◆ 第5節 熱膨脹 一、熱膨脹 二、線膨脹 三、面膨脹 四、體膨脹 五、熱膨脹在日常生活中的應用 範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5 1

一、熱膨脹 如右圖所示，物質受熱後，物質內部分子的熱運動會隨著溫度的增加而漸趨劇烈，此時分子與分子間的平 　均距離會隨之增加，而造成物質的長度、面積與體積增加，此現象稱為熱膨脹。

二、線膨脹 1.物體受熱時，長度增長的現象稱為線膨脹。實驗顯示，無論是直的或彎曲的細桿，受熱時其長度的增長量ΔL 都與其初溫時的長度 L0 成正比，也與其所增加的溫度Δt 成正比

2.如下圖所示，令末溫時的長度為L，則上式可改寫為： 4

4.如果溫度的計算採取攝氏溫標，則α的單位為1/ ℃。下頁表1-2列出了常溫下常見物質的線膨脹係數。 3.上式中的常數α稱為線膨脹係數，其值與材料的種類有關，代表溫度每上升1 ℃ ，長度會增加初溫時長度的α倍。故線膨脹係數α值較大者，代表當溫度改變時，其長度變化的幅度較大。 4.如果溫度的計算採取攝氏溫標，則α的單位為1/ ℃。下頁表1-2列出了常溫下常見物質的線膨脹係數。 5

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三、面膨脹 1.物體受熱時，面積增加的現象稱為面膨脹。實驗顯示，物體受熱後其面積的增加量ΔA ，也是與其初溫時的面積A0及升高的溫度Δt 成正比

2.如下圖所示，令末溫時的面積為A，則上式可改寫 為：

3.上式中的常數β稱為面膨脹係數，其值與材料的種類有關，代表溫度每上升1 ℃ ，面積會增加初溫時面積的β倍。故面膨脹係數β值較大者，代表當溫度改變時，其面積變化的幅度較大。如果溫度的計算採取攝氏溫標，則其單位亦為1/℃。 9

如右圖，考慮一薄板，初溫時長度為a0、寬度為b0、面積為A0，則溫度升高Δt 時 證 4.面膨脹係數和線膨脹係數的關係為： 　　　　。 如右圖，考慮一薄板，初溫時長度為a0、寬度為b0、面積為A0，則溫度升高Δt 時 證 10

◎常用的近似計算

※上式為二項式定理的應用，詳見高二數學。二項式定理的內容為：已知 n 為一正整數，則

◎均勻中空的金屬圓板的膨脹 右圖所示為一均勻中空的金屬圓板，外半徑為R，內半徑為r。今將此圓板均勻加熱，則R、r、R－r、中空部分的面積、金屬部分的面積等五者中，何者會變大?何者會變小呢?

1.想像把中空的部分填滿，如下圖(a)所示。 2.加熱後整體會一起膨脹，如下圖(b)所示。

3.將假想的部分拿掉，如下圖(c)所示，會發現 、中空部分的面積及金屬部分的面積都會增加。

四、體膨脹 1.物體受熱時，體積增加的現象稱為體膨脹。實驗顯示，物體受熱後其體積的增加量ΔV ，也是與其初溫時的體積V0及升高的溫度Δt 成正比

2.如下圖所示，令末溫時的體積為V，則上式可改寫為：

3.上式中的常數γ稱為體膨脹係數，其值與材料的種類有關，代表溫度每上升1 ℃ ，體積會增加初溫時體積的γ倍，故體膨脹係數γ值較大者，代表當溫度改變時，其體積變化的幅度較大。如果溫度的計算採取攝氏溫標，則其單位亦為1/℃。 18

4.同種物質的體膨脹係數和面膨脹係數、線膨脹係數的關係為： 。 4.同種物質的體膨脹係數和面膨脹係數、線膨脹係數的關係為：　　　　　　。 證 如右圖，考慮一長方體，初溫時長度為a0、寬度為b0、高度為c0、體積為V0，則升高Δt 時 19

