第八章 一阶电路分析 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。本章主要讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单口网络用戴维宁－诺顿等效电路来代替（如图8－1和8－2所示）。 图8－1 图8－2

我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。 与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同，动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生。

仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。 仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。 动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式。

§8－1 零输入响应 一、RC电路的零输入响应 图8-3(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图(b)所示。 图8-3

我们先定性分析t>0后电容电压的变化过程。当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即 由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即 电阻的电流为

该电流在电阻中引起的功率和能量为 电容中的能量为 随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率。

为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到 由KCL和电阻、电容的VCR方程得到 代入上式得到以下方程

这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为 代入式(8－1)中，得到特征方程 其解为 称为电路的固有频率。

于是电容电压变为 式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变为 根据初始条件 求得

图8-3 最后得到图8－3(b)电路的零输入响应为

从式8－4可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积。令 =RC，由于  具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。引入  后，式8－4表示为

下面以电容电压 为例，说明电压的变化与时间常数的关系。 下面以电容电压 为例，说明电压的变化与时间常数的关系。 当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0。表8－1列出t等于0，，2，3，4，5 时的电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过4～5的时间就可以认为放电过程基本结束。 t  2 3 4 5  uc(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0

计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全部转换为电阻消耗的能量。 图8－4 RC电路零输入响应的波形曲线 电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为 计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全部转换为电阻消耗的能量。

由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢。 例如在电容电压初始值U0不变的条件下，增加电容C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时间加长；若增加电阻R，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，使放电过程的时间加长。 这就可以解释当时间常数=RC变大，电容放电过程会加长的原因。

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例8-1 电路如图8－5(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。 t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。 图8－5 例8－1 解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到

将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其电阻值为 得到图(b)所示电路，其时间常数为

根据式8－5得到 求电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)

二、RL电路的零输入响应 我们以图8－6(a)电路为例来说明RL电路零输入响应的计算过程。 图8-6 电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示。

在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻R时引起能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。 综上所述，图(b)所示RL电路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。与能量变化过程相应的是各电压电流从初始值，逐渐减小到零的过程。

列出KCL方程 代入电感VCR方程 得到以下微分方程

这个微分方程与式(8－1)相似，其通解为 代入初始条件iL(0+)=I0求得 最后得到电感电流和电感电压的表达式为

其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数 。由于 =L/R具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数。 图8-7

例8-2 电路如图8－8(a)所示，开关S1连接至1端已经很久， t=0时开关S由1端倒向2端。求t0时的电感电流iL(t) 和电感电压uL(t)。 图8-8 解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故

将连接到电感的电阻单口网络等效为一个电阻，得到的电路如图(b)所示。该电路的时间常数为 根据式8－7得到电感电流和电感电压为

通过对RC和RL一阶电路零输入响应的分析和计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律衰减到零，一般表达式为 因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储能，各元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能量，一直要将储能元件的储能消耗完，各电压电流均变为零为止。

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 电容器的放电过程 2:05 2 电容器放电的波形 2:07 3 电容器的充电过程 2:50 4 电容器充电的波形 2:41 5 电容器充放电过程 2:48 6 直流电压源对电容器充电 1:51 7 RC和RL电路的响应 3:06 8 RC分压电路的响应 2:14 9 电路实验分析 2:47

郁金香

§8－2 零状态响应 初始状态为零，仅仅由独立电源(称为激励或输入)引起的响应，称为零状态响应。本节只讨论由直流电源引起的零状态响应。 一、 RC电路的零状态响应 图8-9(a)所示电路中的电容原来未充电，uC(0-)=0。t=0时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接，电压源通过电阻对电容充电。

其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。 图8-9 uC(0-)=0

(a) t<0 的电路 (b) t>0 的电路 其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。 图8-9 uC(0-)=0 uC(0+)=0 (a) t<0 的电路 (b) t>0 的电路 以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程

这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答由两部分组成，即 式中的uCh(t)是与式（8－8）相应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即

式(8－9)中的uCp(t)是式(8－8)所示非齐次微分方程的一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相同。对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令 将它代入式(8－8)中求得 因而

