單一訂購量 (Single Order Quantities ) Single Order Quantities (S O Q)為一次之採購之策略。當EOQ , EOI , EPQ 不能使用時，且訂購之物品有節日性，一年可能只定購一次， 如聖誕卡，月餅，雜誌等。

第七章 單一訂購量 (Single Order Quantities )

SOI模型的應用範圍 一、在不規律期間存在有需求：如流行的產品，零售業的訂購或保養維修用的備品。 二、在頻繁間隔且短生命週期項目的不確定性需求：如腐壞的物品，生命週期短或逐漸作廢的物品。

你答對了嗎? 這個嘛…… 過量的存貨處理有哪些方法： 如果對週期內之需求大於訂購量，會有利益損失的可能發生。若需求小於訂購量，可能會有過量的存貨的情況。 這個嘛…… 過量的存貨處理有哪些方法： 一、損壞後拋棄。 二、降低售價。 三、存到下季再銷售。

單一訂購問題能依來源、需求和前置時間來分類，如圖7.1所示。

Example 1 　 某一商家決定要在聖誕節賣聖誕樹，而商家要訂購一次且滿足85百分比之服務水準並決定訂購之前置時間，下表7.1為前置時間之分配， Lead time (Day) Number of occurrences   10 10 11 10 12 15 13 20 14 30 15 10 16 5 表 7.1 100

Example 1 （續） 表 7.2 下表為機率之分配表 Lead-time Probability Probability of Lead-time L P(L) （累積機率）ﻜ L 10 0.1 0.1 11 0.1 0.2 12 0.15 0.35 13 0.2 0.55 14 0.3 0.85 15 0.1 0.95 16 0.05 1 由上表之機率分配表得知再前置時間為14天定購時可以滿足滿足85百分比之服務水準。

7-3 需求為變數和前置時間已知 如果需求不知道但需求的機率分配可獲得，此問題能在指定的冒險率下求得解答，其訂購量的大小可由最大的期望利潤或最小的期望成本中選擇。 需求在小於或等於單一訂購量的離散機率： Q=單一訂購量 M=隨機需求 P(M)=M單位需求時的機率 MMAX=最大需求量

需求超過訂購量的機率： 每個離散需求策略Qi的期望值為： F(QiMi)：當真實的需求是Mj下，策略為Qi的結果

F(QiMi)的關係式 （以利潤的角度） for (缺貨情況) for (過量情況) A=每單位的缺貨成本 J=單位的利潤 L=不可利用的處置之每單位損失成本 Qi=i項的單一訂購量 Qi-Mj=過量的存貨量 Mj-Qi=缺貨量

F(QiMi)的關係式 （以成本的角度） for (生產過量情況) for (生產不足情況) P=單位成本

在表7.3中的矩陣，描寫先前的離散數學關係： 表7.3 策略 機率： P(M0) P(M1) … P(Mn)自然狀況 M0 M1 Mn 期望值 Q0 Q1 .. Qm F(Q0M0) F(Q0M1) … F(Q0Mn) F(Q1M0) F(Q1M1) … F(Q1Mn) F(QmM0) F(QmM1) … F(QmMn) E(Q0) E(Q1) E(Qm)

【例題二】 商人希望在聖誕節期間賣聖誕樹，他僅能有一次訂購的時間，每棵樹的成本為$2.00元，賣出售價為$6.00元，訂購成本可忽略，沒有賣出的樹可當柴售出，售價$1.00元。商人必須訂購十種樣式的樹，其需求的分配如表7.4所示，問商人要訂購多少樹呢？ 表7.4 需求量M 機率P(M) 10 20 30 40 50 60 0.10 0. 20 0. 35 0. 15 0. 10 1. 00

解： 由每個策略和自然的狀態之利益分配下的矩陣如表7.5所示，最後選擇期望利益最高的值，訂購量為50。 表7.5 策略 機率 0.10 0.10 0.20 0.35 0.15 0.10 自然狀況 10 20 30 40 50 60 期望值 10 20 30 40 50 60 40 20 30 40 50 60 30 80 80 80 80 80 20 70 120 120 120 120 10 60 110 160 160 160 -10 40 90 140 190 240 40.00 75.00 105.00 125.00 127.50 122.50 0 50 100 150 200 200

獲益分析(Benefit Analysis) 1.上節所示每個預期訂購量的大小要徹底表列，當數目 過大時會有繁瑣的過程 2.本節導出簡單的最佳利益下之訂購量，在最大的期望利 益下，決定在期間結束時的訂購量大小 期望利潤(EP)=期望收入(ER)-期望成本(EC) 期望收入(ER)=期望出售收入+期望報廢收入 （1） （2） 期望成本(EC)=購買成本+訂購成本+期望缺貨成本

（2） （3） A=每單位的缺貨成本 C=每次訂購的訂購成本 M=隨機變數的需求量 f(M)=需求的機率密度函數 M-Q=缺貨量 Q=單一訂購量 Q-M=過量的存貨量 P=購買成本 P1=賣出價格 P(M>Q)=缺貨的機率 V=每單位的報廢價值 = 期望的過量數量 = 期望的缺貨數量

