商用統計學 Chapter 6 抽樣與抽樣分配

抽樣與抽樣分配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 統計學家如何建立抽樣分配呢？首在要抽出對母體具有代表性的樣 本，再利用抽出的樣本作成統計量的形態，而統計量與其對應的機 率所形成的機率分配，即構成抽樣分配。

6-1抽樣的相關概念 . . .抽樣方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂抽樣方法，是指由母體取得樣本的方式。主要有二，一為機率 抽樣 ( 隨機抽樣 )，二為非機率抽樣 ( 非隨機抽樣 )。

例題一 試利用下列兩種方法，自100位消費者之母體中抽出10位消費者， 此10位消費者即為一組隨機樣本。 (1) 摸彩法。 (2) 亂數法。 (1) 摸彩法。 (2) 亂數法。 ＊解 (1) 摸彩法：是指先將每位消費者加以編號 ( 設00～99) 分別寫在100張 同樣的卡片 ( 或同大小的球體 ) 上，再將100張卡片放於箱內，充分攪和後，再自此箱中抽出張卡片 ( 可依放回或不放回方式 )，即為隨機樣本。 (2) 亂數法：又稱隨機數字法，是指先將消費者由00～99依序編號，再利用下表之亂數表 (Random Numbers) 取得隨機樣本。例如自第6行第1列 ( 調查者隨機自訂 ) 起，向下 ( 向左亦可 ) 取出10個數字，即04, 15, 22, 67, 20, 41, 21, 35, 49, 86等10個數字之消費者，即為一組之隨機樣本。

例題一

例題二 自100位消費者中抽出10位消費者進行訪談，試利用系統抽樣法抽 樣。 ＊解 先將100位消費者依順排列00～99，∵　要抽出10名消費者，∴　 將100名消費者依號分成10組 (10個間隔 )，設第一個間隔 (00～ 09) 以摸彩法或亂數法抽出一個樣本，設為4號，則自4號起，每隔 10號抽出一個樣本，如此即可取得10個樣本，即4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94等10位消費者。

例題三 裕隆公司從事一項調查：“台灣地區汽車消費行為之調查研究”， 若採用分層抽樣法，應如何進行抽樣？ ＊解 裕隆公司可依地區別 ( 空間 ) 為分層的依據，全台灣省共可分為 21層 ( 共有21縣市 )，另外加上台北市與高雄市兩市，所以合計 23層，然後依母體各層比例，採簡單隨機抽樣法或系統抽樣法，抽 出所需的樣本數。

例題四 若以【例題3】為例，裕隆公司若採用叢式抽樣法，應如何進行抽 樣？ ＊解 可以地區別 ( 空間 ) 為分層的依據，全台灣省共可分為21個叢體 ( 共有21縣市 )，另外加上台北市與高雄市兩市，所以合計23個叢 體，然後再採隨機抽樣法或系統抽樣法，抽出若干個叢體全部調 查，沒抽到的叢體均不於調查，即為應有的樣本數。

例題五 設有一分配｛1, 3, 5｝所組成，今隨機抽出為一組樣本，採放回 抽樣，令統計量為，試求之抽樣分配及其表徵數。 (1) 採放回抽樣。 (1) 採放回抽樣。 (2) 採不放回抽樣。

例題五 ＊解 (1) 採放回抽樣 (A) 母體分配：由｛1, 3, 5｝所組成，其機率分配如下： 樣　本 機　率 1 1/3 3 5 合　計

例題五 抽樣：隨機抽取 為一組樣本，採放回抽樣，共有9組可能 樣本，如下表所示。每一組樣本發生的機率均為 。 抽樣：隨機抽取 為一組樣本，採放回抽樣，共有9組可能 樣本，如下表所示。每一組樣本發生的機率均為 。 樣本統計量： ，即以 之樣本平均數為樣本統計 量。 樣　本 統計量 機率 (1, 1) 1 1/9 (1, 3) 2 (1, 5) 3 (3, 1) (3, 3) (3, 5) 4 (5, 1) (5, 3) (5, 5) 5

例題五 抽樣分配：將上表樣本平均數及其發生之機率加以整理，即得 抽樣分配。 統計量 機率 1 1/9 2 2/9 3 3/9 4 5

例題五 (2) 採不放回抽樣 (A) 母體分配：由｛1, 3, 5｝所組成， 與 如上 所示。 (2) 採不放回抽樣 (A) 母體分配：由｛1, 3, 5｝所組成， 與 如上 所示。 (B) 抽樣：隨機抽取 為一組樣本，採不放回抽樣，共有6 組可能樣本，如下表所示。每一組樣本發生的機率 均為 。 (C) 樣本統計量： ，即以 之樣本平均數為樣本 統計量。

例題五 樣本 統計量 機率 (1, 3) 2 1/6 (1, 5) 3 (3, 1) (3, 5) 4 (5, 1) (5, 3)

