 －)   －7x ＝－42 x ＝ 6

將 x＝6 代入式得： 3×6－y＝16 18－y＝16 －y＝－2 y＝2 因此解為 x＝6，y＝2。

解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝2，y＝3 m＝ ，n＝－1

13無限多解的聯立方程式  解二元一次聯立方程式 

式×2 得：4x－2y＝6，與式相同，所以此聯立方程式的解與4x－2y＝6 的解相同，有無限多組解 亦可寫成： 式×2 得：4x－2y＝6，與式相同，所以此聯立方程式的解與4x－2y＝6 的解相同，有無限多組解

14 無解的聯立方程式  解二元一次聯立方程式 

式×3 得：3x＋3y＝6…….，比較式和式，發現 3x＋3y 的值等於 5 又等於 6，這是不合理的，也就是說， 解 亦可寫成： 式×3 得：3x＋3y＝6……….. 式－式得：0＝1，不合理， 所以此聯立方程式無解。

解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) 無解 無限多組解

1.二元一次聯立方程式：兩個同時成立且並列在　　 一起的二元一次方程式稱為二元一次聯立方程 式。同時滿足聯立方程式中兩個方程式的 x、 y 值，稱為該聯立方程式的解。 （x、y 僅代表不同的未知數，亦可為其他文字 符號）

2.代入消去法：利用取代的方式，消去一種未 知數的解題方法，稱為代入消去法。在解二 元一次聯立方程式時，可用 x 的一次式取代 y 來解題，也可用 y 的一次式取代 x 來解題 。 （x、y 僅代表不同的未知數，亦可為其他文 字符號）

3.加減消去法：利用式子的相加或相減，消去 一種未知數的解題方法，稱為加減消去法。 通常當代入消去法將產生複雜計算時，宜使 用加減消去法來解題。

4.化簡與編號：在解二元一次聯立方程式時， 宜先用移項法則化簡式子，並使得兩式的未 知數及等號一一對齊，以利於觀察。將式子 予以編號，可方便解題，在解題過程中亦可 視情況將其他式子予以編號。

1-2 自我評量 1.聯課活動分組，桌球組總共有 38 人報名，其 中男生人數比女生的 3 倍少 2人。若設男生有 x 人報名，女生有 y 人報名，則

(1)由總共 38 人報名，可列得二元一次方程式：___________________ 。 (2)由男生人數比女生的 3 倍少 2 人，可列得二元一次方程式：____________________。 (3)因此可列得二元一次聯立方程式： ____________________。 x＋y＝38 x＝3y－2

2. x＝2，y＝－3 是下列哪一組二元一次聯立方程式的解？ (2) (1) (2) (3)

3.利用代入消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝－4，y＝－5 x＝－1，y＝－2

(3) (4) x＝－3，y＝－2 a＝－2，b＝3

4.利用加減消去法解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) x＝3，y＝－1 m＝ ，n＝

(3) (4) x＝ ，y＝ x＝0，y＝－3 (5) (6) x＝－2，y＝1 x＝－1，y＝－3

5. 解下列二元一次聯立方程式： (1) (2) 無限多解 無解