垂径定理 本节内容 本课内容 2.3
动脑筋 在下图的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O 的直径，且CD⊥AB， 垂足为E. 试问： AE与BE， 与 ， 与 分别相等吗？
因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折， 如下图，我发现AE与BE重合， ， 分别与 重合，即AE= BE， = ， =
∴ = 下面我们来证明这个结论. 在下图中， 连接OA，OB. ∵ OA=OB， ∴ △OAB是等腰三角形. ∵ OE⊥AB， ∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD. 从而∠AOC =∠BOC. = ∴
结论 结论 由此得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
举 例 解 连接OA. 例1 如图所示，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径， CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的 直径CD的长. 设OA=rcm，则OE=r-2（cm）. ∵ CD⊥AB， 由垂径定理得 =4（cm）.
在Rt△AEO中，由勾股定理得 即 解得 r=5. ∴ CD = 2r = 10 （cm）.
举 例 证明 作直径EF⊥AB， 例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知： 如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行. 求证： = ∴ 求证： = 例2 证明 作直径EF⊥AB， ∴ 又 AB∥CD，EF⊥AB， ∴ EF⊥CD. ∴
因此 即
练习 解 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O 上一点， AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D， 求BD的长. ∵ AB 是直径， ∴ ∠ACB=90°. 在Rt△ACB 中，AC=8cm，AB=10cm， ∴ BC=6 cm. 又∵ OD⊥BC， ∴ 解
结 束