例題五 抽樣分配：將上表樣本平均數及其發生之機率加以整理，即得 抽樣分配。 統計量 機率 2 1/3 3 4

6-3樣本平均數 的抽樣分配 . . . 分配的意義及其導出過程. . . . . . . . . . . . 6-3樣本平均數 的抽樣分配 . . . 分配的意義及其導出過程. . . . . . . . . . . . 所謂樣本平均數 抽樣分配，是指以樣本平均數為統計量的機率 分配，記為 分配。 分配的導出過程，如下所示： 1. 母體分配：設不限任何型態的母體分配 ( 即不管是否為常態分配或其他分配 )，其平均數為 ，變異數為 。 2. 抽樣：由上例母體中，隨機抽取n個獨立個體為一組樣本，為 。 3. 樣本統計量：每組樣本求一個算術平均數，即 。

6-3樣本平均數 的抽樣分配 . . . 分配的意義及其導出過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 抽樣分配 ( 以 分配之表徵數表示 )： (1) 若採放回抽樣 ( 即視母體為無限母體 )。 (A) 期望值： 。 (B) 變異數： 。 (C) 標準誤： ( 即抽樣分配之標準差 )。

6-3樣本平均數 的抽樣分配 . . . 分配的意義及其導出過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) 若採不放回抽樣 ( 即視母體為有限母體且 時使用 )。 (A) 期望值： 。 (B) 變異數： 。 (C) 標準誤： 。 ( 標準誤即抽樣分配之標準差、式中稱為有限母體修正因子 )。

例題六 承【例題5】採放回抽樣，試以公式求算 分配之表徵數。 ＊解 期望值： 。 變異數： 。 標準誤： 。 承【例題5】採放回抽樣，試以公式求算 分配之表徵數。 ＊解 期望值： 。 變異數： 。 標準誤： 。 由以上公式計算之答案，與【例題5放回抽樣】不代公式之答案相同。

例題七 承【例題5】採放不回抽樣，試以公式求算 分配之表徵數。 ＊解 ∵ 母體為有限母體 且 所以變異數須校正。 期望值： 。 變異數： 。 承【例題5】採放不回抽樣，試以公式求算 分配之表徵數。 ＊解 ∵　母體為有限母體 且 所以變異數須校正。 期望值： 。 變異數： 。 標準誤： 。 　　由以上公式計算之答案，與【例題5不放回抽樣】不代公式之答案相同。

例題八 ＊解 已知50部福特汽車之平均壽命 、標準差 ，若隨機抽取16部 福特汽車，則其平均壽命與標準誤為多少？ (1)期望值： 已知50部福特汽車之平均壽命 、標準差 ，若隨機抽取16部 福特汽車，則其平均壽命與標準誤為多少？ ＊解 (1)期望值： (2) 標準誤：

6-3樣本平均數 的抽樣分配 . . .大數法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂大數法則 (Law of Large Number)，是指不限母體分配型態為 何，當樣本次數增大時，樣本平均數 與母體分配之平均數會逐漸接 近，而當 ， 與 會無限接近。換言之，當n愈大，以 推論 可靠度愈大。 我們可由 分配之變異數觀察，當 時， ，即分配 之分散度趨近於0，若以 推論 ，則推論可靠度最高。

6-3樣本平均數 的抽樣分配 . . .中央極限定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂中央極限定理 (Central Limit Theorem; CLT)，是指由一平均 數 、標準差 之母體中 ( 不限母體分配型態為何：不論是否常態或非 常態 )，抽出樣本大小為n之隨機樣本，當 ( 在實務上， 即可適用 ) 時， 分配會趨近於以 、 之常態分配 為其極限。因此當 ， 時，則Z分配以標準常態分配為 其極限。 上述若母體為常態分配，則不受樣本的限制 ， 分配乃為常態 分配。

例題九 旭光公司日光燈平均壽命為 小時， 小時，今自該分配 抽出 為一隨機樣本，試求： (1) ， 分配之表徵數 (2) 。 (3) 。 旭光公司日光燈平均壽命為 小時， 小時，今自該分配 抽出 為一隨機樣本，試求： (1) ， 分配之表徵數 (2) 。 (3) 。 (4) 。 ＊解 ∵　 ，∴　依中央極限定理， 分配趨近常態分配。 (1) (A) 期望值： (B) 變異數：

例題九 (2) (3)

例題九 (4)

例題九

例題十 一項調查研究顯示：國人鮭魚每年食用量呈常態分配，平均食用量 為2.50公斤， 公斤，今自該分配抽出 為一隨機樣本，試求： (1) 。 為2.50公斤， 公斤，今自該分配抽出 為一隨機樣本，試求： (1) 。 (2) 。 。 ＊解 ∵　母體為常態分配，∴　 分配為常態分配，不受中央極限定理限制。

例題十 (1) (2)

例題十 (3)

例題十一 聲寶公司電冰箱平均壽命為小 時， 小時，今自該分配 抽出 為一隨機 樣本，試求： (1) 。 (2) 。 。 ＊解 (1)

例題十一 (2) (3)

