數學少林寺 因式分解 寺址：新竹縣立中正國民中學 長老：林永章、廖玉真

寺址：新竹縣立中正國民中學 長老：廖玉真、林永章 數學少林寺 因式分解 寺址：新竹縣立中正國民中學 長老：廖玉真、林永章

內功心法 緣起： 在長老的生活經驗中，經常遇的新朋友的一段談話「你是數學老師一定很聰明，我小時候數學成績最差。」首先數學老師不一定聰明，即使有也是訓練來的；其次數學成績可以用勤勞來彌補，平時多思考對智商一定有幫助，長老希望來過本寺之人，從此不是數學最差，而是樣樣都強。有些學生上課容易分心，這跟生長環境有關，但長老希望課堂上的分心，可以回家作補救，藉由上網下載本寺武功秘笈，自修可以得到接近長老親授的功力，家長們也可自學後指導自己小孩，或與孩子互相討論，增加親子互動。 另外，本寺只提供入門武功，想要得到武林第一之稱號，還需自我磨練，以提昇自身功力。

因式分解 數學少林寺1 -- 基本功修練 練功房 闖十八銅人陣(測驗) 行走江湖(各屆考題)

基本功修練 1.因式與倍式 2.什麼是因式分解？ 3.因式分解的方法-練武廳

因式與倍式 定義：A、B、C均為多項式，若A=B×C， 則稱A為B與C之倍式，B與C 均為 A之因式。 回基本功 因式與倍式 定義：A、B、C均為多項式，若A=B×C， 則稱A為B與C之倍式，B與C 均為 A之因式。 例如：x2+3x+2=(x+1)(x+2) x2+3x+2為x+1與x+2之倍式 x+1與x+2 均為x2+3x+2之因式

什麼是因式分解？ 解： x2+3x+2 解： (x+1)(x+2) 將展開的多項式寫成兩多項式乘積稱為因式分解 例：因式分解x2+3x+2 回基本功 什麼是因式分解？ 將兩多項式乘開稱為展開多項式 例：展開(x+1)(x+2) 解： (x+1)(x+2) = x2+3x+2 將展開的多項式寫成兩多項式乘積稱為因式分解 例：因式分解x2+3x+2 解： x2+3x+2 =(x+1)(x+2)

因式分解方法—練武廳 1.提公因式法 2.公式法 3.分組提公因式法 4.十字交乘法 5.雙十字交乘法

提公因式法-1(修練室) 檢查每一項是否有共同的因式 例：x2+3x =x． x + 3． x 回練武廳 提公因式法-1(修練室) 練功去 檢查每一項是否有共同的因式 例：x2+3x =x． x + 3． x 其中x2 項有因式 x ，3x項也有因式 x ，所以利用反分配律將其共同之因式 x 提出。 x2+3x 共同的x提出來 =(x + 3) ． =x(x+3) x

提公因式法-2 (修練室) 例：因式分解5 (x+2)-x (x+2) 解： 5 (x+2)-x (x+2) 回練武廳 提公因式法-2 (修練室) 例：因式分解5 (x+2)-x (x+2) 解： 5 (x+2)-x (x+2) = 5 ．(x+2) - x ．(x+2) 共同的 (x+2) 提出來 (5-x) =(x+2)

提公因式法-3 (修練室) = (2x-1) (2x-1-3) = (2x-1) (2x- 4) (2x-1) (x- 2) 回練武廳 練功去 提公因式法-3 (修練室) 例：因式分解(2x-1)2-3(2x-1) 解：(2x-1)2 -3(2x-1) = (2x-1) ． (2x-1) - 3 ．(2x-1) = (2x-1) (2x-1-3) = (2x-1) (2x- 4) (2x-1) (x- 2) [(2x-1) - 3 ] =(2x-1) 括弧內有共同因式需再提出來 =2

公式法(修練室) 公式1 (a+b) 2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2 = (a+b)2 回練武廳 練功去 公式法(修練室) 公式1 (a+b) 2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2 = (a+b)2 使用時機：當所要分解的多項式為三項，其中有兩項可寫成完全平方型態時如a2、b2，則檢查第三項是否符合2ab型態 例：因式分解x2+6x+9 解： x2+6x+9 =(x+3)2 b2型態 +32 a2型態 =X2 2ab型態 + 2 ． x ． 3

公式法(修練室) 公式2 (a – b )2= a 2 – 2a b + b2 a 2 – 2a b + b2 = (a – b)2 回練武廳 練功去 公式法(修練室) 公式2 (a – b )2= a 2 – 2a b + b2 a 2 – 2a b + b2 = (a – b)2 使用時機：與公式1大略相同，只需檢查2ab的正負 例：因式分解x2 - 6x + 9 解： x2 - 6x + 9 = x2 - 2 ． x ． 3 + 32 =(x - 3)2

