线性规划应用案例： 养鸡场的配料问题

养鸡场的配料问题 一、问题的提出 二、分析与建立模型 三、问题求解 四、结果分析

一、问题的提出 某饲料公司生产肉用种鸡配合饲料，每千克饲料所需营养质量要求如表1所示。 表1 每千克饲料所需营养质量要求 营养 成分 表1 每千克饲料所需营养质量要求 营养 成分 肉用种鸡 国家标准 公司标准 产蛋鸡 标准 代谢能 2.7—2.8Mcal/kg ≥2.7Mcal/kg ≥2.65Mcal/kg 粗蛋白 135—145g/kg ≥151g/kg 粗纤维 <50g/kg ≤45g/kg ≤20g/kg 赖氨酸 ≥5.6g/kg ≥6.8g/kg 蛋氨酸 ≥2.5g/kg ≥2.6g/kg ≥6g/kg 钙 23—40g/kg ≥30g/kg ≥33g/kg 有效磷 4.6—6.5g/kg ≥5g/kg ≥3g/kg 食盐 3.7g/kg 3g/kg 公司计划使用的原料有玉米，小麦，麦麸，米糠，豆饼，菜子饼，鱼粉，槐叶粉，DL-蛋氨酸，骨粉，碳酸钙和食盐等12种原料。各原料的营养成分含量及价格见表2。

表2 各原料的营养成分含量及价格 x1 玉米 0.68 3.35 78 16 2.3 1.2 0.7 0.3 x2 小麦 0.72 3.08 表2 各原料的营养成分含量及价格 变量 原料 单价 元/kg 代谢能 Mcal/kg 粗蛋白 g/kg 粗纤维 赖氨酸 蛋氨酸 钙 有效磷 食盐 x1 玉米 0.68 3.35 78 16 2.3 1.2 0.7 0.3 x2 小麦 0.72 3.08 114 22 3.4 1.7 0.6 0.34 x3 麦麸 0.23 1.78 142 95 6.0 10.0 x4 米糠 0.22 2.10 117 72 6.5 2.7 1.0 13.0 x5 豆饼 0.37 2.40 402 49 24.1 5.1 3.2 5.0 x6 菜饼 0.32 1.62 360 113 8.1 7.1 5.3 8.4 x7 鱼粉 1.54 2.80 450 29.1 11.8 63 27 x8 槐叶粉 0.38 1.61 170 108 10.6 2.2 4.0 x9 DL-met 23.0 980 x10 骨粉 0.56 300 140 x11 碳酸钙 1.12 400 x12 0.42 1000

公司根据原料来源，还要求1吨配合饲料中原料的含量为：玉米不低于400 kg，小麦不低于100 kg，麦麸不低于100 kg，米糠不超过150 kg，豆饼不超过100 kg,菜子饼不低于30 kg，鱼粉不低于50 kg，槐叶粉不低于30 kg， DL-蛋氨酸，骨粉，碳酸钙适量。 （1）按照肉用种鸡公司标准，求1千克配合饲料中每种原料各配多少成本最低，建立数学模型并求解。 （2）按照肉用种鸡国家标准，求1千克配合饲料中每种原料各配多少成本最低。 （3）公司采购了一批花生饼,单价是0.6元/kg，代谢能到有机磷的含量分别为（2.4,38,120,0,0.92,0.15,0.17）,求肉用种鸡成本最低的配料方案。 （4）求产蛋鸡的最优饲料配方方案。 （5）公司考虑到未来鱼粉、骨粉和碳酸钙将要涨价，米糠将要降价，价格变化率都是原价的r %试对两种产品配方方案进行分析。 说明：以上5个问题独立求解和分析，如在问题（3）中只加花生饼，其它方案则不加花生饼。 该案例考核学生灵敏度分析与参数分析应用能力。

二、分析与建立模型 （1）按照肉用种鸡公司标准，求1千克配合饲料中每种原料各配多少成本最低，建立数学模型并求解。 设 的含量（克）。则可建立线性规划数学模型： 为第j种原料在1000g混合饲料中

