第10章 图像的几何校正 几何失真 图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。 第10章 图像的几何校正 几何失真 图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。 几何失真 系统失真 非系统失真。 系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真具有随 机的。 当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精 确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失 真的图像），以免影响定量分析的精度。

几何校正方法 图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型；其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行几何校正。通常分两步： ①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系，解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图像各个像素坐标进行校正； ②确定各像素的灰度值（灰度内插）。

10.1 空间坐标变换 实际工作中常以一幅图像为基准，去校正几何失真图像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小的摄像系统获得的，而有较大几何畸变的图像用g(x´,y´)表示，下图是一种畸变情形。 设两幅图像几何畸变的关系能用解析式 来描述。

通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多项式来近似 当n=1时，畸变关系为线性变换， 上述式子中包含a00、a10、a01 b00、b10、b016个未知数，至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。

当n=2时，畸变关系式为 包含12个未知数，至少需要6个已知点来建立关系式，解求未知数。 几何校正方法可分为直接法和间接法两种。

一、直接法 根据 和若干已知点坐标，解求未知参数；然后从畸变图像出发，根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像素，这样生成一幅校正图像。 但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图像通过灰度内插生成规则的栅格图像。

二、间接法 设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交叉点，从网格交叉点的坐标（x,y）出发，根据 和若干已知点，解求未知数。据此推算出各格网点在已知畸变图像上的坐标(x‘,y’)。由于(x‘,y’)一般不为整数，不会位于畸变图像像素中心，因而不能直接确定该点的灰度值，而只能由该像点在畸变图像的周围像素灰度值内插求出，将它作为对应像素（x,y）的灰度值，据此获得校正图像。

由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行几何纠正。 10.2 像素灰度内插方法 常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法和三次内插法三种。 1．最近邻元法 在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素灰度赋给该待求点。 该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿状，即存在灰度不连续性。

2．双线性内插法 双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在二方向上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。 对于(i，j+v)有 f(i，j+v)=[f(i，j+1)-f(i，j)]v +f(i，j) 对于(i+1，j+v)有 f(i+1，j+v)=[f(i+1，j+1)- f(i+1，j)]v+f(i+1，j)

对于(i+u,j+v)有 f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v) = 该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。

Bilinear vs Nearest Neighbour: Original Nearest Neighbour Bilinear

该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值函数sin(x)/x。其数学表达式为： 3．三次内插法 该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值函数sin(x)/x。其数学表达式为： (i-1,j-1) (i-1,j+2) u v (x,y) (i+2,j+2) (i+2,j-1)

待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下： f(x,y)=A‧B ‧ C 其中 A=[s(1+v) s(v) s(1-v) s(2-v)] c=[s(1+u) s(u) s(1-u) s(2-u)]T 该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。

常用的图像几何变换介绍 图像处理时，往往会遇到需要对图像进行放大、缩小、旋转等操作。因为像素是离散的，所以经过坐标变换之后，如果不进行处理，就会产生畸变。

1 图像的缩小 一、图像的尺寸减半： 2M*2N的图像缩小为：M*N的图像。 处理方法是： 取偶数行和偶数列构成新的图像。

二、图像的任意成比例的缩小： M*N大小的图像缩小为：L*S大小。 其中：M/N=L/S=k. 1.计算c= L / M 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y) 则：I(x,y)=F(int(c*x),int(c*y))

1 图像的缩小 例： 取：2，3，4，6，7，8列；2，3，4行

1 图像的缩小 三、图像的任意不成比例缩小：这种操作一定带来图像的几何畸变。 M*N大小的图像缩小为：L*S大小。 其中：M/L=k1, N/S=k2. 1.计算c1=1/k1,c2=1/k2 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y) 则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y))

1 图像的缩小 例： 取：2，3，5，6列；2，4行

2 图像的放大 图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。 2 图像的放大 图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。 图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的值，这是信息的估计问题，所以较图像的缩小要难一些。

2 图像的放大 一、图像的成倍放大 常用的方法是：原来的一个点的值填到一个2*2的小块中去。

2 图像的放大 二、图像的按比例方法： 方法一： 将一点的值用一个小块来代替。即：

2 图像的放大 思考： 如果比例太大，两种方法都会出现马赛克效应。如果这个问题交给你处理，有没有办法解决？ 方法二： 2 图像的放大 方法二： M*N大小的图像放大为：L*S大小。 其中：M/N=L/S=k. 1.计算c= L / M 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y) 则：I(x,y)=F(int(c*x),int(c*y)) 思考： 如果比例太大，两种方法都会出现马赛克效应。如果这个问题交给你处理，有没有办法解决？

2 图像的放大 三、图像的任意不成比例放大 这种操作一定带来图像的几何畸变。 M*N大小的图像放大为：L*S大小。 2 图像的放大 三、图像的任意不成比例放大 这种操作一定带来图像的几何畸变。 M*N大小的图像放大为：L*S大小。 其中： L / M =k1, S / N =k2. 1.计算c1=k1,c2=k2 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y) 则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y))

3 图像的旋转 图像的旋转实际上是坐标系的旋转，下图给出了图像旋转的原理示意图。 θ

3 图像的旋转 为了尽量不扩大画布，所以是以画面的中心点为坐标原点进行旋转的。所以有： 设图像大小为M*N，作新图像的画布为M1*N1.