式中的常数K由初始条件确定。在t=0+时 由此求得 代入式(8－10)中得到零状态响应为

图8-9 其波形如图(8－10)所示。 图8－10 RC电路的零状态响应曲线

从上可见，电容电压由零开始以指数规律上升到US，经过一个时间常数变化到(1-0. 368)US=0 从上可见，电容电压由零开始以指数规律上升到US，经过一个时间常数变化到(1-0.368)US=0.632US，经过(4～5)时间后电容电压实际上达到US。 电容电流则从初始值US/R以指数规律衰减到零。零状态响应变化的快慢也取决于时间常数 =RC。当时间常数 越大，充电过程就越长。

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例8-3 电路如图8-11(a)所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0 打开开关，求t0的电容电压uC(t),电容电流iC(t)以及 电阻电流i1(t)。

解：在开关断开瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 图8-11 解：在开关断开瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中 电路的时间常数为

当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得 按照式(8－11)可以得到 为了求得i1(t)，根据图（a）所示电路，用KCL方程得到

二、RL电路的零状态响应 RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。图8-12所示电路在开关转换前，电感电流为零，即iL(0-)=0。当t=0时开关由a倒向b，其电感电流和电感电压的计算如下： 图8－12 RL电路的零状态响应

以电感电流作为变量，对图(b)电路列出电路方程 这是常系数非齐次一阶微分方程，其解为

常系数非齐次一阶微分方程的其解为 式中 =L/R是该电路的时间常数。常数K由初始条件确定，即 由此求得

最后得到RL一阶电路的零状态响应为 其波形曲线如图8－13所示。 图8－13 RL电路零状态响应的波形曲线

例8－4 电路如图8-14(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。 t=0闭合开关，求t0的电感电流和电感电压。

解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电 感电压有界，电感电流不能跃变，即 图8-14 解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电 感电压有界，电感电流不能跃变，即 将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时间常数为

假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图(b)电路，用欧姆定律求得 图8-14 按照式(8－14)可以得到 假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图(b)电路，用欧姆定律求得

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根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 电容器的放电过程 2:05 2 电容器放电的波形 2:07 3 电容器的充电过程 2:50 4 电容器充电的波形 2:41 5 电容器充放电过程 2:48 6 直流电压源对电容器充电 1:51 7 RC和RL电路的响应 3:06 8 RC分压电路的响应 2:14 9 电路实验分析 2:47

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§8－3 完全响应 由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称为全响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。电路如图8-15(a)所示，开关连接在1端为时已经很久，uC(0-)=U0。t=0时开关倒向2端。t >0 时的电路如图8-15(b)所示。 图8－15 RC电路的完全响应

UC(0+)=U0 为了求得电容电压的全响应，以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)所示电路的微分方程 其解为

代入初始条件 求得 于是得到电容电压以及电容电流的表达式

第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应，若时间常数 >0，固有响应将随时间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响应。 第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律一般与输入相同，称为强制响应。在直流输入时，当 t时，uC(t)=uCp(t) 这个强制响应称为直流稳态响应。

式(8－16)可以改写为以下形式 式中第一项为初始状态单独作用引起的零输入响应，第二项为输入(独立电源)单独作用引起的零状态响应。 也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。

以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利用全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，实际电路存在的是电压电流的完全响应。 稳态响应 零状态响应 瞬态响应 零输入响应 图8-16 (a) 全响应分解为固有响应与强制响应之和 (b) 全响应分解为零输入响应与零状态响应之和

例8-5 图8-17(a)所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关断 开，求t0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。

解：在t<0时，电阻R1被开关短路，电感电流的初始值为 在t>0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图(b)所示电路，该电路的微分方程为 其全解为

图8-17 式中 代入上式得到 代入初始条件

其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过(4～5)的时间，即经过(8～10)ms 的过渡时期，就达到了稳态。 图8-17 可以得到 于是 其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过(4～5)的时间，即经过(8～10)ms 的过渡时期，就达到了稳态。

电感电流iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响应和零状态响应，然后相加的方法求得。电感电流iL(t)的零输入响应为

iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和 电感电压的全响应可以利用电感元件的VCR方程求得

例8-6 电路如图8-18(a)所示。 已知 uC(0-)=4V，uS(t)=(2+e-2t)V， 求电容电压uC(t)的全响应。

首先列出图(a)电路的微分方程和初始条件 图8-18 解：将全响应分解为(零输入响应)＋(2V电压源引起的零状 态响应)＋(e-2t电压源引起的零状态响应)。现在分别计 算响应的几个分量然后相加得到全响应。 首先列出图(a)电路的微分方程和初始条件

