2.3 线性乘同余方法 （Linear Congruential Method) Monte Carlo 模拟 第二章 均匀分布随机数的产生 2.3 线性乘同余方法 （Linear Congruential Method)

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 1948年由Lehmer提出的一种产生伪随机数的方法，是最常用的方法。 1、递推公式： 其中： I0： 初始值（种子seed) a： 乘法器 （multiplier) c： 增值（additive constant) m： 模数（modulus) mod：取模运算：(aIn+c)除以m后的余数 a, c和m皆为整数 产生整型的随机数序列,随机性来源于取模运算 如果c=0  乘同余法：速度更快，也可产生长的随机数序列 mod:取模运算：(aIn+c)除以m后的余数 实型随机数序列：

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 2、实型随机数序列： 3、特点： 1）最大容量为m： 2）独立性和均匀性取决于参数a和c的选择 例：a=c=I0=7, m=10  7,6,9,0,7,6,9,0,…

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) m 应尽可能地大，因为序列的周期不可能大于m; 通常将m取为计算机所能表示的最大的整型量，在32位计算机上，m=231=2x109 5、乘数因子a的选择： 1961年，M. Greenberger证明：用线性乘同余方法产生的随机数序列具有周期m的条件是： c和m为互质数； a-1是质数p的倍数，其中p是a-1和m的共约数； 如果m是4的倍数，a-1也是4的倍数。 例：a=5,c=1,m=16,I0=1 周期=m=16 1,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15, 12,13,2,..

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) RANDU随机数产生器： 1961年由IBM提出 unsigned long seed = 9; float randu() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long m = pow(2,31); unsigned long i1; i1 = (a * seed) % m; seed = i1; return (float) i1/float(m); } void SetSeed(unsigned long i) { seed = i; }

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 存在严重的问题： Marsaglia效用，存在于所有乘同余方法的产生器 void test() { c1 = new TCanvas("c1",“Test of random number generator",200,10,700,900); pad1 = new TPad("pad1",“one ",0.03,0.62,0.50,0.92,21); pad2 = new TPad("pad2",“one vs one",0.51,0.62,0.98,0.92,21); pad3 = new TPad("pad3",“one vs one vs one",0.03,0.02,0.97,0.57,21); pad1->Draw(); pad2->Draw(); pad3->Draw(); TH1F * h1 = new TH1F("h1","h1",100,0.0,1.0); TH2F * h2 = new TH2F("h2","h2",100,0.0,1.0,100,0.0,1.0); TH3F * h3 = new TH3F("h3","h3",100,0.0,1.0,100,0.0,1.0,100,0.0,1.0);

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) for(int i=0; i < 10000; i++) { float x = randu(); float y = randu(); float z = randu(); h1->Fill(x); h2->Fill(x,y); h3->Fill(x,y,z); } pad1->cd(); h1->Draw(); pad2->cd(); h2->Draw(); pad3->cd(); h3->Draw();

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method)

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method)

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 1968年，Marsaglia对这一问题进行了研究，认为： 任何的乘同余产生器都存在这一问题：在三维和三维以上的空间中，所产生的随机数总是集聚在一些超平面上 随机数序列是关联的 对于32位的计算机，在d-维空间中超平面的最大数目为 d=3 2953 d=4 566 d=6 120 d=10 41 改进措施：将递推公式修改为 特点：1）需要两个初始值（种子）； 2）周期可大于m;

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) #include <math.h> unsigned long seed0 = 9; unsigned long seed1 = 11; float randac() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long b = 65539; unsigned long i2; unsigned long m = pow(2,31); i2 = (a * seed1 + b * seed0 ) % m; seed0 = seed1; seed1 = i2; return (float) i1/float(m); } void SetSeed(unsigned long i0, unsigned long i1) { seed0 = i0; seed1 = i1; }

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) a=b=65539, seed0=9, seed1=11

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 如何获取[0,1]区间均匀分布的随机数产生器： 每一个Monte Carlo模拟程序软件包都有自带的产生器： Jetset(LUND Monte Carlo模拟系列）：利用Marsaglia等所提出的算法，周期可达1043 函数用法：r=rlu(idummy) Geant3(探测器模拟程序，FORTRAN): 周期=1018 Call grndm(vec*,len) …. 利用CERN程序库： Y=rndm(x): 周期：5x108 Y=rn32(dummy):乘同余法，a=69069,i0=65539 Call ranmar(vec,len): 周期：1043 Call ranecu(vec,len,isq)

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 利用CLHEP中的随机数产生器软件包： CLHEP(Class Library for High Energy Physics)中的随机数产生器 http://hepg.sdu.edu.cn/~zhangxy/clhep/html/index.html

2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) FORTRAN中使用随机数产生器应注意的问题： 在FORTRAN中，如果随机数产生器是带dummy变量的函数： 其中变量idum在函数中不使用，应注意以下问题： X=RAND(idum) FORTRAN编译器在对程序进行优化时： X=RAND(IDUM)+RAND(IDUM)  X=2.0*RAND(IDUM) DO I=1,10 X=RAND(IDUM) … END DO ….  解决办法： DO I=1,10 IDUM = IDUM +1 X=RAND(IDUM) … END DO