第8讲 逆矩阵 主要内容： 1. 逆矩阵的定义及性质 2. 求逆矩阵的伴随矩阵法 3.求逆矩阵的初等行变换法

2.6 逆矩阵 可以定义矩阵乘法运算的逆运算? 由于矩阵的乘法运算不满足交换律, 讨论矩阵乘法运算的逆运算就略显复杂. 在y = Ax中由y得出x就需要考虑矩阵乘法运算的逆运算. 本节是本章最重要的内容之一, 内容丰富, 解题技巧较强.

2.6.1 逆矩阵的定义及性质 Def 2.7 对于矩阵A,若存在矩阵B,使得 AB = BA = E， 则称B为A的逆矩阵,记为A-1. 矩阵A的逆矩阵A-1读作“A逆”或“A的-1方”. Remark A-1不能写成

由定义可知， (1) 满足AB = BA = E的矩阵A是方阵，换句话说, 只有方阵才可能有逆矩阵. 同时, A的逆矩阵B与A是同阶方阵. (2) 若A可逆, 则A的逆矩阵是唯一的. 若B和C是A的逆矩阵, 即均满足AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C. 正因为这样, 才可将A的逆矩阵记为A-1. 这时, A-1是对方阵A进行逆运算.

(3) Remark 不是每个方阵都存在逆矩阵的.

怎样的方阵一定存在逆矩阵? Theorem 2.10 设A是n阶方阵, 则A存在逆矩阵的充要条件是|A|  0. 这时 Proof () ()

Corollary 1 n阶方阵A可逆的充要条件是R(A) = n. Corollary 2 对于方阵A, 若AB = E(或BA = E), 则 Proof

利用推论去讨论逆矩阵比较方便, 例如证明逆矩阵的存在性以及验证逆矩阵的正确性等. 例2.22 设A满足A2 – 5A + 4E = 0，证明A和A – 3E均可逆，并求出它们的逆. Proof A2 – 5A + 4E = 0

A2 – 5A + 4E = 0

例2.23 设A是非零矩阵且满足A3 = 0，证明E - A和E + A均可逆，并求出它们的逆. Proof

逆矩阵的性质: (1) 若A可逆, 则|A-1| = 1/|A|. (2) 若A可逆,   0, 则 (3) 若A和B均为同阶可逆矩阵, 则. (4) 若A可逆，则 (5) 若Ai(i = 1,2,…,t)可逆, 则分块对角阵

Proof (3) Remark

2.6.2 求逆矩阵的伴随矩阵法 例2.24 设三阶方阵 求A-1. Solution

例2.25 设A和B满足A*BA = 2BA -8E, 其中A = diag(1, -2, 1), 求B. Solution A = diag(1, -2, 1)  |A| = 1·(-2) ·1= -2, A-1 = diag(1, -1/2, 1)  A* = |A| A-1 = -2diag(1, -1/2, 1) = diag(-2, 1, -2). A*BA = 2BA -8E  (A* - 2E) BA = -8E  BA = (A* - 2E)-1(-8E) = -8(A* - 2E)-1  B = -8(A* - 2E)-1A-1

例2.26 设A为n阶方阵,证明 (1) 若|A| = 0, 则|A*| = 0. (2) |A*| = |A|n-1. Proof (1) A = 0: A* = 0, |A*| = 0. A  0: 假设|A*|  0, 则A*可逆. (2) |A| = 0  |A*| = 0  |A*| = |A|n-1. |A|  0 :

2.6.3 求逆矩阵的初等行变换法 利用伴随矩阵计算n阶方阵的逆矩阵, 在n较大时计算量偏大. 在本小节将介绍利用矩阵的初等行变换求逆矩阵的高斯消元法, 它是一种较简便的方法. 为了说明该方法的正确性, 需要做一些准备工作. 先介绍与矩阵的初等变换密切相关的初等矩阵.

Def 2.8 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵(elementary matrix). 1. E(i, j) 在A的左边乘以Em(i, j)就是交换A的第i行与第j行;在A的右边乘以En(i, j)就是交换A的第i列与第j列.

2. E(i(k)) 用k  0乘单位矩阵E的第i行(或第i列)得到的初等矩阵用E(i(k))表示. 在A的左边乘以Em(i(k))就是将A的第i行乘以k，右边乘以En(i(k))就是将A的第i列乘以k.

3. E(ij(k)) 将单位矩阵E的第j行乘以加在第i行(或第i列乘以加在第j列)得到的初等矩阵用E(ij(k))表示. 在A的左边乘以E(ij(k))就是将A的第j行乘以加在第i行，右边乘以E(ij(k))就是将A的第i列乘以加在第j行.

Theorem 2. 11 设A是mn型矩阵，则对A施行一次初等行变换, 相当于在A的左边乘以一个相应的m阶初等方阵 Theorem 2.11 设A是mn型矩阵，则对A施行一次初等行变换, 相当于在A的左边乘以一个相应的m阶初等方阵. 对A施行一次初等列变换, 相当于在A的右边乘以一个相应的n阶初等方阵. Clearly,

由于行列式不为0的方阵, 即可逆方阵, 其行最简形矩阵是单位矩阵, 根据定理2.11有 Theorem 2.12 设A是n阶方阵, 则A可逆的充要条件是A可表示为若干个初等方阵的乘积. 由上述定理可以得出求逆矩阵的初等行变换法.

A可逆,则A-1可逆,于是

左乘一个初等矩阵相当于对矩阵进行相应的初等行变换, 因此得到求A的逆矩阵的高斯消元法如下： Step 1 在A的右边接一个与其同阶的单位矩阵E构成一个矩阵(A, E). Step 2 对矩阵(A, E)实施矩阵的初等行变换, 将A所在的块化为单位矩阵E, 则单位矩阵E所在的块就是A-1.

例2.27 求下列矩阵的逆矩阵. Solution

例2.28 已知AP = PB, 其中 求A和A5. Solution |P| = -1  0, P可逆.

由于AP = PB, 所以

例2.29 已知A满足 其中 求A. Solution

例2.30 设AX = A + 2X且 求X. Solution AX = A + 2X

一般地, 在A可逆的条件下 (1) 若AX = B, 于是A-1·AX = A-1·B, 则 X = A-1B (2) 若XA= B, 于是XA· A-1= B·A-1, 则 X = BA-1

由于对任意矩阵A实施矩阵的初等行变换以及初等列变换可以得到其标准形，存在可逆矩阵P和Q, 使得 Theorem 2.13 对于可逆矩阵P和Q, 有 Corollary

例2.31 设A是m  s矩阵, B是s  k矩阵, 则 Proof (omitted)

例2.32 设n阶方阵A1和m阶方阵A2均可逆,求 Solution 令