1. 求电路的零输入响应[见图(b)电路] 图8-18 列出齐次微分方程和初始条件 求得

2.求2V电压源引起的零状态响应[见图(c)电路] 图8-18 列出微分方程和初始条件 由此求得

3. 求2e-2tV电压源引起的零状态响应[见图(d)电路] 图8-18 列出微分方程和初始条件 其解为

设 ，并将它代入到式8－21所示微分方程中可以得到 由此求得 代入上式 代入初始条件，t=0时， 由此得到K=1 最后求得零状态响应

4.最后求得全响应如下

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 电容器的放电过程 2:05 2 电容器放电的波形 2:07 3 电容器的充电过程 2:50 4 电容器充电的波形 2:41 5 电容器充放电过程 2:48 6 直流电压源对电容器充电 1:51 7 RC和RL电路的响应 3:06 8 RC分压电路的响应 2:14 9 电路实验分析 2:47

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图8－19 (a)RC一阶电路 (b)RL一阶电路 §8－4 三要素法 本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的一阶电路全响应的一般表达式，并在此基础上推导出三要素法。 一、三要素法 仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后，可以得到图8-19(a)和(b)所示的等效电路。 图8－19 (a)RC一阶电路 (b)RL一阶电路

图(a)电路的微分方程和初始条件为 图(b)电路的微分方程和初始条件为

上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方程 其通解为 如果>0，在直流输入的情况下，t时，fh (t)0，则有

因而得到 由初始条件f (0+)，可以求得 于是得到全响应的一般表达式

这就是直流激励的RC一阶电路和RL中的任一响应的表达式 (可以用叠加定理证明) 。其波形曲线如图8－20所示。由此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值f (0+)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值f ()，响应变化的快慢取决于电路的时间常数 。 图8－20 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线

图8-22 由此可见，直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+)、 f ()和 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，也就是说，根据式(8-25）可以写出响应的表达式以及画出图8-20那样的全响应曲线，而不必建立和求解微分方程。这种计算直流激励下一阶电路响应的方法称为三要素法。

用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响应的一般步骤是: 1. 初始值f (0+)的计算 (1) 根据t<0的电路，计算出t=0-时刻的电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。 (2) 根据电容电压和电感电流连续性，即 uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-) 确定电容电压或电感电流初始值。

(3) 假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用数值为uC(0+)的电压源替代电容或用数值为iL(0+)的电流源替代电感后所得到的电阻电路中计算出来。 2. 稳态值f ()的计算 根据t>0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替，得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f ()。 3. 时间常数 的计算 先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用以下公式 =RoC或 =L/Ro计算出时间常数。

4. 将f (0+)，f ()和  代入下式得到响应的一般表达式和画出图8－20那样的波形曲线。 图8－20 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线

例8-7 图8-21(a)所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合， 求t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。

开关闭合前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4电阻中，此时电容电压与电阻电压相同 图8-22 解：1. 计算初始值uC(0+) 开关闭合前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4电阻中，此时电容电压与电阻电压相同 由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故

开关闭合后，电路如图(b)所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理求得 图8-21 2. 计算稳态值uC() 开关闭合后，电路如图(b)所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理求得

计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联 a 图8-21 b 3.计算时间常数 计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联 时间常数为

4. 将uC(0+)=8V, uC()=7V和=0.1s代入式(8－25)得到响应的一般表达式 求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得

也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和

电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得 由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到 值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是t>0，而不是t0。

例8-8 图8-22示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关S由1端接至2端，求t>0时的电感电流iL(t)，电 阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。

解：用三要素法计算电感电流。 1. 计算电感电流的初始值iL(0+) 直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为 开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即

2. 计算电感电流的稳态值iL() 开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，即

3. 计算时间常数 与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为 4. 计算iL(t)， uL(t)， i2(t)和i3(t)。 将iL(0+)=10mA,iL()=0和=110-7s代入式(8－25）得到电感电流的表达式

然后根据KCL，KVL和VCR求出其它电压电流

二、包含开关序列的直流一阶电路 本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一阶电路，可以用三要素法来计算。 对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响应。

例8-9 图8-23(a)所示电路中，电感电流iL(0-)=0, t=0时，开 关S1闭合，经过0 例8-9 图8-23(a)所示电路中，电感电流iL(0-)=0, t=0时，开 关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。 试求电感电流iL(t)，并画波形图。 图8-23