=P1+V-P1+(P1+A-V)P(M>Q)-P=0 最佳缺貨機率= P(M>Q) = P(S) = ML=P-V=邊際損失 MP=P1-P=邊際利益

Example3 某一商家決定要在聖誕節賣聖誕樹，而商家要訂購一次且決定訂購量，買進每顆之價錢為$2，賣出為$6，過了聖誕節後一顆只能賣出$1，下表為需求之機率分配 Demand M Probability P(M)   10 0.1 20 0.1 30 0.2 40 0.35 50 0.15 60 0.10 1

= 1/4+1+0=0.2 (Optimum stockout probability) Example 3 （續） P(s) = ML / MP+ML+A = 1/4+1+0=0.2 (Optimum stockout probability)  Demand M Probability P(M) Probability of Demand>M   10 0.1 0.9 20 0.1 0.8 30 0.2 0.6 40 0.35 0.25 50 0.15 0.1 60 0.1 0.0 1 由於P(s)為0.2介於需求為40和50之間選擇Probability of Demand較小的，所以訂購50個為最佳。

某公司種植灌木樹，要在每年的春天收割及出售， 公司想依據過去經驗，估計切割和修剪的數量……… 請您幫幫忙

【例題四】 某公司種植灌木樹，要在每年的春天收割及出售，公司估計切割和修剪的成本$2.50元。平均的轉運成本為每棵0.50元，公司賣給零售商的價格為每棵$5.00元。如果樹收割但沒賣出，計為全部損失，其中不包含轉運費用。需求情況如表7.7所示，公司要收割多少量下之利益最大？ 表7.7 需求量(千) 機率P(M) 10 20 30 40 50 0. 10 0. 20 0. 25 0. 30 0. 15 1. 00

由表7.8所示，最佳的缺貨機率在0.70和0.45之間，選擇較小值，所以收割量為30000棵。 【例題四】解： 由表7.8所示，最佳的缺貨機率在0.70和0.45之間，選擇較小值，所以收割量為30000棵。   表7.8 需求量M 機率 需求的機率>M 10 20 30 40 50 0.10 0.20 0.25 0.30 0.15 0.90 0.70 0.00 0.45

成本分析 (Cost Analysis) 期望成本(EC)=訂購成本+購買成本+期望缺貨成本-期望過量價值 C=每次訂購的訂購成本 P=每單位的購買成本 Q=單一訂購量 A=每單位的缺貨成本 M=隨機變數的需求量 M-Q=缺貨量 f(M)=需求的機率密度函數 V=每單位的報廢價值

最佳缺貨機率= 1-P(s)表示服務水準，如果需求為常態分配在平均值為 和標準差為 ，單一訂購量的最小期望成本為： 最佳單一訂購量= 和標準差為 ，單一訂購量的最小期望成本為： 最佳單一訂購量= 表7.9為P(s)缺貨機率為標準常態分配表。(見講義)

【例題五】 某百貨公司剛購買新的中央空調設備，估計此設備的壽命為12年。管理者必需決定購買多少備用的壓縮機，如果購買新的壓縮機每個要$100元，如果當它故障才修理要$1000元。表7.10為中央空調設備壽命時間內零件故障的機率分配情況，假設報廢價值可忽略，如果持有成本忽略的話要購買多少？如果持有成本為10%時，要購買多少？假設故障的發生是等間隔的，單一次故障的發生在第六年結束，2次故障的發生分別在第四年和第八年結束，3次故障的發生分別在第三年、第六年和第九年結束。 故障的次數M 機率 故障次數的機率>M 1 2 3 0.30 0.40 0.25 0.05 1.00 0.70 0.00 表7.10 0.05

解： 持有成本忽略時，期望成本如表7.11所示： 表7.11 策略 機率 0.30 0.40 0.25 0.05 自然狀況 0 1 2 3 機率 0.30 0.40 0.25 0.05 自然狀況 0 1 2 3 期望值 1 2 3 0 1000 2000 3000 100 100 1100 2100 300 300 300 300 1050 450 250 300 200 200 200 250 策略2期望成本最低，管理者應決定訂購兩個壓縮機。可用容易的方法得到相同答案。   由表7.10中可得應購買2台。

查閱現值表7.12 在第幾年的故障 因素 3 4 6 8 9 0.751 0.693 0.564 0.467 0.424 表7.12 對未來單一支付結果之因素，可得 表7.13 的期望成本。

表7.13 策略 機率 0.30 0.40 0.25 0.05 自然狀況 0 1 2 3 期望值 1 2 3 0 564 1150 1739 100 100 567 1088 300 300 300 300 600.25 266.15 221.20 300.00 200 200 200 624 上表之計算方式，舉策略0及自然狀況3的範例來說明，期望值為 0.751(1000)+0.564(1000)+0.424(1000)=1739 由上表可知最小的期望成本為策略2時，管理者應決定訂購兩台。

Example 6 如果已知需求為常態分配且平均數(M)為100 ，標準差σ為 20 ，而每一個成本為100，缺貨成本為1000 ，求需訂購幾個？ <解> P(s) = P- V/A - V = (100-0) / (1000-0 ) = 0.1 Q*= M + Zσ = 100 +1.29 (20) = 126個