6-4 t分配 . . .t分配的意義及其導出過程 . . . . . . . . . . . . . 所謂t分配，是指以 為統計量之抽樣分配。在1908年，由 W.S.Gossett (1876～1939) 以筆名“Student”發表，故稱t分配。 其功能在於以樣本平均數 推論母體母數 。t分配的使用條件是 ( 必須同時成立 )： 1. 當母體為常態分配或近似常態分配。 2. 母體標準差未知 ( 可用樣本標準差S來估計母體標準差 )。 3. 樣本次數小， 。 t分配的導出過程，如下所示： 1. 母體分配：設為常態母體，其平均數為 ，變異數 未知。 2. 抽樣：由上述母體中，隨機抽取n個獨立個體為一組樣本，為 。

6-4 t分配 . . .t分配的意義及其導出過程 . . . . . . . . . . . . . 3. 樣本統計量：每組樣本求一個t，即 ，其中 4. 抽樣分配：將所有可能t統計量作成之機率分配，則為t分配。記 為 其中 ，稱為自由度 (Degree of Freedom; df)。t分配形態 會隨自由度的不同而改變。 註：由於t分配數學式複雜，予以省略；至於自由度的詳細意義，我們在第九章卡方分配中會加以說明。

6-4 t分配 . . . 分配性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. t分配曲線 繪製t分配曲線，必須先決定自由度df，然後代入分配式 ，以求出t分配曲線圖，如下所示：

6-4 t分配 . . . 分配性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. t分配之機率值 t分配之機率值，可由附錄t分配機率表查出，其中 ； 是為t值。

6-4 t分配 . . . 分配性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. t分配的性質 期望值 為完全對稱分配，對稱於縱軸，與Z分配相似。 變異數 t分配變異數大於1，當 時，以變異數1為極限。而就整個t分配而言， ( 實務上， )，t分配以標準常態分配為極限。 偏態係數=0 為不偏的對稱分配。

6-4 t分配 . . . 分配性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 峰態係數 峰態係數>3，比常態分配=3 ( 常態峰 ) 高聳。

例題十二 試利用t分配機率表，求算下列數值： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

例題十二 ＊解 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

例題十三 已知高雄市國小學生每日零用金呈常態分配， 元，但標準差 未知，今自該分配抽出 為一隨機樣本，樣本標準差5元，試 求： 已知高雄市國小學生每日零用金呈常態分配， 元，但標準差 未知，今自該分配抽出 為一隨機樣本，樣本標準差5元，試 求： (1) ，t分配之表徵數 (2) (3) (4) ＊解 ∵　母體為常態分配但母體標準差未知且小樣本，∴　使用t分配。 (A) 期望值： (B) 變異數：

例題十三 (2) (3)

例題十三 (4)

例題十三

例題十四 已知台中市統一超商每日營業額呈常態分配 ( 千元 )，但 標準差未知，今自該市抽出10家統一超商為一隨機樣本，營業額如 下： 已知台中市統一超商每日營業額呈常態分配 ( 千元 )，但 標準差未知，今自該市抽出10家統一超商為一隨機樣本，營業額如 下： 55, 45, 30, 48, 32, 60, 54, 35, 28, 43 試求： (1) (2) (3)

例題十四 ＊解 ∵母體為常態分配但母體標準差未知且小樣本，∴　使用t分配。 (1)

例題十四 (2) (3)

6-5樣本比例抽樣分配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂樣本比例 抽樣分配，是指以樣本比例為統計量的機率分配， 記為 分配。 分配的導出過程，如下所示： 1. 母體分配：為點二項分配 ，P為母體比 例， 。 2. 抽樣：由上述母體中，隨機抽取n個獨立個體為一組樣本，為 。 3. 樣本統計量：令每組樣本其成功的次數為X，其統計量 。

6-5樣本比例抽樣分配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 抽樣分配 ( 以 分配之表徵數表示 )： (1) 若採放回抽樣 ( 即視母體為無限母體 )。 (A)期望值： 。 (B)變異數： 。 (C)標準誤： ( 即抽樣分配之標準差 )。

6-5樣本比例抽樣分配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) 若採不放回抽樣 ( 即視母體為有限母體 )。 (A) 期望值： 。 (B) 變異數： 。 (C) 標準誤： 。 分配在大樣本之下 ( 當 且 成立時 )，可利用中央 極限定理，使得 分配近似於以 、 之常態分配 為其極限。因此當 、n滿足上述條件時，則Z分配以 標準常態分配為其極限。

例題十五 一項調查顯示：30% 之消費者喜歡開喜烏龍茶，現抽查500位消費 者，試求： (1) ， 分配之表徵數。 (2) 。 (3) 。 (1) ， 分配之表徵數。 (2) 。 (3) 。 。 ＊解 ∵　 且 ，∴　依中央極限 定理， 分配趨近常態分配。

例題十五 (1)(A) 期望值： 。 (B) 變異數： 。 (2) (3)

例題十五 (4)

例題十五

例題十六 威盛公司有10,000名員工，其中有2,000名員工是女性職員，今隨 機抽取300名員工，則女性職員所佔比例為何？ (1) (2) (3) ＊解 母體比例 ，∵ 且 ，∴　依中央極限定理， 分配趨近常態分 配。

例題十六 (1) (2)

例題十六 (3)