解：1. 在0t0.1s时间范围内响应的计算 S1闭合后，iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可以用三要素法求解

2. 在t0.1s时间范围内响应的计算 仍然用三要素法，先求t=0.1s时刻的初始值。 此后的电感电流属于零输入响应，iL()=0。

在此时间范围内电路的时间常数为 根据三要素公式（8－25）得到

图8-23 电感电流iL(t)的波形曲线如图(b)所示。在t=0时，它从零开始，以时间常数1=0.1s确定的指数规律增加到最大值0.316A后，就以时间常数2=0.0667s确定的指数规律衰减到零。

三、分段恒定信号激励的一阶电路 通过电路中的开关可以将一个直流电源接通到某些电路中，它们所起的作用等效于一个分段恒定信号的时变电源。例如图(a)所示包含开关的电路，其输出电压u(t)等效于图(b)所示的一个时变电压源，其电压波形如图8－24(c)所示。假如t=t0时刻开关再由2端转换到1端，使其输出电压为零，此时图(a)电路等效于产生图(d)所示的脉冲波形的时变电压源。 图8－24 利用开关的转换产生分段恒定信号

例如对于图(b)所示波形的电压源作用于图(a)所示的RC串联电路，用三要素法容易画出iC(t)、uC(t)的波形，如图(c)和(d)所示。注意到电容电压的波形是连续的，而电容电流波形在t=0时是不连续的。 图8-25 用三要素法求分段恒定信号激励的一阶电路响应

例8-10 电路如图8-26(a)所示，独立电流源的波形如图(b) 所示，求电感电流的响应，并画出波形曲线。 解：按照波形的具体情况，从时间上分三段用三要素法求 电感电流的响应。 1. t0 , iS(t)=0，由此得到

 2. 0t1ms , iS(t)=10mA (1) 计算初始值iL(0+) (2) 计算稳态值iL() (3) 计算时间常数  (4) 利用三要素公式得到

3. 1mst< , iS(t)=0 (1) 计算初始值iL(1ms+) (2) 计算稳态值iL() (3) 时间常数相同，即 (4) 根据三要素公式得到

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 电容器的放电过程 2:05 2 电容器放电的波形 2:07 3 电容器的充电过程 2:50 4 电容器充电的波形 2:41 5 电容器充放电过程 2:48 6 直流电压源对电容器充电 1:51 7 RC和RL电路的响应 3:06 8 RC分压电路的响应 2:14 9 电路实验分析 2:47

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§8－5 阶跃响应 在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激励。 随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。

一、阶跃函数 单位阶跃函数(t)的定义为 波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所示。当跃变发生在t=t0时刻，可以用延迟阶跃函数 (t-to) 表示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t<0时，(-t)=1，t>0时，(-t)=0，如图(d)所示。 图8－27 阶跃函数

当直流电压源或直流电流源通过一个开关将电压或电流施加到某个电路时，可以表示为一个阶跃电压或一个阶跃电流作用于该电路。引入阶跃电压源和阶跃电流源可以省去电路中的开关，使电路的分析研究变得更加方便。 阶跃函数可以用来表示时间上分段恒定的电压或电流信号。对于线性电路来说，这种表示方法的好处在于可以应用叠加定理来计算电路的零状态响应，在此基础上，采用积分的方法还可以求出电路在任意波形激励时的零状态响应。

例8-11 用阶跃电流源表示图8-28(b)所示的方波电流，再次 求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。

解：图(b)所示的方波电流，可以用两个阶跃函数 iS(t)=[10 (t)-10 (t-1ms)]mA 表示。 1. 阶跃电流源10(t)mA单独作用时，其响应为 2. 阶跃电流源-10(t-1ms)mA单独作用时，其响应为

3. 应用叠加定理求得10(t)和-10(t-1ms)共同作用的零状态响应为 图8-28 分别画出 和 的波形，如曲线1和2所示。然后它们相加得到iL(t)波形曲线，如曲线3所示。

二、阶跃响应 单位阶跃信号作用下电路的零状态响应，称为电路的阶跃响应，用符号s(t)表示。 它可以利用三要素法计算出来。对于图(a)所示RC串联电路，其初始值uC(0+)=0，稳态值uC()=1，时间常数为=RC。用三要素公式得到电容电压uC(t)的阶跃响应如下所示。对于图(b)所示RL并联电路，其初始值iL(0+)=0，稳态值iL()=1，时间常数为=L/R。

