摘譯 國立臺北師範學院 數理教育研究所 劉玠庭 邱雪莉 整理 以Pirie-Kieren 的動態理論 觀察兒童數學理解的成長 SUSAN E.B.PIRIE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA 摘譯 國立臺北師範學院　數理教育研究所 劉玠庭 邱雪莉　整理

壹、介紹(introduction)： 本篇文章說明Pirie-Kieren所發展的動態可折回的數學了解理論(洋蔥理論)和它的一些特徵，並用此理論來說明學生對分數除法的了解過程。

何謂數學了解 (Mathematical understanding)？ 數學了解是一個動態、階段性、非線性、連續遞迴的，並且是一個組織知識結構的數學過程。 數學了解的發展(成長)是指小孩子從一個數學概念發生到現在所了解的數學概念之間所經過的路徑。 洋蔥理論的三個主要特徵，了解的階層、折回和不須邊界。

一、了解層次 (the layers of understanding) 原始知識(Primitive Knowing :PK) 造心像(Image Making :IM) 成心像(Image Having :IH) 注意性質(Property noticing :PN) 形式化(Formalising :F) 觀察(Observing :O) 結構(Structuring :S) 創造(Inventising :I)

數 學 了 解 成 長 的 理 論 層 次 注 意 性 質 成 心 像 形式化 造 心 像 原知 始識 觀察 結構 創造

二、折回(Folding Back :FB) 當人在外在了解階段，遇到問題無法解決時，常會折回內在了解階段，藉由新的內在階層活動的反思，組織較早前的建構，或產生創造新的心像，來拓展不足夠和不完全的了解，以解決所遇到的問題。

三、不須邊界 (Don't need boundaries) 利用8個圓圈來解釋了解理論，看起來好像有邊界，實際上是沒有那麼的清楚，小孩子解數學的能力不一定需要從行動開始，而是依照他現在所處的階段來解題。

貳、肯娣了解階段成長的分析 分析肯娣在分數除法上的表現之前，請先恢復到你自己的”原始知識”(PK)

一、對除法的心像: 考慮12÷3，唸做12除以3 有a，b兩種解釋法 a.12個披薩分給3人，每人得幾個？ 考慮1/2÷3，唸做"1/2除以3" 解釋為:半個披薩分給三個人(有意義)； 但是解釋為半個披薩，每人分三個(無意義)

3. 考慮12÷1/2，唸做"12除以1/2" 解釋為:12個披薩分給1/2人(無意義)； 但是解釋為12個披薩，每人分1/2個，可分給幾 人？(有意義) 為了了解分數的除法，你需要有上述兩種除法心像

二.對3/4的心像: 3/4這個符號有不同的心像， 例如: 4份當中的3份(結合操作和心像) 3被4除(數字的運算) 四分之三(介於0-1之間的數) 3除以4(用一個數字來寫3/4)

三.分析肯娣的分數除法: 1. 第一個問題: 討論1/2÷2(分數除以整數的IM) →建議認清除法意義，如考慮6÷2(整數除以整數的IH) →學生反應如下: 6切成一半(被2除的IH) 6分成兩部分(除法的IH) 6被兩個人分(除法的IH) 6中含有多少個2(除法的IH)

2. 第二個問題 考慮1÷3/4是多少?(整數除以分數的IM)→建議使用除法的意義(返回PK)，引導學生想"有多少個一半在一個當中" →學生產生"畫圖並點數"的解法(分數除法的IM和IH) →學生從整數除以單位分數或是同分母分數的除數的觀點著手(如1÷1/4或3/4÷1/4) →得到滿足有效的解答

and 接著寫下1÷2/3，請學生考慮這個真實的問題"從整體1中，可以切成多少個2/3？"(IH) →將題目擴張成2÷2/3和3÷2/3 →畫以下的圓來表示學生的答案 and 3個2/3和3個半個2/3 →3個2/3和1個2/3及半個2/3(　新的圖像關係的心像)

6 1/3÷2/3圖解: 肯娣建議: 6個1→6×3個1/3；1/3→半個2/3 則6 1/3→19個1/3 →9 1/2個2/3(使用新的非圖像關係的心像)

肯娣提議做其他分數的運算， 如：2 1/4÷2/3，能先乘以3得到6 3/4，再將它一半 肯娣的解題形式： 如：除以4/5，就把全部乘以5，再看分成幾個4，如果還有剩，把剩下的再除以4(和F很相近，甚至已經達到F) →已有統一的解題法，不需以圖形幫助思考 →自然反應"顛倒相乘"(定義F)

訪談肯娣(以2/3÷1/5為例) 肯娣：將圖形分成15等份，取其中的10等份，然後除以…，然後有3份位於其中… 答案是看10/15中有多少個3/15？發現有3個3/15，剩下1個1/15(=1/3個3/15) 如果有兩種顏色，第一種先塗2/3的部分，另一種每三份塗一次，看可以塗幾次(折回IH/IM)

參.結論： 1. 有些人會使用分數除法的規則去解題，但卻不了解它的意義且無法解釋這個規則的由來。 這種有限制的了解，對未來的其他階段的了解，將會受到影響。 老師本身也須具備穩固的基礎，分析學生的了解階段，必要時須帶領學生折回先前的階段。

2. 此理論對老師的影響 讓老師去計畫如何介入，如何設計活動讓學生折回到之前的了解階段，以建立內在更深的了解。 使得老師能創造一個有效的數學學習環境並且探索自己對該主題的了解層次。

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