公式法(修練室) =x2- 公式3 (a +b)(a –b) = a 2 – b2 a 2 -b2 = (a +b) (a –b) 回練武廳 練功去 公式法(修練室) 公式3 (a +b)(a –b) = a 2 – b2 a 2 -b2 = (a +b) (a –b) 例：因式分解 X2-9 解： X2-9 =(X+3)(X-3) 檢查b2 檢查a 2 =x2- 32

分組提公因式法 例：因式分解2x-3y-2x2+3xy 解：2x-3y-2x2+3xy =(2x-3y)+(-2x2+3xy) 回練武廳 練功去 分組提公因式法 回上頁 例：因式分解2x-3y-2x2+3xy 解：2x-3y-2x2+3xy =(2x-3y)+(-2x2+3xy) =(2x-3y)-x(2x-3y) =(2x-3y)(1-x) (或=- (2x-3y)(x-1)) 無法直接提公因式 分成兩組，分別提公因式

分組提公因式法 例：因式分解1-x2+2xy-y2 解： 1-x2+2xy-y2 =1-(x2-2xy+y2) =12-(x-y)2 回練武廳 練功去 分組提公因式法 回上頁 例：因式分解1-x2+2xy-y2 解： 1-x2+2xy-y2 =1-(x2-2xy+y2) =12-(x-y)2 =[1+(x-y)][1-(x-y)] =(1+x-y)(1-x+y) 無法直接提公因式 分成兩組

十字交乘法 若a x2+bx+c=(px+q)(rx+t) 展開上式得 a x2 + b x + c 回練武廳 十字交乘法 回上頁 若a x2+bx+c=(px+q)(rx+t) 展開上式得 a x2 + b x + c =prx2 +(qr+pt)x + qt， 對照a =pr ， b =qr+pt，c= qt， 因此若要將a x2+bx+c分解需將a 拆成兩數p、r相乘，c也拆成兩數q、t相乘。

十字交乘法 ∴x2 +3x + 2 =(x+1)(x+2) ∴(x+1)(x+2)= x2 +3x + 2 回練武廳 回上頁 ----------------- -------------------- x2 +3x + 2 ∴(x+1)(x+2)= x2 +3x + 2 因式分解 x2 +3x + 2 ---------------- 2x+1x=3x ∴x2 +3x + 2 =(x+1)(x+2) x2 = x．x x 2=1．2 +1 +2 1x2 2x +2 +1x

十字交乘法 回練武廳 練功去 回上頁 a x2 + b x + c =prx2 +(qr+pt)x + qt= (px+q)(rx+t) ---------------- ptx + qt prx2 +qrx --------------------------- prx2 +(qr+pt)x + qt 交叉相乘和 qt pr 例：因式分解 x2 +3x + 2 x +1 x +2 ---------------- 1x2 +3x + 2 2x+1x ∴ x2 +3x + 2 =(x+1)(x+2) x2 2

十字交乘法 1=1×1， 2=1×2 =(-1)×(-2) 因式分解x2+3x+2 1x +1 1x +2 ----------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解x2+3x+2 1=1×1， 2=1×2 =(-1)×(-2) 1x +1 1x +2 ----------- 2x+x=3x 1x -1 1x -2 ----------- -2x-x=-3x(不合) ∴ x2+3x+2=(x+1)(x+2)

十字交乘法 1=1×1， 2=1×2 =(-1)×(-2) 因式分解x2-3x+2 1x +1 1x -1 1x +2 1x -2 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解x2-3x+2 1=1×1， 2=1×2 =(-1)×(-2) 1x +1 1x +2 ----------- 2x+x=3x (不合) 1x -1 1x -2 ----------- -2x-x=-3x ∴ x2-3x+2=(x-1)(x-2)

十字交乘法 因式分解x2-5x-6 -6=1×(-6)=(-1)×6=2×(-3)=(-2)×3 --------- 6x-x=5x 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解x2-5x-6 -6=1×(-6)=(-1)×6=2×(-3)=(-2)×3 --------- 6x-x=5x (不合) 1x -1 +6

十字交乘法 因式分解x2-5x-6 -6=1×(-6)=(-1)×6=2×(-3)=(-2)×3 1x --------- 6x-x=5x 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解x2-5x-6 -6=1×(-6)=(-1)×6=2×(-3)=(-2)×3 1x --------- 6x-x=5x (不合) -1 +6 --------- 2x-3x=-x (不合) 1x +2 -3

十字交乘法 因式分解x2-5x-6 -6=1×(-6)=(-1)×6=2×(-3)=(-2)×3 1x --------- 6x-x=5x 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解x2-5x-6 -6=1×(-6)=(-1)×6=2×(-3)=(-2)×3 1x --------- 6x-x=5x (不合) -1 +6 --------- 2x-3x=-x (不合) 1x +2 -3 1x -2 +3 ----------- -2x+3x=x (不合)