利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应如下所示。 图8-29 以上两个式子可以用一个表达式表示如下： 其中时间常数=RC或=L/R。

已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如图8-30(b)所示信号作用图8-30(a)所示RC串联电路时，由于图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。 图8-30

图8－30 RC串联电路在分段恒定信号激励下的零状态响应 其电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 电容器的放电过程 2:05 2 电容器放电的波形 2:07 3 电容器的充电过程 2:50 4 电容器充电的波形 2:41 5 电容器充放电过程 2:48 6 直流电压源对电容器充电 1:51 7 RC和RL电路的响应 3:06 8 RC分压电路的响应 2:14 9 电路实验分析 2:47

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§8－6 冲激响应 一、 冲激函数  图8-31

在介绍冲激函数之前，先看图8-31(a)所示电路，开关原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将有1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压逐渐达到uC1()=uC2()=1V。 当电阻R为不同数值时，电容上的电压uC2(t)以及电荷移动所形成的电容电流iC(t)，如图(c)和(e)所示。

由图8-31可见，当电路中的电阻分别为R=2、1、0 由图8-31可见，当电路中的电阻分别为R=2、1、0.5时，uC2(t)和iC(t)的波形如图所示。注意到电容C1上移动到电容C2上的电荷量，即电容电流对时间的积分(电容电流对时间轴之间的面积）均为1个单位，即

当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽度趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限的波形称为单位冲激电流，用(t)表示。

当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t)称为单位冲激函数 当图8-31(a)电路中电压源的电压增大时，从电容C1上移动到电容C2的电荷量以及相应的电流脉冲的面积也将增加，此时图(f)得到的冲激电流为A(t)。

例如电压源电压US=20V，开关在t=5s时刻由a点倒向b点，则冲激电流发生在 t=5s 时刻，根据式8-28，所产生的冲激电流应该表示为 这个冲激电流使电容 C2 在 t = 5s 时刻，迅速获得10C的电荷，使 1F 电容 C2 的电压发生 10V 的跃变，由uC2(5-)=0V 跃变到 uC2(5+)=10V。

图8－32 冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃 这是一个延迟的阶跃，如图(c)所示。由于冲激电流在t=5s时刻，将10库仑电荷迅速投到5F电容的极板上，使电容电压发生2V的跃变，由uC(5-)=0V跃变到uC(5+)=2V。 图8－32 冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃

从以上叙述可以看出单位阶跃函数与单位冲激函数之间存在以下关系

二、冲激响应 单位冲激信号作用下电路的零状态响应，称为电路的冲激响应，用符号h(t)表示。计算任何线性时不变电路冲激响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应

例如图8－33所示RC串联电路的单位阶跃响应为 其冲激响应为

由于t=0时， 而t 0时，(t)=0，因此得到， 最后得到图8-33所示RC串联电路电容电压的冲激响应。 与此相似，可以得到图8-34所示RL并联电路中电感电流的冲激响应。

图8－33 图8－34 以上两种情况的冲激响应可以用一个表达式表示如下：

计算冲激响应的另一种方法是先求出面积为1个单位的矩形脉冲的响应，然后求脉冲宽度趋于零的极限。 图8-35 计算冲激响应的另一种方法是先求出面积为1个单位的矩形脉冲的响应，然后求脉冲宽度趋于零的极限。 当△→0时，P(t)趋向于单位冲激，如图(g)所示，即

注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我们用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限 因此，图8－42(f)的波形趋于指数波形 如图(h)所示。利用单位阶跃函数(t)，我们可以将式 (8-36)写为下式

从以上讨论中可以看出，冲激电压或电流的作用就是给动态元件提供一个初始储能(例如uC(0+)=1/C或iL(0+)=1/L)，即产生一个初始条件(例如f (0+)=1/)。此时刻以后电路响应实际上是这些初始储能引起的零输入响应。 我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应后，可以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的零状态响应，从而求出电路的全响应。

例如对于图8－36(a)所示线性时不变RC一阶电路，初始条件为零，即uC(0)=0时，在任意波形uS(t)激励下，电容电压uC(t)的零状态响应可以通过以下积分求得

图8－36 (a),(b) 含一个电容的一阶电路 (c),(d) 含一个电感的一阶电路 与此相似，RL并联一阶电路在任意波形电流源uS(t)作用下，其电感电流的全响应为 其中第一项是电感电流iL(t)的零输入响应，第二项是电感电流iL(t)的零状态响应，时间常数是=GoL=L/Ro。