五、熱膨脹在日常生活中的應用 1.水銀溫度計的設計，就用到熱脹冷縮的性質。 2.即使在熱膨脹不很明顯的情況，有時也會產生很大的影響，例如火車的鐵軌或道路的橋樑，在每隔一段就留有一小段空隙，其目的是避免在熱膨脹時產生擠壓變形的結果。 3.在套接水管時，可將一管燒熱，使其口徑略為增大，套接冷卻後，外管口徑收縮就可造成相當緊密的結合。

4.如下頁圖(a)，將兩個膨脹係數不同的金屬片黏合在一起，當溫度升高時，金屬A 膨脹量較大、金屬B 膨脹量較小，故會向金屬B 彎曲，如下頁圖(b)；反之，當溫度降低時，則會向金屬A彎曲，溫度越高，彎折的程度就越大。利用這種特性，雙金屬片可製成定溫開關、聖誕燈、溫度計等。 21

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◎高鐵的鐵軌 高速鐵路的鐵軌無法預留空隙，因為那會使高速行進的車廂振動而有危險，所以必須用熱膨脹係數非常小的特殊合金。除了高鐵之外，有些設備裡也需要熱膨脹係數很小的合金，例如舊式的擺鐘，工程師常用的鋼捲尺。這類合金裡很常見的是一種由36%的鎳與64%的鐵所組成之鐵鎳合金，線膨脹係數僅約1×10－6 1/℃。

1 線膨脹--鐵軌 範例1 在20℃時鋼軌的長度為L，希望在40℃時，兩個鋼軌間恰無空隙，以確保在40℃以下的溫度時，列車可以安全行駛。若鋼的線膨脹係數為α1/℃，則在20℃時，兩鋼軌必須分開 的距離。

設20℃時兩鋼軌相距d，如下圖(a)所示，則由下圖(b)知，d即為每條鋼軌膨脹的長度。

(b) 解

2 線膨脹--直尺的校正 範例2 一銅尺在0℃時校正，今在30℃時測得某物體之長度為85.67公分，則此物體在30℃之真正長度為多少公分？（銅之線膨脹係數為19×10－6 1/℃）

如右圖所示： 1.銅尺在0℃校正，表示 刻度是正確的 a1 刻度上的長度＝ 公分。 2.當溫度上升至30℃時，尺已膨脹，故1 刻度的實際 長度大於1 公分 a1 刻度上的實際長度= 公分。

3.在30℃測得長度為85.67公分，其實是我們看到85.67 個 ，而每個刻度的實際長度= 公分。 (1＋30α) 刻度 物體的實際總長度 解

3 線膨脹--單擺的校正 範例3 有一擺鐘，其擺為線膨脹系數α＝1.89×10－5 1/℃的黃銅所製，當溫度為15℃時，此鐘擺動恰為準確，則在25℃時每日 （填快或慢）約 秒。 1.設單擺每擺1次，秒針走1格，則準確的單擺每天的擺 動次數為86400次，此「86400次/天」即為頻率，令 此準確的頻率為  f0。

2.走得太快的單擺，每天的擺動次數會大於86400次； 走得太慢的單擺，每天的擺動次數會少於86400次， 令不標準的頻率為 f。 3. 即為不準確的單擺每日多擺（或少擺） 的次數，亦為每日快（或慢）的秒數。 4.本題溫度上升，故單擺的擺長變長，因此週期增加， 而頻率減少。此不準確的單擺每日少擺的次數，即 為其所慢的秒數。

解

4 線膨脹--圓環 範例4 一金屬線 0℃時的長度為60公分，將其圍成一個空隙1.0公分的正圓。此圓圈之溫度經均勻增加至100℃後，空隙變為1.002公分，則此金屬線之線膨脹係數為 1/℃。

其示意圖如右，想像把空隙補滿，整個圓圈會一起膨脹，故空隙大小的膨脹量和相等大小的金屬線之膨脹量相等。 解

5 體膨脹--密度 範例5 銅的線膨脹係數是17.0×10－6 1/℃ ，銅在－10℃時的密 度是ρ1，在15℃時的密度為ρ2，則

解

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