数学物理方法 傅里叶积分变换 王 健 2015.12. 01
第一章 傅里叶积分变换
正交 , 证: 同理可证 :
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
问题: 2. 展开的条件是什么? 且能展开成三角级数
(利用正交性)
(利用正交性)
傅里叶系数
狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性 得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则. 代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数 在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数? 狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性 给出了严格的证明. 得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. t 为连续点 t为间断点
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 例1.1.1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 解: 先求傅里叶系数
说明: 1) 根据收敛定理可知, 2) 傅氏级数的部分和逼近 f (t) 的情况见右图.
不同频率正弦波逐个叠加成方波
傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.
例题1.1.2 求周期方波 的傅里叶级数。
利用三角函数的复数表示 傅里叶级数可表示为 在连续点t 处有
例题1.1.3
例题1.2.1
在物理和工程技术中，除了用到指数衰减函数外，还常常会碰到单位脉冲函数。因为许多物理现象，除了有连续分布的物理量外，还会有集中于一点的量（点源），例如，单位质点的质量密度；单位点电荷的电荷密度；集中于一点的单位磁通的磁感强度等等。或者具有脉冲性质的量，如：瞬间作用的冲击力，电脉冲等。
可以用留数定理的应用进行计算
可以利用Euler公式计算上面的积分，
这里可以得到 t, t^2 等函数的Fourier变换
\delta(w)
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