例8-12 电路如图8-37(a)所示，试求电感电流和电感电压的 阶跃响应和冲激响应。 解：用三要素法先求出电感电流iL(t)的阶跃响应

电感电流阶跃响应对时间求导得到iL(t)的冲激响应 利用电感电压电流关系可以求出电感电压uL(t)的冲激响应 令含有冲激函数(t)的第一项中的t=0，得到电感电压uL(t)的冲激响应为

电感电压的冲激响应也可以用三要素法先求出电感电压uL(t)的阶跃响应

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 电容器的放电过程 2:05 2 电容器放电的波形 2:07 3 电容器的充电过程 2:50 4 电容器充电的波形 2:41 5 电容器充放电过程 2:48 6 直流电压源对电容器充电 1:51 7 RC和RL电路的响应 3:06 8 RC分压电路的响应 2:14 9 电路实验分析 2:47

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§8－7 电路应用，电路实验和计算机分析电路实例 首先介绍RC分压电路的分析和应用。再介绍计算机程序DCAP可以按照三要素法计算包含一个动态元件的直流激励一阶电路。最后对一个电感器和电阻器串联电路的波形进行分析研究。

一、RC分压电路的分析和应用 电子、通信和测量设备中广泛应用分压电路，在直流和低频工作时常常使用电阻分压电路，在工作频率比较高的情况下，由于实际电路中的分布电容影响电路的分压特性，常常采用电阻和电容的分压电路。下面先分析RC串联分压电路模型，再介绍它的实际应用。

例6－13 图8－38(a)是RC分压器的电路模型，试求开关转换后输出电压的零状态响应。 图8-38

解： 图8－38(a)电路中开关的作用是将一个阶跃信号加在RC分压电路上，其作用相当于图8－38(a)电路中的阶跃电压源。将电路中的电压源用短路代替后，电容C1 和C2并联等效于一个电容，说明该电路是一阶电路，其时间常数为 在t>0时，该电路是由直流电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。当t→∞电路达到直流稳态时，电容相当于开路，输出电压按照两个电阻串联的分压公式计算，其稳态值为

现在计算初始值uc2(0+)。在t<0时，ε(t)=0，电路处于零状态， uc2(0-) = uc2(0-) =0。在t=0 +时刻，两个电容电压应该满足以下KVL方程

由以上两个方程求解方程得到 从此式可以看出输出电压跃变后的初始值与两个电容的比值有关。 用三要素公式得到输出电压的表达式为 由上式可以看出，输出电压的初始值由电容的比值确定，其稳态分量由两个电阻的比值确定。

改变电容C1可以得到三种情况。当R1C1 < R2C2 ，输出电压的初始值比稳态值小，它由初始值逐渐增加到稳态值，称为欠补偿，其波形如图(c)所示；当R1C1 = R2C2时，输出电压的初始值与稳态值相同，它马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿，其波形如图(d)所示；当R1C1 > R2C2时，输出电压的初始值比稳态值大，它由初始值逐渐衰减达到稳态值，称为过补偿，其波形如图(e)所示。

这就是很多高频测量仪器的输入RC分压电路(例如示波器的探头)中设置一个微调电容器的原因，用户可以调节这个电容器来改变时间常数，令R1C1 = R2C2 ，得到完全补偿，使输出波形与输入波形相同，得到没有失真的输出波形。 示波器是一种测量电压波形的电子仪器，为了能够测量不同频率、不同幅度和各种形状的电信号，在它的输入端有一系列RC分压电路，例如在示波器探头中有一个RC分压电路，其中有一个可调电容器，供用户改变RC分压电路时间常数，以便在各种使用情况下能够正确观测电信号的波形。有兴趣的读者可以观看教材所附光盘中的“RC分压电路响应”的实验录像。

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二、计算机辅助电路分析 本章介绍了计算直流激励一阶电路的三要素法，它是通过计算几个直流电阻电路求得响应的初始值、稳态值和电路的时间常数的方法来确定电路中任一电压和电流。我们可以根据三要素法，利用任何一个分析直流电路的计算机程序来计算只含一个电感和电容的直流一阶电路的响应。本书所附光盘中的DCAP程序就是利用这种算法来编写的程序。下面举例说明。

