12.3角平分线的性质（一）
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角 角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角 平分线。 O B A C
角平分线 O B A C ∠AOC =∠BOC ∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
= = 在△ADC和 △ABC中， AD= AB DC=BC AC=AC ∴△ADC ≌ △ABC （SSS） ∴ ∠DAE=∠DAE
尺规作图 老师提示: 用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法: A B O C E D 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.. 3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
角平分线有什么性质呢？ OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， PD PE 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： A PD PE 第一次 第二次 第三次 p D E C O B 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系， 写出结论：____________ PD=PE
结论： 角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. A O B P E D C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB 在△POD和△PEO中 已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E 求证: PD=PE A O B 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB D C ∴ ∠PDO= ∠PEO= 90° P E 在△POD和△PEO中 ∠ PDO＝∠PEO ∠ AOC＝∠BOC OP=OP ∴ △PDO≌△PEO（AAS） ∴ PD＝PE
角平分线性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线, 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等)
1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
例题讲解 例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？ A E E C
例题讲解 例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。 A B C P F G N M E
例题讲解 例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。 O
练习 1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。 2 A B M N P C
练习 2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB A F E C
练习 3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。 C D A
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么? 思考： 如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么? O A E D C P B PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.
思考题 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等． H Ｄ Ｃ F Ｐ Ｐ Ｅ Ａ Ｂ Ｂ G
练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
知识拓展 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD B A C D E
再见