十字交乘法 因式分解x2-5x-6 -6=1×(-6)=(-1)×6=2×(-3)=(-2)×3 --------- -6x+x =-5x 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解x2-5x-6 -6=1×(-6)=(-1)×6=2×(-3)=(-2)×3 --------- -6x+x =-5x 1x +1 -6 1x --------- 6x-x=5x (不合) -1 +6 --------- 2x-3x=-x (不合) 1x +2 -3 1x -2 +3 ----------- -2x+3x=x (不合) ∴ x2-5x-6=(x+1)(x-6) 推知 x2-5x-6=(x+1)(x-6) ； x2+5x-6=(x-1)(x+6) ； x2-x-6=(x+2)(x-3) x2+x-6=(x-2)(x+3)

十字交乘法 因式分解2x2+5x-12 -12= 1 ×(-12)= 2 ×(-6)= 3 ×(-4) 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解2x2+5x-12 -12= 1 ×(-12)= 2 ×(-6)= 3 ×(-4) =(-1)× 12 =(-2)× 6 =(-3)× 4 2x 1 1x -12 --------- x-24x=-23x (不合)

十字交乘法 因式分解2x2+5x-12 -12= 1 ×(-12)= 2 ×(-6)= 3 ×(-4) 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解2x2+5x-12 -12= 1 ×(-12)= 2 ×(-6)= 3 ×(-4) =(-1)× 12 =(-2)× 6 =(-3)× 4 2x 1 1x -12 --------- x-24x=-23x (不合) 2x -12 1x 1 --------- 2x-12x=-10x (不合) 有共同因數必不合

十字交乘法 因式分解2x2+5x-12 -12= 1 ×(-12)= 2 ×(-6)= 3 ×(-4) 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解2x2+5x-12 -12= 1 ×(-12)= 2 ×(-6)= 3 ×(-4) =(-1)× 12 =(-2)× 6 =(-3)× 4 2x +3 1x -4 --------- -8x+3x=-5x (不合) 只差正負號

十字交乘法 因式分解2x2+5x-12 -12= 1 ×(-12)= 2 ×(-6)= 3 ×(-4) 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解2x2+5x-12 -12= 1 ×(-12)= 2 ×(-6)= 3 ×(-4) =(-1)× 12 =(-2)× 6 =(-3)× 4 2x +3 1x -4 --------- -8x+3x=-5x (不合) 2x -3 1x +4 --------- 8x-3x=5x 只差正負號 ∴ 2x2+5x-12=(2x-3)(x+4)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x +1 6x -12 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x +1 6x -12 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數2，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x -12 6x +1 --------- x-72x=-71x (不合) 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x -12 6x +1 --------- x-72x=-71x (不合) -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x +2 6x -6 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x +2 6x -6 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數2，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x -6 6x +2 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x -6 6x +2 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數2，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x +3 6x -4 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x +3 6x -4 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數2，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x -4 6x +3 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x -4 6x +3 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數3，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x -4 6x +3 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 1x -4 6x +3 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數3，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x +1 3x -12 --------- -24x+3x =-21x 回練武廳 練功去 十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x +1 3x -12 --------- -24x+3x =-21x (不合) -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x -12 3x +1 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x -12 3x +1 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數2，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x +2 3x -6 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x +2 3x -6 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數2，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x -6 3x +2 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x -6 3x +2 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數2，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x -4 3x +3 --------- 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x -4 3x +3 --------- -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 有公因數2，不用考慮 (不合)

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x +3 3x -4 --------- 9x-8x=x (不合) 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x +3 3x -4 --------- 9x-8x=x (不合) -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 只差正負號

十字交乘法 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x -3 3x +4 --------- -9x+8x =-x 回練武廳 練功去 十字交乘法 小秘訣 因式分解6x2-x-12 6=2×3=1 ×6 2x -3 3x +4 --------- -9x+8x =-x 改變+3與-4的正負號 -12=1 ×(-12) =(-1)×12 =2×(-6) =(-2)× 6 =3 ×(-4) =(-3)×4 ∴ 6x2-x-12=(2x-3)(x+4)

雙十字交乘法 例：2x2+5xy+3y2+7x+9y+6 =(2x+3y+3)(x+y+2) x y 常數項 x 驗算 回練武廳 雙十字交乘法 回上頁 目前國中課程已刪除，有興趣者參考下列題目，勿走火入魔，小心變成西毒歐陽鋒。 例：2x2+5xy+3y2+7x+9y+6 =(2x+3y+3)(x+y+2) x y 常數項 x 2x 3y 3 2x 1x 1y 2 1x ---------------------------------------- 2xy+3xy 6y+3y 3x+4x =5xy =9y =7x 驗算