三、问题求解 用lingo求解的程序： Min=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*x7+0.38*x8+23*x9+0.56*x10+1.12*x11+0.42*x12; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8>2.7; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8>135; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8<145; 16*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+108*x8<45; 2.3*x1+3.4*x2+6*x3+6.5*x4+24.1*x5+8.1*x6+29.1*x7+10.6*x8>5.6; 1.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9>2.6; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11>30; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10>5; 1000*x12=3.7; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1; X1>0.4;x2>0.1;x3>0.1;x4<0.15;x5<0.1;x6>0.03;x7>0.05;x8>0.03;

求解结果 Global optimal solution found. Objective value: 0.6553693 Total solver iterations: 9 Variable Value Reduced Cost X1 0.5385030 0.000000 X2 0.1000000 0.000000 X3 0.1000000 0.000000 X4 0.000000 0.1446276 X5 0.7213126E-01 0.000000 X6 0.3000000E-01 0.000000 X7 0.5000000E-01 0.000000 X8 0.3000000E-01 0.000000 X9 0.3233949E-03 0.000000 X10 0.4263719E-01 0.000000 X11 0.3270518E-01 0.000000 X12 0.3700000E-02 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.6553693 -1.000000 2 0.000000 -0.5218799 3 0.000000 -0.2339449E-03 4 10.00000 0.000000 5 14.51952 0.000000 6 0.3329203 0.000000 7 0.000000 -0.2461224E-01 8 0.000000 -0.5600000E-02 9 4.247413 0.000000 10 0.000000 -0.1540000E-02 11 0.000000 1.120000 12 0.1385030 0.000000 13 0.000000 -0.1607394 14 0.000000 -0.3295455 15 0.1500000 0.000000 16 0.2786874E-01 0.000000 17 0.000000 -0.3059075 18 0.000000 -0.4502367 19 0.000000 -0.5434558

求解得到： 即：肉用种鸡公司标准，每一千克饲料中含有玉米538.5克，小麦100克，麦麸100克，不含米糠，豆饼72.1克，菜饼30克，鱼粉50克，槐叶粉30克，DL-met0.3克，骨粉42.6克，碳酸钙32.7克，食盐37克，可使总成本达到最小，每千克0.6554元。 （2）按照肉用种鸡国家标准，求1千克配合饲料中每种原料各配多少成本最低。 设 的含量（克）。则可建立线性规划数学模型（略） 为第j种原料在1000g混合饲料中 用lingo求解的程序：

Min=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*x7+0.38*x8+23*x9+0.56*x10+1.12*x11+0.42*x12; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8>2.7; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8<2.8; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8>135; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8<145; 16*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+108*x8<50; 2.3*x1+3.4*x2+6*x3+6.5*x4+24.1*x5+8.1*x6+29.1*x7+10.6*x8>5.6; 1.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9>2.5; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11>23; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11<40; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10>4.6; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10<6.5; 1000*x12=3.7; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1; X1>0.4;x2>0.1;x3>0.1;x4<0.15;x5<0.1;x6>0.03;x7>0.05;x8>0.03;

求解得到： 即：肉用种鸡国家标准，每一千克饲料中含有玉米493.3克，小麦100克，麦麸100克，米糠50.5克，豆饼91.1克，菜饼30克，鱼粉50克，槐叶粉30克，DL-met不含，骨粉17.7克，碳酸钙33.7克，食盐3.7克，可使总成本达到最小，每千克0.6233元。 （3）公司采购了一批花生饼,单价是0.6元/kg，代谢能到有机磷的含量分别为（2.4,38,120,0,0.92,0.15,0.17）,求肉用种鸡成本最低的配料方案。 按照肉用种鸡公司标准，将每一千克含有花生饼数量为x13，则：