例8－14 图8－39(a)所示电路原来已经稳定，t=0时闭合开关S1，断开开关S2，求各电压电流的响应。 解: 用DCAP程序分析图(a)电路的数据文件如图(b)所示，其中OS表示原来断开的开关S1，在t=0时闭合；CS表示原来闭合的开关S2，在t=0时断开。运行DCAP程序，读入上述电路数据后，选用直流一阶电路的菜单，屏幕上显示出各电压，电流的初始值f(0-)， f(0+)和稳态值f()。如下所示：

运行DCAP程序，读入上述电路数据后，选用直流一阶电路的菜单，屏幕上显示出各电压，电流的初始值f(0-)， f(0+)和稳态值f()，如下所示： f(0-) f(0+) f() f(0-) f(0+) f() u 1= 25.0 25.0 25.0 i 1= .000 -2.00 .000 u 2= 20.0 .000 .000 i 2= .000 2.00 .000 u 3= .000 20.0 .000 i 3= .000 2.00 .000 u 4= 5.00 5.00 25.0 i 4= .000 2.00 .000 u 5= .000 .000 20.0 i 5= .000 .000 .000 u 6= 5.00 5.00 5.00 i 6= .000 .000 .000

然后用三要素公式的形式，显示出各电压，电流的表达式，如下所示： ----- 直 流 一 阶 电 路 分 析 ----- 本程序用三要素法计算含一个动态元件的直流一阶电路 时间常数  =C*Ro = .100 * 10.0 = 1.00 s ------ f(t) = f()+[f(0+)-f()]*exp( -t /  ) ------ V u 1 = 25.0 +.000 *exp( -1.00 t) OS u 2 = .000 +.000 *exp( -1.00 t) R u 3 = .000 +20.0 *exp( -1.00 t) C u 4 = 25.0 -20.0 *exp( -1.00 t) CS u 5 = 20.0 -20.0 *exp( -1.00 t) VR u 6 = 5.00 +.000 *exp( -1.00 t) V i 1 = .000 -2.00 *exp( -1.00 t) OS i 2 = .000 +2.00 *exp( -1.00 t) R i 3 = .000 +2.00 *exp( -1.00 t) C i 4 = .000 +2.00 *exp( -1.00 t) CS i 5 = .000 +.000 *exp( -1.00 t) VR i 6 = .000 +.000 *exp( -1.00 t)

还可以图形方式在屏幕上画出任一响应的波形, 这里以字符形式给出电容电压的波形图。 C : u 4(t) = 25.0 -20.0 *EXP( -1.00 t) 时间 (s) u 4(t) 最小值= 5.00 最大值= 24.8 0.000E+00 5.000E+00 * 2.500E-01 9.424E+00 * 5.000E-01 1.287E+01 * 7.500E-01 1.555E+01 * 1.000E+00 1.764E+01 * 1.250E+00 1.927E+01 * 1.500E+00 2.054E+01 * 1.750E+00 2.152E+01 * 2.000E+00 2.229E+01 * 2.250E+00 2.289E+01 * 2.500E+00 2.336E+01 * 2.750E+00 2.372E+01 * 3.000E+00 2.400E+01 * 3.250E+00 2.422E+01 * 3.500E+00 2.440E+01 * 3.750E+00 2.453E+01 * 4.000E+00 2.463E+01 * 4.250E+00 2.471E+01 * 4.500E+00 2.478E+01 * 4.750E+00 2.483E+01 * 5.000E+00 2.487E+01 *

三、电路实验设计 从事电路设计的工程师必须解决个两个问题，一个是如何从实际电路中抽象出简单而足够精确的电路模型，第二个问题是如何根据电路模型来制成电气性能良好的实际电路。下面举例一个简单的实例，说明如何从实际电路抽象出电路模型。 例如为了观测电容器的电压和电流波形，可以用一个阻值很小的电阻器与电容器串联，如图7－28所示。用双踪示波器观测电路的总电压u1和电阻器电压uR，当电阻器阻值很小时，总电压u1(t)与电容电压uC(t)波形基本相同。请观看教材光盘中的“电容的电压电流波形”实验录像。

例8－15 在电路实验中，常用一个方波信号发生器和示波器来观察RC一阶电路的波形，能不能用这种方法来观察一个2 例8－15 在电路实验中，常用一个方波信号发生器和示波器来观察RC一阶电路的波形，能不能用这种方法来观察一个2.2mH电感器和100kΩ电阻器串联电路的波形呢？现在用图8－40所示实验电路来作实验，示波器观测电阻电压的波形如图8－40(b)所示，为什么会得到这样的波形呢？

