第一章 集合论 1.2 集合的运算 1.2.1 集合的基本运算 定义1、2、4、5 集合的元素并（和）、交、差－、补 AB={x︳x∈A或x∈B} AB={x︳x∈A且x∈B} A - B={x︳x∈A且xB} =U-A={x︳xA} 定义3 两个集合不相交：A∩B= 在不同的环境中，相同的A，其补可能不一样，因为在不同的环境中全集可能不同 容斥原理：ＡＢ＝Ａ＋Ｂ－ＡＢ 常用大写字母表示集合，小写字母表示元素

1.2.2 证明集合相等的基本方法 利用的反对称性：AB 且BA  A=B 例10 证明 = + 解 首先假定x∈ 。于是xAB。这表示 xA且 xB。所以 x∈ 且x∈ 。于是x∈  。这表明   。 现在假定x∈  。那么x∈ 且x∈ 。于是x  A且 x  B，从而x  A  B。于是x∈ ，这表明   。 由于已经证明了这两个集合互为子集，它们必定相等，等式成立。

例11 证明吸收律：A (A  B)=A 解: 首先假定x∈A (A  B)，则x∈A或者x∈A  B，若x∈A  B，则x∈A且x∈B，所以x∈A。这表明A  (A  B)  A。 现在假定x∈A。那么x∈A (AB)。这表明A  A (A  B)。 由于已经证明这两个集合互为子集，它们必定相等，等式成立。 利用成员表：列出一个元素可能的属于各个集合的情况，讨论它是否属于等式两端 例12 用成员表证明A  (B  C)=(A  B)  ( A  C) 解： 表1-1给出了这些集合组合的成员表。这表格有8行，由于对应于A  (B  C)和(A  B)  ( A  C)的两列相同，等式有效。

1.2 集合的运算 表 1-1 分配性质的成员表

利用已知的集合恒等式作集合演算：类似于代数演算 = x-y （x0 且 y0） 例13 如果A和B为集合，求证(A  B)  ( A  )=A 解： (A  B)  ( A  ) =A (B  ） 分配律 =A  U 设U为全集 =A 恒等律 例 证明Ａ((AB)(AC))=A 解： A((A  B)(AC)) = (A(AB))  (A(AC)) 分配律 =A(A(AC)) 吸收律 =A ((AA) C) 结合律 =A ( AC ) 幂等律 =A 吸收律

例 证明 解 ： A (B-A) =A (B ) = (AB)  (A ) 分配律 =(AB) U 设U为全集 = AB 恒等律 基本的集合恒等式（一）： (1)双重否定律 =A (2)幂等律 AA=A AA=A (3)交换律 AB=BA AB=BA (4)结合律 A (BC)=(AB) C A (BC)=(AB) C (5)分配律 A (BC)=(AB)  (AC) A (BC)=(AB)  (AC) (接下页)

(6)零壹律 A=A A= AU=U AU=A (7)排中律 A = U (8)矛盾律 A =  (9)吸收律 A (AB)=A A (AB)=A (10)德摩根律 ， (11) A-B=A

3种方法的比较： (1)最基本，但可能烦琐 (2)很机械，但若所设计的集合交多则工作量很大 (3)若适当地运用将使证明很简洁，但有时不易想到 对偶原理：PP* 对偶公式：,U (要求公式中只有运算符, , ) (A-B)-C=A-(BC) (A-B)-C≠A-(BC)

1.2.3 广义并合交 实数的加法运算满足结合律，从而连加可以表示为1+2+3 集合的并和交都满足结合律，因而也可以有类似的记法 定义6 =A1A2…An ={x︳ ，使xAi} 定义7 = A1A2…An={x︳ ，有xAi}

例15 令Ai ={i, i+1, i+2,…}。那么 = {i, i+1, i+2,…}={ 1,2,3,…} 而 = {i, i+1, i+2,…}={ n, n+1,n+2 …} ={x︳ ，使x  } = {x︳ ，有x  }

例16. n∈N，An={}x0<x<1+ } =? 例17. B是集合，B≠，A={} =? =?

例18. 证明 = 证明： B为空集时，显然成立； 若B≠，由上题可知 =B，则 = ，同时设U为 全集，则 = =U - =U-B= 所以等式成立。

习题 1.假定A是学校二年级的学生集合，B是学校上离散数学课的学 生集合。用A和B表示学校二年级不上离散数学课的学生集合. 2. 令A，B，C为集合，求证(A-B)-C A-C 3. 令A，B，C为集合，求证(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 4. 如果集合A，B，C满足下述条件，能断定A=B吗？ a) AC= BC b) AC=BC

5. 令Ai ={i, i+1, i+2,…}。求 及 补充：证明 = 思考：（1）n∈N，An是集合，令Bn=An- 。证明： ①i,j∈N，i≠j，Bi∩Bj= ② = （2）A1 A2…An…，D= 。 证明A1=