練功房1 因式分解下列各式 練習1. x2+4x= 練習2. 6x2-2x= 練習3. 5x3+2x2-4x= 練習4. 4x2-7x= 回修練室 練功房1 因式分解下列各式 練習1. x2+4x= 練習2. 6x2-2x= 練習3. 5x3+2x2-4x= 練習4. 4x2-7x= 練習5. 3x2+6x= 練習6. x2+4x= 練習7. 3x2-2x= x(x+4) 2x(3x-1) x(5x2+2x-4) x(4x-7) 3x(x+2) x(3x-2)

練功房2 因式分解下列各式 (3x+2)(5x-1) (2x-3)-(1-x) 練習4. (2x+1)2-(x+1)(2x+1)= 回修練室 練功房2 因式分解下列各式 練習1. 5x(3x+2)2-(3x+2)= 練習2. 2x-3-x(2x-3)= 練習3. (x+1)(x-2)-(x+1)(3x-5)= 練習4. (2x+1)2-(x+1)(2x+1)= 練習5. (x-3)(x-5)+(5-x)(6x+1)= (3x+2)(5x-1) (2x-3)-(1-x) (x+1)(-2x+3) x(2x+1) -(x-5)(5x+4)

練功房3 (x+1)2 (x+4)2 (2x+3)2 (5x+6)2 因式分解下列各式 練習1. x2+2x+1= 回練武廳 練功房3 回修練室 因式分解下列各式 練習1. x2+2x+1= 練習2. x2+8x+16= 練習3. 4x2+12x+9= 練習4. 25x2+60x+36= (x+1)2 (x+4)2 (2x+3)2 (5x+6)2

練功房4 因式分解下列各式 練習1. x2-4x+4= 練習2. x2-6x+9= (x-2)2 練習3. 9x2-12x+4= 回修練室 因式分解下列各式 練習1. x2-4x+4= 練習2. x2-6x+9= 練習3. 9x2-12x+4= 練習4. 16x2-40x+25= (x-2)2 (x-3)2 (3x-2)2 (4x-5)2

練功房5 因式分解下列各式 練習1 x2 – 16 = 練習2 25 - y2 = (x+4)(x-4) -(y+5)(y-5) 回修練室 練功房5 因式分解下列各式 練習1 x2 – 16 = 練習2 25 - y2 = 練習3 49x2 – 64 = 練習4 x2y2 – 9 = (x+4)(x-4) -(y+5)(y-5) (7x+8)(7x-8) (xy+3)(xy-3)

練功房6 練習1 a b-cd+a d-bc= (a -c)(b+d) 練習2 x2+a x+bx+a b = (x+a )(x+b) 回修練室 練功房6 練習1 a b-cd+a d-bc= 練習2 x2+a x+bx+a b = 練習3 6x2+2a x+3x+a = 練習4 5xy-3x-15y+9= (a -c)(b+d) (x+a )(x+b) (3x+a )(2x+1) (x-3)(5y-3)

練功房7 因式分解下列各式 練習1 x2 +4x+3 = 練習2 x2 -5x+6 = (x+1)(x+3) 練習3 x2 – x-12 = 回修練室 練功房7 因式分解下列各式 練習1 x2 +4x+3 = 練習2 x2 -5x+6 = 練習3 x2 – x-12 = 練習4 x2+4x–12= 練習5 2x2+x–36 = 練習6 20x2+9x–20 = (x+1)(x+3) (x-2)(x-3) (x-4)(x+3) (x+6)(x-2) (2x+9)(x-4) (4x+5)(5x-4)

十八銅人陣 中正國中94學年度第二學期第二次段考試題

行走江湖 功夫未到家，還不允許下山。

感謝 感謝翰林、南一、康軒提供相關資料

秘訣1 返回 因式分解a x2+bx+c=(px+q)(rx+t) 當a 、b、c均為正數時，a 所分解出來的p、r均為正數， c所分解出來的q、t亦均為正數。 當a 、c均為正數，b為負數時，a 所分解出來的p、r均為正數， c所分解出來的q、t均為負數。

秘訣2 返回 當十字交乘結果只差性質符號時，只需改變常數項分解出的兩個數的正負號即可。 例如因式分解x2-5x-6 1x +1 1x -6 --------- -6x+x=-5x 只差正負號，只需改變-1與+6的正負號即可 1x -1 1x +6 --------- 6x-x=5x ∴ x2-5x-6=(x+1)(x-6)

秘訣3 返回 原多項式係數若無法直接先提共同因數，所分解出的一次式必無共同因數。 例如因式分解2x2+5x-12無法提出公因式2 --------- 2x-12x=-10x (不合)