解：在对RL串联一阶电路模型进行理论分析时我们知道其电压和电流应该从初始值开始，按照指数规律衰减或增加到稳态值，不会出现图(b)所示振荡的波形。问题在于该实验电路不能用RL串联一阶电路来模拟。一个实际电感器是用导线在磁心上绕制而成的，它的电路模型是电感，电阻和电容组合而成，如图7－13(c)所示，不能简单地用一个电感来模拟。用实验方法测得该电感器的电阻为30Ω，电容为30pF，考虑到该信号发生器有600Ω的输出电阻和示波器有1MΩ输入电阻以及30pF的输入电容，得到该实验电路更为精确的电路模型，如图8－41所示。

一个2.2mH电感器和100kΩ电阻器串联实验电路的电路模型如下所示： 图8－41 显然这个电路已经不是一阶电路了，在学习高阶电路分析方法以前，我们可以用计算机程序DNAP对图8－41所示电路模型进行分析，计算结果表明该电路是一个三阶电路，它有三个固有频率，其中有一对共轭复数，它意味着有衰减振荡波形的分量存在。

DNAP对图8－41所示电路模型进行分析，计算结果表明该电路是一个三阶电路，它有三个固有频率。 L8-15 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 数 值 数 值 V1 1 1 0 1.0000 R 2 1 2 600.00 R 3 2 3 30.000 L 4 3 4 2.20000E-03 .00000 C 5 2 4 3.00000E-11 .00000 R 6 4 0 1.00000E+05 C 7 4 0 2.00000E-11 .00000 R 8 4 0 1.00000E+06 独立结点数目 = 4 支路数目 = 8 <<< 网 络 的 特 征 多 项 式 >>> 1.00 S**3 +1.395E+08 S**2 +4.761E+13 S +1.271E+21 <<< 网 络 的 自 然 频 率 >>> S 1 = -1.3822E+05 +j -3.0193E+06rad/s S 2 = -1.3822E+05 +j 3.0193E+06rad/s S 3 = -1.3918E+08 rad/s

DNAP对图8－41所示电路模型进行分析，选择代码5，得到结点电压v4(t)的时域表达式为 ***** 完 全 响 应 ***** v4 (t) =ε(t)*( -.197 +j -.394E-01) *exp( -.138E+06+j -.302E+07)t +ε(t)*( -.197 +j .394E-01) *exp( -.138E+06+j .302E+07)t +ε(t)*( -.600 +j -.753E-09) *exp( -.139E+09+j .000 )t +ε(t)*( .993 +j .000 ) *exp( .000 +j .000 )t v4 (t) =ε(t)*[(.401 )* exp ( -.138E+06t)]cos( .302E+07t +168.7 )

采用1μs步长画出电压v4(t)的波形如下图所示，它们与示波器观测的波形近似。

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根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 电容器的放电过程 2:05 2 电容器放电的波形 2:07 3 电容器的充电过程 2:50 4 电容器充电的波形 2:41 5 电容器充放电过程 2:48 6 直流电压源对电容器充电 1:51 7 RC和RL电路的响应 3:06 8 RC分压电路的响应 2:14 9 电路实验分析 2:47

摘 要 1．动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。

2．动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程，并利用初始条件求解。对于线性n阶非齐次微分方程来说，其通解为 fh (t)是对应齐次微分方程的通解，称为电路的固有响应，它与外加电源无关。fp (t)是非齐次微分方程的特解，其变化规律与激励信号的规律相同，称为电路的强制响应。 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为 。若s<0时,当t→∞时， ， 。此时固有响应fh (t)称为暂态响应，强制响应fp (t)称为稳态响应。

3．直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式为 只要能够计算出某个响应的初始值，稳态值和电路的时间常数 这三个要素，利用以上通用公式，就能得到该响应的表达式，并画出波形曲线。对于仅含有一个电容或一个电感的一阶电路来说，只需要求解几个直流电阻电路，即可得到这三个要素的数值。这种计算一阶电路响应的方法，称为三要素法。

4．三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路。 5．阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应，一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得。 6．冲激响应是电路在单位冲激电压或电流激励下的零状态响应，线性非时变电路的冲激响应可以用阶跃响应对时间求导数的方法求得。

郁金香