3 图像的旋转 因为像素的坐标都是整数，所以当用前面的方法旋转时，会出现画面上有许多的空点，（即白点）这就影响了旋转图像的效果。为此我们还需要进行图像的空点的插值。

3 图像的旋转 最简单的方法是行插值或是列插值方法： 1. 找出当前行的最小和最大的非白点的坐 标，记作：(i,k1)、(i,k2)。 3 图像的旋转 最简单的方法是行插值或是列插值方法： 1. 找出当前行的最小和最大的非白点的坐 标，记作：(i,k1)、(i,k2)。 2. 在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法 是：空点的像素值等于前一点的像素值。 3. 同样的操作重复M1行。

3 图像的旋转 插值处理示意图：

图像的减半缩小效果

图像的按比例缩小效果

图像的不按比例任意缩小

图像的成倍放大效果

图像大比例放大时的马赛克效应 放大10倍

图像不按比例放大

图像的旋转效果

图像旋转中的插值处理效果

Image registration E.g., may image a tumor at two different instants in time and may want to check if it is growing. E.g., Surveying land: Image 1 shows an area of Mojave desert; 2 shows adjacent area; 3 formed by registering overlapping regions and stitching images together. 1 3 2

Multispectral Tissue Classification 3D Histogram Segmented Image T2 

图像重建 如图给出了图像重建的三种模型，即透射模型、发射模型和反射模型。 透射模型建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收的基础之上，透射模型经常用于X射 线、电子射线及光线和热辐射的情况下，它们都遵从一定的吸收规则。 发射模型可用来确定物体的位置。这种方法已经广泛用于正电子检测,通过在相反的方向分解散射的两束伽马射线,则这两束射线的渡越时间可用来确定物体的位置。 反射模型可以用来测定物体的表面特征，例如光线、电子束、激光或超声波等都可以用来进行这种测定。 这三种模型是无损检测中常用的数据获取方法。

1 计算机断层扫描的二维重建 计算机断层扫描的基本原理，如图所示，从线性并排着的X线源发射一定强度的X线，把通过身体的X线用与X线源平行排列的X线检测器接收。然后把X线源和检测器组以体轴为中心一点一点的旋转，反复进行同样的操作。利用这样求得的在各个角度上的投影数据，就得到了垂直于体轴的断面图像。

从多个投影数据重建图像有多种方法，这里介绍最基本的傅立叶变换法。 图像f(x,y)的傅立叶变换为 而f(x,y)对x轴的投影为 对其进行傅立叶变换得

可见f(x,y)向x轴投影的傅立叶变换，与f(x,y)的傅立叶变换沿v=0 的断面一致的。 若对多个方向直线上的投影数据分别进行傅立叶变换，就可求出沿着与这个方向相同的直线上的F(u,v)。 如果把由它们计算出的F(u,v)进行傅立叶逆变换，就得到了原始的图像f(x,y)。 因为从投影数据的傅立叶变换得到的是极坐标形式的F(u,v) ，因此为了求得在直角坐标系中的F(u,v)，就必须在F(u,v)空间进行内插，或者按照极坐标进行逆傅立叶变换，在图像空间进行内插。

2三维形状的复原 为了测出三维物体的形状，一方面可以一点点地移动位置，一方面求出多个垂直于通过物体中心线的断面，然后把它们依次连接起来，即根据一系列二维图像的位置变化构成三维图像。 一旦这样的物体三维信息被恢复，就可以求出关于具有任意倾斜度平面的断面，或者可以由三维的任意方向来看物体，从而使对物体形状的判读变得非常容易。 从多个断面恢复三维形状的方法有Voxel 法（体素法）、分块的平面近似法。

1.  Voxel 法（体素法） 如果在断面间加密，让断面内的抽样间隔和断面间隔相等，断面内的各像素就可以看成三维空间的小立方体，如图所示。因此，在多个断面图像中，断面之间相当于这个立方体高度，立方体堆积起来就可以表现物体的三维图像。 2．分块的平面近似法 分块的平面近似法是面向表面型的表示法。 用前者求物体表面很困难，而用后者求断面困难。因此要根据目的的不同采用合适的表示法。

从断面合成的头部三维图像