Min=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*x7+0.38*x8+23*x9+0.56*x10+1.12*x11+0.42*x12+0.6*x13; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8+2.4*x13>2.7; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8+38*x13>135; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8+38*x13<145; 16*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+108*x8+120*x13<45; 2.3*x1+3.4*x2+6*x3+6.5*x4+24.1*x5+8.1*x6+29.1*x7+10.6*x8>5.6; 1.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9+0.92*x13>2.6; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11+0.15*x13>30; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10+0.17*x13>5; 1000*x12=3.7; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13=1; X1>0.4;x2>0.1;x3>0.1;x4<0.15;x5<0.1;x6>0.03;x7>0.05;x8>0.03;

用lingo10.0求解的程序如下： 解得：求解得到： ，并且添加花生饼1千克增加成本0.4351元。 按照肉用种鸡国家标准，将每一千克含有花生饼数量为x13，则： 用lingo10.0求解的程序如下：

Min=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*x7+0.38*x8+23*x9+0.56*x10+1.12*x11+0.42*x12+0.6*x13; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8+2.4*x13>2.7; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8+2.4*x13<2.8; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8+38*x13>135; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8+38*x13<145; 16*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+108*x8+120*x13<50; 2.3*x1+3.4*x2+6*x3+6.5*x4+24.1*x5+8.1*x6+29.1*x7+10.6*x8>5.6; 1.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9+0.92*x13>2.5; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11+0.15*x13>23; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11+0.15*x13<40; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10+0.17*x13>4.6; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10+0.17*x13<6.5; 1000*x12=3.7; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13=1; X1>0.4;x2>0.1;x3>0.1;x4<0.15;x5<0.1;x6>0.03;x7>0.05;x8>0.03;

求解得到： 。并且添加花生饼1千克增加成本0.2889元。 （4）按照产蛋鸡的最优饲料配方，求1千克配合饲料中每种原料各配多少成本最低，建立数学模型并求解。 设 为第j种原料在1000g混合饲料中的含量（克）。 用lingo求解的程序：

Min=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*x7+0.38*x8+23*x9+0.56*x10+1.12*x11+0.42*x12; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8>2.65; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8>151; 16*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+108*x8<25; 2.3*x1+3.4*x2+6*x3+6.5*x4+24.1*x5+8.1*x6+29.1*x7+10.6*x8>6.8; 1.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9>6; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11>33; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10>3; 1000*x12=3; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1; X1>0.4;x2>0.1;x3>0.1;x4<0.15;x5<0.1;x6>0.03;x7>0.05;x8>0.03;

无可行解，修改修改粗纤维标准为≤25g/kg，求解如下： 即：产蛋鸡饲料配方为，每一千克饲料中含有玉米419.6克，小麦100克，麦麸100克，不含米糠，不含豆饼，菜饼30克，鱼粉239.5克，槐叶粉30克，不含DL-met，骨粉78.6克，不含碳酸钙，食盐3克，可使总成本达到最小，每千克0.8604元。

四、结果分析 将以上几种情况求解汇总列表如下 问题 肉用种鸡 公司标准 国家标准 产蛋鸡 饲料配方 目标值(成本:元/kg) 0.6554 0.6233 0.8604 玉米 0.5385 0.4933 0.4169 小麦 0.1000 0.1 麦麸 米糠 0.0000 0.0505 豆饼 0.0721 0.0911 菜饼 0.0300 0.03 鱼粉 0.0500 0.05 0.2395 槐叶粉 DL-met 0.0003 0.0020 骨粉 0.0426 0.0177 0.0786 碳酸钙 0.0327 0.0337 食盐 0.0037 0.0030 花生饼

首先对于肉用种鸡公司标准进行参数分析：价格变化率都是原价的r %，分别取r=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10代入模型进行求解； Min=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22*(1-0.01*r)*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*(1+0.01*r)*x7+0.38*x8+23*x9+0.56*(1+0.01*r)*x10+1.12*(1+0.01*r)*x11+0.42*x12; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8>2.7; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8>135; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8<145; 16*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+108*x8<45; 2.3*x1+3.4*x2+6*x3+6.5*x4+24.1*x5+8.1*x6+29.1*x7+10.6*x8>5.6; 1.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9>2.6; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11>30; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10>5; 1000*x12=3.7; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1; X1>0.4;x2>0.1;x3>0.1;x4<0.15;x5<0.1;x6>0.03;x7>0.05;x8>0.03;

R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最小 成本 0.6567 0.6581 0.6595 0.6609 0.6622 0.6636 0.6650 0.6664 0.6677 0.6691 X1 0.5385 X2 0.1 X3 X4 X5 0.0721 X6 0.0300 X7 0.0500 X8 X9 0.0003 X10 0.0426 X11 0.0327 X12 0.0037

尽管饲料价格发生变化，混合饲料的配方没有发生变化。从饲料价格变化率r与肉用种鸡公司标准混合饲料最小成本的关系可以看出，二者呈严格的线性关系，饲料价格每变化1%，混合饲料价格增加0.0014元，可见对饲料配方售价格变化的影响不大。

再对首先对于肉用种鸡国家标准进行参数分析：价格变化率都是原价的r %，分别取r=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10代入模型进行求解； Min=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22*(1-0.01*r)*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*(1+0.01*r)*x7+0.38*x8+23*x9+0.56*(1+0.01*r)*x10+1.12*(1+0.01*r)*x11+0.42*x12; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8>2.7; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8<2.8; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8>135; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8<145; 16*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+108*x8<50; 2.3*x1+3.4*x2+6*x3+6.5*x4+24.1*x5+8.1*x6+29.1*x7+10.6*x8>5.6; 1.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9>2.5; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11>23; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11<40; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10>4.6; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10<6.5; 1000*x12=3.7; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1; X1>0.4;x2>0.1;x3>0.1;x4<0.15;x5<0.1;x6>0.03;x7>0.05;x8>0.03;

R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最小 成本 0.6245 0.6256 0.6268 0.6279 0.6290 0.6302 0.6313 0.6324 0.6336 0.6347 X1 0.4933 X2 0.1 X3 X4 0.0505 X5 0.0911 X6 0.0300 X7 0.0500 X8 X9 0.0000 X10 0.0177 X11 0.0337 X12 0.0037

尽管饲料价格发生变化，混合饲料的配方没有发生变化。从饲料价格变化率r与肉用种鸡公司标准混合饲料最小成本的关系可以看出，二者呈严格的线性关系，饲料价格每变化1%，混合饲料价格增加0.0011元，可见对饲料配方售价格变化的影响不大。

对产蛋鸡饲料配方的影响分析：r=1;z=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3 +0.22*(1-0.01*r)*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*(1+0.01*r)*x7+0.38*x8 +23*x9+0.56*(1+0.01*r)*x10+1.12*(1+0.01*r)*x11+0.42*x12; Min=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22*(1-0.01*r)*x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*(1+0.01*r)*x7+0.38*x8+23*x9+0.56*(1+0.01*r)*x10+1.12*(1+0.01*r)*x11+0.42*x12; 3.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8>2.65; 78*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8>151; 16*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+108*x8<25; 2.3*x1+3.4*x2+6*x3+6.5*x4+24.1*x5+8.1*x6+29.1*x7+10.6*x8>6.8; 1.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9>6; 0.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11>33; 0.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10>3; 1000*x12=3; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1; X1>0.4;x2>0.1;x3>0.1;x4<0.15;x5<0.1;x6>0.03;x7>0.05;x8>0.03;

R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最小 成本 0.8645 0.8686 0.8728 0.8769 0.8810 0.8852 0.8893 0.8934 0.8975 0.9017 X1 0.4169 X2 0.1 X3 X4 X5 X6 0.0300 X7 0.2395 X8 X9 0.0020 X10 0.0786 X11 X12 0.0030 2.0000

尽管饲料价格发生变化，混合饲料的配方没有发生变化。从饲料价格变化率r与肉用种鸡公司标准混合饲料最小成本的关系可以看出，二者呈严格的线性关系，饲料价格每变化1%，混合饲料价格增加0.0041元，可见对饲料配方售价格变化的影响不大。